В.Л. Пантелеев - ИЗМЕРЕНИЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ НА ПОДВИЖНОМ ОСНОВНИИ (1186115), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Основные понятия и определения основ теории измерения силы тяжестина подвижном основании.1.Уравнение, на котором построена теория измерения силы тяжести на подвижномосновании, является уравнение, основанное на втором законе Ньютона:d 2rm 2 = mg ′ + F ,dtгде r – перемещение массы m в инерциальной системе координат, F –упругая,электромагнитная или электростатическая сила, удерживающая пробное тело наосновании, тg′ – сила притяжения пробной массы m к Земле (гравитационная сила).
Этоже уравнение может быть переписано следующим образом:d 2rF= g′ + .2mdtFи величина g′ физически являются силами,mвоздействующими на единичную массу. Такие силы называются удельными силами.FТаким образом,- удельная негравитационная сила, а g′ – удельная гравитационнаяmсила (сила тяготения). Но, т.к. эти силы, имеют размерность ускорения, то величину g′Fобозначают как кажущиеся ускорениеобычно называют гравитационным ускорением,mВ этом уравнении отношение8d 2r- абсолютным ускорением wа.
Введя такие обозначения, предыдущее уравнениеdt 2можно записать какwк, аwа = g′ + wк.Это уравнение является основным уравнением теории инерциальной навигации, которая внастоящее время имеет много общего с теорией измерения силы тяжести на подвижномосновании.2.В неинерциальной системе отсчета, участвующей во вращении Земли, удельнаясила тяжести g будет складываться из двух сил: гравитационной силы g′ и силы инерциицентростремительного ускорения u × (u × r ) , где u – угловая скорость вращения Земли:g = g ′ - u × (u × r ) ,поэтому g ′ = g + u × (u × r ) .3.На основании уравнения инерциальной навигации wа = g′ + wк, можно получитьследующее уравнение:w а = g + w к + u × (u × r ) .4.Какие величины, входящие в это уравнение, могли бы быть измерены?Центростремительное ускорение может быть только вычислено, задавшись угловойскоростью вращения Земли u и радиус-вектором r точечного пробного тела относительноцентра Земли.
Величину абсолютного wа ускорения можно было бы измерить только втом случае, если бы наша система координат, связанная с пробным телом (назовём еёподвижной системой координат), совпадала бы с абсолютной системой координат (будемназывать её неподвижной системой). Таким образом, находясь в подвижной системеотсчета непосредственно можно измерить только кажущееся ускорение wк, например, каксжатие или растяжение пружины, удерживающей пробное тело.5.Будем считать, что Земля вращается равномерно, и перейдем к системе координат,связанной с вращающейся Землей.
Тогдаw а = w + u × (u × r ) + 2(u × v ) ,где w – переносное ускорение (ускорение подвижной системы координат с пробнымтелом относительно неподвижной), u×(u×r) – реализует центростремительное ускорение,2(u×v) – ускорение Кориолиса, где v – относительная скорость подвижной системыкоординат относительно неподвижной (скорость системы координат с пробным теломотносительно системы координат, связанной с Землей). В то же время нами былополучено соотношение w а = g + w к + u × (u × r ) . Из этих двух уравнений можно получить:g = w - w к + 2(u × v ) .6.Если w = 0 и v = 0, т.е.
система находится в покое и участвует только во вращенииЗемли, то g = -wк. Уместно ввести понятие кажущейся силы тяжести gк = -wк, и тогда9g = g к + w + 2(u × v ) .Это уравнение является основным уравнением инерциальной гравиметрии. Единственнымпараметром, которой возможно было бы измерить, находясь в подвижной системекоординат, является кажущаяся сила тяжести gк. Остальные параметры, входящие в этоуравнение необходимо определять или вычислять. Так, находясь на борту судна, скоростьэтого судна v измерить непосредственно невозможно. Это возможно сделать с помощьюлага, но в этом случае определяется скорость только относительно воды.
Другойвозможный путь – по обсервациям, т.е. вычислительным путем. Переносное ускорение wтак же не может быть измерено, поскольку акселерометры в своей конструкцииотличаются от гравиметра только ориентировкой осей чувствительности. Они измеряютне переносное ускорение, а кажущееся ускорение, которое содержит влияние и силыинерции и силы тяжести. Так же, как и гравиметр, акселерометры основаны на принципеинерции пробной массы.7.Все величины, входящие в полученноеуравнение – векторные, и, как уже отмечалось,находясь на подвижном основании (в подвижнойwксистеме координат)измерить можно тольковеличину вектора gк.
Этот вектор можноПробнаяпредставить в виде отдельных компонент. Длямассаэтого возьмем две системы. Одна будет связана сгеографической системой Земли, и будетобозначаться как (x,y,z), другая, (ξ,η,ζ), – сgкносителем, т.е. с подвижной системой координат.В частном случае, это может быть кардановподвес или платформа, на которых закрепленгравиметр, судно или самолет. Гравиметр устроенОсь чуствительноститаким образом, что измерение проводится тольковдоль одного направления – оси чувствительности прибора. Будем предполагать, что естьтри оси чувствительности.
Пусть в системе координат (ξ,η,ζ), связанной с носителем,r r rrrrp, q , r - орты вдоль осей чувствительности. Тогда wξ = w к ⋅ p , wη = w к ⋅ q , wζ = w к ⋅ r ,где wк – кажущееся ускорение. В основной системе координат кажущееся ускорениеимеет компоненты (wx, wy, wz + g) , т.е.⎛ wξ ⎞⎛ wx ⎞⎜ ⎟⎜⎟w к = ⎜ wη ⎟ , w к = ⎜ w y ⎟ .⎜w ⎟⎜w + g⎟⎝ z⎠⎝ ζ⎠8.Переход из одной системы координат в другую описывается следующимисоотношениями:⎛ wξ ⎞ ⎛ cos ξx cos ξy cos ξz ⎞⎛ wx ⎞⎛ wx ⎞⎜ ⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜ wη ⎟ = ⎜ cosηx cosηy cosηz ⎟⎜ w y ⎟ = Г⎜ w y ⎟ ,⎜ w ⎟ ⎜ cos ζx cos ζy cos ζz ⎟⎜ w + g ⎟⎜w + g⎟⎠⎝ z⎠⎝ z⎠⎝ ζ⎠ ⎝⎛ wξ ⎞⎛ wx ⎞⎜ ⎟⎜⎟*⎜ w y ⎟ = Г ⎜ wη ⎟ .⎜w ⎟⎜w + g⎟⎝ z⎠⎝ ζ⎠Здесь компоненты wξ и wη можно измерить акселерометрами, wζ - гравиметром илиакселерометром.
Казалось бы, что, зная компоненты (wξ, wη, wζ) и матрицу обратного10перехода Г*, можно было бы определить компоненты (wx, wy, wz + g), но, к сожалению, этоневозможно, поскольку невозможно точно определить углы между осями подвижнойсистемы координат и основной.9.Обозначим через α угол между осями Оξ и Ох, и пустьэтот угол мал. В этом случаеzζcos ξx = cos α ≅ 1 cosξy = 0;xcosξz = cos(90 + α ) ≅ -α.αξyα2;2Аналогично для угла β ≈ 0 между осями Оη и Оy можнозаписатьcos ηx = 0;cosηy = cosβ ≅ 1 cosηz = − β .β22;В этом случае матрицу направляющих косинусов Г будет иметь вид:⎛ α2⎜1 −2⎜⎜Г=⎜ 0⎜⎜ α⎜⎝1−⎞⎟⎟⎟−β⎟,α 2 + β 2 ⎟⎟1−⎟2⎠−α0β22βи, соответственно, компоненты вектора ускорения в подвижной системе координатопределяются соотношениями:⎛ α2 ⎞⎟ wx + 0 ⋅ w y − α (wz + g ) ,wξ = ⎜⎜1 −2 ⎟⎠⎝⎛ β2⎞⎟⎟ w y − β (wz + g ) ,wη = 0 ⋅ wx + ⎜⎜1 −2⎠⎝⎛ α2 +β2 ⎞⎟⎟(wz + g ) .wζ = αwx + βw y + ⎜⎜1 −2⎠⎝10.С учетом малости углов α и β в полученных выражениях можно пренебречьчленами α2wx, β2wy, (α2 + β2)wz, но в то же время нельзя пренебречь членами, в которыесомножителем входит g, поскольку эта величина большая, порядка 106 мГал.
С учетомэтих допущений последние соотношения будут записаны следующим образом:wξ = wx − αg ,wη = w y − βg ,11wζ = g + wz + wxα + w y β − gα22−gβ22.11.Соответственно, можно выразить компоненты вектора ускорения в основной(инерциальной) системе координат через компоненты вектора ускорения в подвижнойсистеме координат:wx = wξ + αg ,w y = wη + βg ,g + wz = wζ − wξ α − wη β −g 2(α + β 2 ).212.Таким образом, нами получены следующие результаты. Первый – осьчувствительности гравиметра должна быть вертикальна. Это означает, что если приборрасположен на платформе, то эта платформа должна находиться в горизонтальномположении с тем, что бы углы α и β были близки к нулю.
Это связано с тем, что, находясьна борту судна, невозможно непосредственно измерить углы наклона платформыотносительно неподвижной системы координат. Второй важный результат состоит в том,что при малых углах наклона платформы можно определить сумму (g + wz). Необходимозаметить, что wz – вертикальное ускорение, связанное с движением носителя и можетдостигать сотен тысяч мГал. Для того, что бы исключить влияние этих ускорений, можнобыло бы указать разные пути.
Один из них – знать траекторию носителя. Но этот путь дляморских условий не приемлем. Второй путь – многократные измерения. Так как wz вовремени будет иметь случайную реализацию, то накопление результатов может привестик подавлению влияния этих ускорений. Но в большинстве случаев и этот подходневозможно использовать. Следующий путь – фильтрация сигнала (g + wz) с цельювыделения полезной составляющей. Этот путь является наиболее перспективным итребует разработки алгоритмов и методов выделения полезного сигнала.Зададимся вопросом, какие углы наклона носителя можно считать пренебрежимо13.малыми? Если бы горизонтальное ускорение wξ и угол наклона α были независимыми, т.е.имели бы разные периоды качки, то среднее значение их произведения за большойинтервал времени было бы равно нулю, т.е.
wξ α = 0 . Однако, эти величины могут бытькоррелированны. Пусть α = α 0 cos ωt и wξ = w0 cos(ωt + ϕ ) . Тогда1wξ α = α 0 w0 cos ϕ .2Из полученного результата следует, что ошибка за счет горизонтального ускорения инаклона платформы достигает максимальной величины при значении ϕ, равном 0 или π.Предположим, что w0 = 50000 мГал, и потребуем, что бы было выполнено условие1wξ α < 1 мГал. Тогда α <≈ 8′′ . Стоит отметить, что с помощью уровней можно25000фиксировать наклон с точностью до минуты. В то же время, рассмотренная ситуация быланаиболее неблагоприятной, так как мы предположили синфазность наклонов и ускорения,поэтому требования к наклонам могут быть несколько ниже.12Лекция 3.
Стабилизация основания.1.В предыдущей лекции было введено понятие кажущегося ускорения силы тяжести,которое равно кажущемуся ускорению, взятому с противоположенным знаком, gк = -wк.Вектор ускорения можно разложить по координатным осям как в подвижной,неинерциальной, системе координат, связанной с прибором,g к = −(wξ , wη , wζ ) = − w k ,так и в неподвижной, инерциальной, системе координатg к = −(wx , w y , wz + g ) .Стоит еще раз отметить, что измерения происходят в первой, в подвижной, системекоординат. Кроме того, мы установили, чтоwξ = wк − αg ,wη = w y − βg ,wζ = g + wz + αwx + βw y − gα2 + β2.22.Так как ось чувствительности гравиметра совпадает с осью Oζ, то для нас интереспредставляет третье уравнение. В нем wz - возмущающее ускорение первого порядка,связанное с ускорениями, возникающими под действием качки корабля, а такжекориолисова ускорения и центростремительного ускорения.
Величины αwx, βwy,α2 + β2α2 + β2g– возмущающиеускорения второго порядка.Слагаемое g,22учитывает тот факт, что проекция вектора g уменьшается при наклоне. Все вместе этислагаемые образуют возмущающее ускорение, связанное с наклоном системы и являютсяпомехой, от которой необходимо избавиться. Один из способов – применение методовфильтрации для выделения полезного сигнала. Но методами фильтрации невозможноизбавиться от постоянных компонент возмущающего ускорения, от возмущающегоα2 + β2и других ускорений 2-го порядка, так как они содержат низкиеускорения g2частоты, лежащие в полосе частот полезного сигнала (изменения силы тяжести) и почастотному признаку не различимы от гравитационных аномалий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
