В.Л. Пантелеев - ИЗМЕРЕНИЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ НА ПОДВИЖНОМ ОСНОВНИИ (1186115), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Из полученного уравнения можно написать:ma Φ==ν0 .kg0Полученная величина ν0 можно назвать номинальной угловой чувствительности.10 радРассмотрим пример. Пусть угол Ф = 10 рад = 573°, g0 = 106 мГал, тогда ν 0 = 6=10 мГал( 2 ⋅ 10 6 )′′2′′. В настоящее время умеют делать системы со значением номинальной=610 мГал мГалчувствительности равным 1″ мГал-1.4.Из уравнения k (Φ + ϕ ) = mga cos ϕ можно получить следующее соотношение:Φ +ϕ =mgagcos ϕ = Φ cos ϕ .kg0⎛ g⎞Отсюда следует, что ϕ = Φ⎜⎜ cos ϕ − 1⎟⎟ , или ϕ = ν 0 ( g cos ϕ − g 0 ) , т.е. величина угла⎝ g0⎠отклонения рычага от горизонта связана с изменением силы тяжести ∆g.
Длячувствительности упругой системы можно написать следующие выражение:58ν (ϕ ) =⎛∂ϕ∂ϕ ⎞⎟ = ν 0 (cos ϕ − νg sin ϕ ) .= ν 0 ⎜⎜ cos ϕ − g sin ϕ∂g∂g ⎟⎠⎝Дальнейшие преобразования:(1 + ν 0 g sin ϕ )ν = ν 0 cos ϕ , ν = ν 0cos ϕ.1 + ν 0 g sin ϕХарактер изменения чувствительности в зависимости от наклона маятника будетследующим: при ϕ = 0 чувствительность системы будет равна номинальной ν = ν0. Призначения угла ϕ меньше нуля (ϕ < 0) чувствительность системы будет выше номинальной(ν > ν0), а при значения угла ϕ больше нуля (ϕ > 0) чувствительность системы будет ниже1, и значениеноминальной (ν < ν0).
При некотором значении угла ϕ sin ϕ = −ν0gчувствительности вырастает до бесконечности, рычаг опрокидывается.5.Угол отклонения рычага от горизонта может быть измерен только относительнокорпуса прибора. Если корпус прибора наклонен на некоторый угол α, то момент силы,создаваемый весом грузика m, будет представлен следующим образом:M (ϕ ) = mga cos(ϕ + α ) ,соответственно, выражения для угла ϕ и чувствительности ν приобретут вид:ϕ = ν 0 ( g cos(ϕ + α ) − g 0 ) , ν = ν 0cos(ϕ + α ).1 + ν 0 g sin(ϕ + α )Эти соотношения показывают, что чувствительность системы зависит не только от углаотклонения маятника от приборного горизонта, но и от угла наклона самого прибора.6.Рассмотрим динамику упругой системы:J (ϕ&& + α&&) + hϕ& + k (ϕ + Φ ) = m(g + wz )a cos(ϕ + α ) + mwx a sin(ϕ + α ) .В этом уравнении J – момент инерции, h – коэффициент трения маятника относительнокорпуса прибора, k – коэффициент крутильной жесткости нити.
Сделаем следующиепреобразования в предположении малого угла ϕ:cos(ϕ + α ) = cos ϕ cos α − sin ϕ sin α = cos α − ϕ sin α ,sin(ϕ + α ) = sin α + ϕ cos α .Теперь исходное уравнение можно переписать так:J (ϕ&& + α&&) + hϕ& + k (ϕ + Φ ) = mga cos(ϕ + α ) + mwz a(cos α − ϕ sin α ) + mwx a(sin ϕ − ϕ cos α ) .Далее, с учетом того, что59wz cos α + wx sin α = wζ ,− wx cos α + wz sin α = − wξ ,и пренебрегая членом Jα&& , поскольку этот член является линейной добавкой квертикальному ускорению, запишемJϕ&& + hϕ& + k (ϕ + Φ ) ≅ mga cos(ϕ + α ) + ma (wζ + ϕwξ ) .7.Введем обозначенияhJ= τ , = τ 12 . Тогдаkkτ 12ϕ&& + τϕ& + ϕ = ν 0 g cos(ϕ + α ) − Φ + ν 0 ( wζ + ϕwξ ) ,cos(ϕ + α ) = 1 −(ϕ + α ) 2, Φ = ν 0 g0 ,2⎡τ 12ϕ&& + τϕ& + ϕ = ν 0 ⎢( g − g 0 ) −⎣⎤(ϕ + α ) 2g 0 + wζ − ϕwξ ⎥ .2⎦Номинальная чувствительность ν0 переводит изменение ускорения силы тяжести в угол.Основная задача состоит в том, чтобы через значение угла ϕ определить значение g.
Ночувствительность гравиметра может меняться в зависимости от наклона гравиметра, и этоприводит к дополнительным возмущающим ускорениям.8.Перепишем полученное соотношение следующим образом:⎛τ 12ϕ&& + τ 0ϕ& + ϕ = ν 0 ⎜⎜ ∆g 0 + wζ − g⎝α2 ⎞ϕ2⎟ + ν 0 (wξ − gα )ϕ − ν 0 g.2 ⎟⎠2Первое слагаемое в этой формуле присутствует во всех гравиметрах с фиксированнойосью чувствительностью. Второй и третий члены обусловлены колебаниями осичувствительности.9.На практике τ1 << τ0, и когда нет ускорений wξ = wζ = 0 , α = const, ϕ2 ≈ 0,уравнение динамики системы приобретет следующий вид⎛τ 0ϕ& + ϕ = ν 0 ⎜⎜ ∆g − g⎝Слагаемое gα22α2 ⎞⎟ − ν 0 gαϕ .2 ⎟⎠= ∆g α учитывает наклон системы. Введем обозначение ∆g − gТогдаτ 0ϕ& + (1 + ν 0 gα )ϕ = ν 0 ∆g~ .Это уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами60α22= ∆g~ .τ0ν0ϕ& + ϕ =∆g~ ,1 + ν 0 gα1 + ν 0 gαилиτϕ& + ϕ = ν∆g~ ,где ν - угловая чувствительность системы при малых углах ϕ и α.10.Если ϕ& = 0 , т.е.
рычаг находится в покое, то ϕ = ν∆g~ . Это означает, что отклонениемаятника системы определяется угловой чувствительностью. Если положить ∆g~ = 0 , торешение однородного дифференциального уравнения τϕ& + ϕ = 0 , будет следующим:−tϕ = ϕ 0e τ .τ0), зависящая от положения рычага1 + ν 0 gανотносительно горизонта, т.е. от угла α. Отметим, что отношение− постоянноτν( = const ).τЗдесь τ - постоянная времени ( τ =11.Вернемся к полученному ранее дифференциальному уравнениюα2 ⎞⎛⎝В предположении, что τ1 << τ0 и ∆g~ = ∆g − gϕ2⎟ + ν 0 (wξ − gα )ϕ − ν 0 g.2 ⎟⎠2τ 12ϕ&& + τ 0ϕ& + ϕ = ν 0 ⎜⎜ ∆g 0 + wζ − gα22, это уравнение может быть переписано вследующем виде:⎛τ 0ϕ& + ϕ = ν 0 ⎜⎜ ∆g~ + wζ + (wξ − gα )ϕ − g⎝ϕ2 ⎞⎟.2 ⎟⎠Отметим следующий факт. Даже в том случае, когда значения угла отклонения рычага отположения приборного горизонта ϕ колеблются относительно нуля, присутствие членаgϕ22приводит к тому, что появляется некоторый уровень, который по своему поведениюне будет отличим от характера изменения поля силы тяжести, т.е.
возникаетсистематическая ошибка в измерениях.12.Пусть wζ ≈ &z& . Такой ситуации можно добиться на специальном испытательномстенде, когда установленный на этом стенде прибор совершает только вертикальныеперемещения. Приращение силы тяжести ∆g также будет в этом случае равно нулю.
Дляуравнения движения рычага маятника можно записать61τ 0ϕ& + ϕ = ν 0 &z& ,пренебрегая при этом остальными членами в исходном уравнении. Кроме того, т.к.τ 0ϕ& >> ϕ , то и это уравнение приобретет вид: τ 0ϕ& = ν 0 &z& . Отсюда следует, что скоростьизменения угла ϕ связана с величиной вертикального ускорения, а сам угол – прямопропорционален скорости перемещения системы.ϕ=ν0z& .τ0Далее можно записать2g ⎛ν ⎞= ν 0 ⎜⎜ 0 ⎟⎟ z& 2 = Kz& 2 .g22 ⎝τ0 ⎠ϕ2Таким образом, это слагаемое прямо пропорционально квадрату скорости вертикальногоперемещения основания.
К сожалению, коэффициент K узнать практически невозможно.Поэтому на испытательном стенде надо таким образом отрегулировать прибор, что бы онв наименьшей степени зависел от вертикальной скорости основания. Следует отметить,что этот недостаток присущ всем гравиметрам с фиксированной осью чувствительности.Нелинейность может быть самого разного происхождения. Поэтому необходимодобиваться линейности систем в зависимости от внешних сил, иначе могут возникатьсистематические ошибки.13.Рассмотрим следующее возмущающее ускорение второго порядка, для которого, сучетом сглаживающего оператора гравиметра Г, можем записать:~ ϕ = δg .Г (wξ − gα )ϕ = Гwξcc~ можно измерить с помощью акселерометра. Угол наклона рычага ϕКомпоненту wξможет быть также измерен. Это, на пример, сделано в гравиметре GSS-2, в котором этивеличины измеряются и отдельно учитываются.
В действительности нас интересуеттолько главная часть ускорения wξ, для которой можно записать wξ ≈ &x& . С учетом того,что ϕ =ν0z& , получимτ0δg cc =ν0&x&z& ,τ0где знак черты означает осреднение. Эффект, связанный с появлением систематическойошибки δgcc носит название кросс-каплинга (cross-coupling). Чем больше величина ν0 тембольше этот эффект. Для его уменьшения следует увеличить значение τ0, и обычно этувеличину стараются сделать более 1000 с.14.Рассмотрим пример. Пусть &x& = a x cos(ωt ) , &z& = a z cos(ωt + δ ) , тогда62δg cc =ν0νπa x a z cos(ωt ) cos(ωt + δ ) = 0 a x a z cos(ωt ) cos(ωt + δ − ) =τ 0ωτ 0ω2ννπ= 0 a x a z cos(δ − ) = 0 a x a z sin δ .2τ 0ω22τ 0ωδ - разность фаз между вертикальным и горизонтальным ускорениями.
Эффектπ 3π1радмаксимален при δ = ,. Пусть ν 0 = 2′′= 10 −5, τ0 = 200 с, ω = 1 с-1, aх = ay =мГалмГал⋅срадрад=50000 мГал. В этом случае ν 0 = 0,5 ⋅ 10 −5=1, и эффект за кросс-каплингмГалм11будет равен δg cc =⋅ 0,5 ⋅ 0,5 == 62,5 мГал . Как видно, эта величина – достаточно4001600большая, и ее необходимо учитывать.2215.Рассмотрим две идентичные системы рычажного типа. Ясно, что в таких системах,когда рычаги повернуты в разные стороны, эффекты будут иметь противоположенныезнаки, и в одном случае увеличивать значения силы тяжести, а в другом – уменьшать. Этодает способ исключить влияние эффекта кросс-каплинга: гравиметр должен включать двесистемы, повернутые в разные стороны.
Другой путь – использовать два идентичныхгравиметра с системами, повернутыми в противоположенные стороны. Средний отчет изпоказаний таких гравиметров будет свободен от этого эффекта. Для подбора идентичныхгравиметров в рабочую пару необходимо их тестировать на специальном орбитальномстенде.16.Из серийных гравиметров, выпускаемых в бывшем Советском Союзе, гравиметрсерии МГК реализовывает изложенные в этой лекции принципы.
Этот гравиметр имеетсканирующее устройство для перевода угла отклонения рычага чувствительного элементав цифровой сигнал и блок вычислительного устройства для предварительной обработкисигнала. Гравиметр имеет стабилизацию силовой платформой.Лекция 13. Гравиметр ГМН-К.1.Рассмотрим принципиальное устройство морского набортного гравиметра ГМН-К(гравиметр морской набортный кварцевый), разработанный в отделе гравиметрииВНИИГеофизики в 70-х годах под руководством В.О.Баграмянца.
Теоретическоеобоснование этого гравиметра было проведено в отделе гравиметрии ГАИШВ.Л.Пантелеевым. Было организовано серийное производство этого гравиметра, и онполучил широкое распространение в Советском Союзе. В основу этого гравиметра былположен сухопутный гравиметр ГАК (гравиметр астазированный кварцевый), которыйбыл приспособлен для морских наблюдений. Астазирование вводится для повышенияугловой чувствительности.
В отличие от гравиметров аналогичных гравиметру МГК,здесь применяется компенсационный способ измерения. Следует отметить, что внастоящее время астазирование потеряло свою актуальность, поскольку появилисьдатчики малых перемещений, например, емкостные. В то же время, астазированиеприводит к дополнительным проблемам и разного рода неприятностям. Системагравиметра – цельнокварцевая, исключение – рычаг (маятник), который имеетметаллическую насадку, которая служит, в том числе, и для температурной компенсации.632.Плавленый кварц имеет особенность – термоэластический коэффициент,характеризующий относительное изменение крутильной жесткости материала кизменению температуры, у него положителен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
