Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Связь этой формальной усгойчивости с содержательной, те. с оценкой роста вычислительных погрешностей, составляет существо этой весьма нетривиальной теории, развитие которой (С. К. Годунов, В. С. Рябенький) привело к выделению тонких и нестандартных в классической спектральной теории понятий (спектр семейства разностных операторов и др.). Заметим, что вычислительная устойчивость схемы имеет место как при р > О, когда исходная дифференциальная задача действительно устойчива, так и при В < О, когда она неустойчива.
В последнем случае, если р меньше некоторого рз < О, решение дифференциальной задачи растет, должно, соответственно, расти и решение разиостной задачи, но этот рост не имеет катастрофического характера, его темп от т практически не зависит. Таким образом, следует отличать неустойчивость решения разностного уравнения, являющуюся аппроксимацией неустойчивости решения дифференциальной задачи, от вычислительной неустойчивоз — ~взз 1зо основы вычислвтвльнои млтвмлтики сти разностной схемы, которая является неприемлемым недостатком данной разностной схемы и к дифференциальной задаче отношения не имеет.
Рекомендуем читателю провести численное решение задачи с разными р, а также проверить, что краевое условие и« вЂ” 2и, = 0 вычислительно-неустойчиво. Однако это лишь методический пример, так как он соответствует аппроксимации физического краевого условия с ненормальным значением р = — 2/Ь. Устойчивость и погрешности расчетов. Итак, мы выделили два основных свойства разностных схем: аппроксимацию н устойчивость, наличие которых по теореме Рябенького — Филиппова обеспечивает точность расчета. Однако не секрет, что часто расчеты дают неверные результаты.
Более того, практически каждый достаточно сложный расчет не имеет никаких гарантированных (в математическом смысле) оценок точности. Даже в тех относительно простых ситуациях, когда имеются оценки точности, ими лучше не пользоваться: они настолько завышены, что могут привести к незаслуженной дискредитации полученных результатов.
В сущности, любая теорема о сходимости содержит оценку погрешности вида, например, 0(т«+ пг), и при желании ее можно превратить в реальную оценку типа С,т«+ С Ьг, однако постоянные С,, С столь велики, что авторы подобных теорем о сходимостн предусмотрительно не вычисляют их. (Во всяком случае, автор ни разу не видел, чтобы подобные оценки доводились до числа в том или ином расчете.
Замечательным исключением являются работы К, И. Бабенко и его последователей по так называемым «доказательным вычислениям». Но это тема отдельного обсуждения.) Выше было указано, что установление факта аппроксимации— стандартная элементарная выкладка, ошибиться в ней трудно. Использование для расчетов схемы, не аппроксимирующей исходную задачу, маловероятно. Напротив, установление устойчивости очень сложно, и, строго говоря, в большинстве случаев прикладные расчеты проводятся по схеме, теоретическая устойчивость которой не установлена. Можно ли из этого сделать вывод, что причиной ошибочных численных результатов является фактическая неустойчивость алгоритма? Нет. Дело обстоит как раз наоборот; неустойчивость схемы практически никогда не приводит к ошибкам, так как ее последствия носят столь катастрофический характер, что не заметить их невозможно.
Часто их «замечает» ЭВМ, сигнализируя об этом «авосчом» из-за выхода чисел в область машинной бесконечности. Нелепость таких результатов столь очевидна, что они не рассматриваются как содержательно ценные. Реальным источником погрешностей, иногда полностью обесценивающих расчет, является именно погрешность аппроксимации. 6 ~г1 спектРАльный НРизнхк устОЙчиВОсти Легко устанавливается наличие «формальной аппроксимации», т.е. оценка погрешности аппроксимации величиной типа О(т«+ ЬР) в предположении существования у искомого решения такого числа ограниченных производных, которое понадобилось для этой элементарной оценки. В теорему же Рябенького — Филиппова входит «фактическая погрешность аппроксимации», о точном значении которой а рпоп' мало что можно сказать, так как для этого часто не хватает данных о точной характеристике гладкости искомого решения.
Поэтому заранее, на основе теоретических оценок, трудно сказать, достаточно ли мал используемый в расчетах шаг сетки. Доверие к результатам расчетов обычно основано на других неформальных соображениях. Такими средствами контроля являются, например: сопоставление результатов на разных сетках нли результатов, полученных разными методами; сравнение с известными, иногда точными решениями, качественно близкими к найденным численно; сопоставление с данными экспериментов или с результатами расчетов, прошедших тщательный контроль и считающихся Р «эталонными». Проблема контроля численных результатов сложна, большую роль имеют опыт и неформальные знания в той области естествознания, к которой относится расчет. Лннеаризация схемы и исследование устойчивости.
Исследование спектральной устойчивости схемы предполагает переход к некоторой ее модели — к линейному однородному разностному уравнению с постоянными коэффициентами. Построение такой модели требует некоторой аккуратности, иначе можно получить модель другой схемы, а не той, которая нас интересует.
Наиболее апробированный путь построения модели — это линеаризация разностной схемы. Речь идет о достаточно простой формальной операции. Пусть Е.,(и,) = Р, — разностная схема на сетке «з». Рассмотрим задачу для малого возмущения Р;. Другими словами, рассмотрим решение возмущенной задачи, мало отличающейся от исходной. Это возмущение вызвано, например, погрешностями вычисления Р,, т.е. заменой его на Р, + ЬЯП В ЬЯ, можно включить и последствия погрешностей машинной арифметики.
Такое возмущенное решение определяется уравнением для й, = и, + Ьи,: Е,(и, + Ьи,) = Я, + ЬГ,. Линсаризуя его (т.е. разлагая входяшие в него выражения в ряд Тейлора с точностью до первого члена), получаем Е,(и,)+Я, ЬИ,=Г,+ЬР;, где Я, — вычисленная на решении и, производная от Ь,. Итак, для Ьи, имеем линейную разностную схему «» Я, Ьи,= Ьг,. (ч. г гзг ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ Производя в ней «замораживание» коэффициентов, перенося краевые условия «в бесконечность» и игнорируя в ЬР, все, кроме возмущений начальных данных, получаем схему, поддающуюся спектральному анализу.
Поясним это на простом примере. Пусть решается уравнение тенлопроводности с нелинейным источником В=э'. ~"( ) В~+а(-). Используя явную схему с источником «на верхнем слое»: и+1 л л л и и и -и ~( и+ — и и -и и+! = ь 1<«цг Й х"-цг ь 1+ '2(и» ) хт+цг получаем для Ьи схему + Д„(и~) Ьи~~+'+ хт«цг г хм-цг Полагая х„,+,и, х,'„«нг, Ци(и,"„) равными постоянным а, Б, с соответственно («замораживая» коэффициенты), приходим к следующей схеме для Ьи: Применяя технику вычисления спектра схемы, получаем для Х(р) выражение Х( р) = — 11 — 4 — ' а зшг х + 1 т Ь зш 1-ст ~ «а г Несложный анализ, который мы предоставим провести читателю, показывает, что мы, кажется, эря сгарались с аккуратной линеариэациеи: появляющиеся дополнительные члены (/т/Ь)Ь з!и р и ст определюот малые (порядка О(т)) поправки к величине 1 — (4т/Ьг) з1пг ( р/2), которая получается в более простой модели.
А такие поправки на выводы об устойчивости не влияют. Это наблюдается не только в рассмотренном простом примере, ио и в общем случае: спектральная устойчнвгсть как асимптотическое свойство определяется аппроксимацией «главных» дифференциальных членов решаемого уравнения, младшие члены вносят в характеристическое уравнение лишь малые (порядка О(т), О(Ь)) возмущения. й !з! МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ !зз Все это так, если бы не следующее обстоятельство.
Иногда приходится решать задачи, в которых в отдельных узких частях области определения решения коэффициенты прн младших дифференциальных членах становятся очень большими (например, порядка О(1/Л)). В этом случае младшие члены в характеристическом уравнении уже оказывают на Х(р) такое же влияние, как и главные, и их надо учитывать. Пример такой ситуации — расчет ударной волны методом искусственной вязкости, который в дальнейшем будет описан подробно. Здесь укажем только, что речь идет о расчете разрыва в решении, который в вычислениях «размазывается», т.е. заменяется узкой зоной (порядка 4Л) непрерывного решения с большим градиентом О(1/Л), причем при т- О, Ь- 0 длина зоны размазывания тоже стремится к нулю, а Ррадиент решения всегда имеет величину порядка О(1/Л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
