В.Л. Пантелеев - ИЗМЕРЕНИЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ НА ПОДВИЖНОМ ОСНОВНИИ (1186115), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Их неучёт можетпривести к появлению «ложных» аномалий.3.Так как методами фильтрации не удается избавиться от возмущающих ускорений,связанных с наклоном гравиметра, то необходимо попытаться стабилизировать основаниегравиметра, т.е. удерживать его в горизонтальном положении. К сожалению, техническиудерживать платформу точно в горизонтальном положении практически невозможно. Новозникает вопрос о величине допустимых углов наклона, при которых эти ускорениябудут иметь значение меньше заданного, т.е. будут подавлены.
Для этого необходимопроанализировать реакцию гравиметра на возмущающие ускорения.4.В общем виде, преобразование сигнала wζ, проходящего через гравиметр, можнопредставить следующим образом:⎧⎧gα 2 ⎫gβ 2 ⎫wζ → Гравиметр→ Г{g + wz } + Г ⎨αwx −βwГ+−⎬,⎨ y⎬2 ⎭2 ⎭⎩⎩13где Г{*} – оператор, который переводит входной сигнал, поступающий на гравиметр, ввыходной. Обычно оператор Г{*} является линейным и описывается интегралом типасвертки. В этом выражении второй и третий члены описывают реакцию системы навозмущающие ускорения 2-го порядка, и которые приводят к ошибкам измерения.
Какуже отмечалось в предыдущей лекции, если α и wx не коррелированны, то оператор Г{*}может подавить слагаемое αwx, но компонента gα2останется. Точность 0,1 мГал2потребует, что бы угол наклона α не превышал одной минуты дуги длянекоррелированных α и wx, и около одной секунды – для коррелированных. Прямымиметодами измерить такие углы наклона гравиметра на подвижном основании невозможно, поэтому необходимо пойти другим путем – выбрать подвес или платформу,реагирующие на горизонтальные ускорения.5.Рассмотрим случай, когда α возникает под действием возмущающего ускорения wx,т.е.
система будет совершать вынужденные колебания, и угол наклона всей системы будетwреакцией на входной сигнал x :g-w xwxgкwx⎧w ⎫→ W ⎨ x ⎬ =α,g⎩g ⎭т.е. W{*} – оператор, переводящий горизонтальноеускорение wx в угол α. Аналогичную запись можно⎧ wy ⎫сделать и для угла β: β= W ⎨ ⎬ . Основная идея⎩ g ⎭состоит в том, что, измерив компонентыгоризонтального ускорения wx и wy, можноопределить углы наклона системы α и β, определивдля этого оператор W{*} опытным путем.gКажущаяся вертикаль6.Используем частотный подход для анализа оператора W{*}.
Пусть на входсистемы подается синусоида определенной частоты. Тогда на выходе системы так жебудет наблюдаться синусоида, но имеющая отличную амплитуду и фазовый сдвиг посравнению с входной. Причем амплитуда и сдвиг будут зависеть от частоты входнойсинусоиды. Этот процесс удобно описать с помощью функций комплексных переменных,и в этом случае функция W(iω) будет называться амплитудно-частотной характеристикой(АЧХ) преобразования:W(iω) = λ(ω)eiϕ(ω)= λ(ω)cos(ϕ(ω) ) +i λ(ω) sin(ϕ(ω) ) = ReW + iImW,где λ(ω) = W(iω ) , ϕ(ω) = arg(W(iω)).7.Пусть горизонтальное ускорение wx представляет собой некоторое периодическоеускорение с частотой ω, которое может быть смоделировано на специальном стенде:wx = axcos(ωt).14В этом случае отклик системы, т.е.
угол наклона системы α, будет определятьсяследующим соотношением:aα = x λ(ω) cos (ωt + ϕ (ω )) .gПусть оператор Г является сглаживающим оператором, тогда можно записать:⎧α2⎫α2Г ⎨ w xα − gg = δg wx ,α ,⎬ = w xα −2 ⎭2⎩где черта сверху означает операцию сглаживания, δg wx ,α - это ошибка, возникающаявследствие перемещения платформы. Для первого слагаемого в этой формуле можнозаписатьa x2a x2w xα =λ (ω )cos(ωt ) cos(ωt + ϕ (ω )) =λ (ω ) cos(ϕ (ω )) .g2gЭто слагаемое будет равно нулю при заданной частоте ω в том случае, когда ϕ (ω ) =π2.Для второго слагаемого получим:α22g=a21 a x2 2λ (ω )cos 2 (ωt + ϕ (ω )) = x λ 2 (ω ) .2 g4gЭтот член всегда присутствует и создает систематическую ошибку в наблюдениях.Объединим оба слагаемых:δg w ,αx()a x2a x222=2λ (ω ) cos(ϕ (ω )) − λ (ω ) =2 Re W (iω ) − W (iω ) .4g4g()8.Представим ситуацию, когда платформа, на которой установлен гравиметр,безинерционна, т.е.
мгновенно ориентируется по кажущейся вертикали. В этом случае мыне наблюдаем сдвига фаз между углом наклона платформы α и возмущающимускорением wx. Это означает, что частотная характеристика W(iω) действительна и равнаa21, т.е. W(iω) = 1. Тогда δg wx ,α = x . Эта ошибка присутствует в частности в показаниях4gгравиметра, расположенного в кардановом подвесе, и ее необходимо вычислять иучитывать.
Эту поправку за наклон системы называют поправкой Броуна (Brown), и онаможет достигать очень больших значений. Так, на пример, если этот подвес находится нанадводном судне, то амплитуды горизонтальных возмущающих ускорений могут25 ⋅ 10 8достигать больших величин.
Пусть ax = 50000 мГал, тогда δg wx ,α == 625 мГал. Не4 ⋅ 10 6учет этой величины может свести на нет все усилия по определению значения силытяжести. Тем не менее, безынерционный карданов подвес применяется при наблюденияхна подводных лодках, где возмущающие ускорения можно считать малыми.9.Рассмотрим систему пассивного карданова подвеса. Этот подвес имеет две степенисвободы, а центр масс лежит ниже точки пересечения осей. В этом случае вся система15ведет себя как физический маятник.Уравнение движения физического маятникаимеет вид:Jα&& = − Mgl sin α + Mwx l cos α − hα& .Здесь J – момент инерции, α&& - угловое- момент сил,ускорение, Mgl sin αсоздаваемый силой тяжести (знак “-“указывает на то, что этот момент силприводит к уменьшению угла α),Mwx l cos α - момент сил, создаваемыйгоризонтальнымускорением,hα&учитывает силу вязкого трения в осимаятника.
Будем полагать, что угол α мал,и, соответственно, sin α ≈ α , cos α ≈ 1 , иMglhвведем обозначения:= n02 , = 2ε . n0 –JJсобственная частота колебаний маятника(карданова подвеса). С учетом введенныхобозначений уравнение колебания маятника может быть переписано следующим образом:α&& + 2εα& + n02α = n02wx.g10.Нами записано уравнение колебательного движения физического маятника.Необходимо исследовать поведения угла наклона α этой системы в зависимости отхарактера поведения горизонтального возмущающего уравнения wx. Для этих целейвоспользуемся операторным подходом к определению частотной характеристикисистемы, описываемой этим уравнением. Определим оператор дифференцированияD = dtd , тогда можно записать, что Dα = α& , D 2α = α&& , и(D2)+ 2εD + n02 {α } = n02wx.gИз последнего уравнения следуетn02⎧ wx ⎫⎧ wx ⎫α= 2⎬ = W ( D)⎨ ⎬ .2 ⎨D + 2εD + n0 ⎩ g ⎭⎩g ⎭Если положить, что угол α описывается комплексной экспонентой α=eдифференцирования будет D = iω, и W ( D) D =iω = W (iω ) .iωt, то операторПусть система не имеет трения.
Это означает, что ε = 0, тогда амплитудноn2частотная характеристика такой системы W (iω ) = 2 0 2 и является действительнойn0 − ωфункцией. Это означает, что ошибка за наклон и горизонтальные возмущающиеускорения такой системы могут быть описаны следующими соотношениями:11.16δg w ,αx()a x2a x2a x2 ⎛⎜ 2n02n0422=−2λ cos ϕ − λ =2 Re W (iω ) − W (iω ) =4g4g4 g ⎜⎝ n02 − ω 2n02 − ω 2()После упрощений получим δg wx ,α =a x2 ⎛⎜ω41−4 g ⎜⎝n02 − ω 2формулы Венинг-Мейнеса, а отношение((⎞⎟.2 ⎟⎠)⎞⎟ . Эта формула носит название2 ⎟⎠)a x2- поправки Броуна.4g12.Рассмотрим случай, когда период качки корабля Tω в несколько раз превышаетсобственный период карданова подвеса T0.
В этом случае частотная характеристикапреобразования будет определяться отношением периода карданова подвеса к периоду4T04 ⎛ T0 ⎞качки корабля 4 ≈ 4 = ⎜⎜ ⎟⎟ . Предположим, что T0 = 1,5 с, а Tω = 5 с, тогда этоn0 Tω ⎝ Tω ⎠отношение будет равно 0,008. Это приводит к тому, что в формуле для ошибки силытяжести существенное влияние оказывает только первый член, т.е. поправка Броуна. Этопозволяет, в частности, использовать карданов подвес в условиях, где горизонтальныеускорения малы и имеют достаточно большой период, например, на подводных лодках.Однако поправку Броуна все равно необходимо учитывать, для чего необходимо знатьвеличину горизонтальных ускорений.ω413.Характер поведения ошибки δgw,αв зависимости от частоты представлен нарисунке.
Из него видно, что дорезонансной частоты существует рабочаяω область, значения ошибки в которойпрактическипостоянныиравны0значениюпоправкиБроуна.Приприближении к резонансной частоте1234величина ошибки начинает возрастать ипри этом значение ошибки становится со-4знаком “-“.
При значениях частотбольшихрезонанснойчастоты,погрешность по своей величине вновьуменьшается, т.е. рабочий участок-8переходит за резонансную частоту.Практическиэтоозначает,чтонеобходимоуменьшитьзначениерезонанснойчастотыn0-12или,чтотожесамое,увеличить периодГрафик изменения ошибки δgкачаниякардановаподвесаT0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
