Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Функция Л( р) называется спектральной функцией схемы. Совокупность значений, пробегаемых точкой Л(р) (в комплекснои плоскости), когда р пробегает )О, 2я), называют спектром разностной скемы. Введем формальные определения. Разностную схему называют спектрально-устойчивой, если ) Л( р) ) и 1+ Ст, Ч р Е )О, 2л), (2) где С вЂ” не зависящая от т постоянная. Другими словами, спектр устойчивой (по спектральному признаку) схемы должен лежать в Ст-расширении единичного круга. Разностную схему называют спектрально-неустойчивой, если существуют а> 1 (а не зависит от т) и р ~ )О, 2я), такие, что (3) Это пока чисто формальные определения.
Сейчас мы научимся вычислять спектр разностных схем, а затем выясним содержательный смысл введенных понятий. Он будет простым: спектрально-неустойчивые схемм не годятся для вычислений, расчеты по хаким схемам юпровождаются катастрофическим нарастанием последствий погрешностей вычислений (т.е, погрешностей машинного представления чисел, округления и т.п.). Примеры вычисления спектра. Рассмотрим примеры вычисления спектра для различных разностных схем с учетом вышеприведенных определений. 1ч. г основы вычислительной млтемлтнкн Явная схема. Вычисление Х( р) проводится просто: нужно решение и" = Х"е'"т подставить в разностные уравнения. для явной схемы имеем гыыеее« вЂ” 1«е""т Ге~'" нт — ЗРен'т+ Ге" +Не Сокращая на Х"е'"'т, получаем Л вЂ ! е ч-3+ее» Используем соотношение е 'т — 2+ е'г = — 4з!пг(р/2), В результате спектральная функции явной схемы принимает вид Л(р) =1 — 4 — 'з1п х.
Л Легко видеть, что 2( р) вещественна и Ци) = 1 — 4т//гз < Х(,р) < 1 Л(0) Итак, спектр есть отрезок 11 — 4т//гз, 1]. Условие устойчивости: ! 1 — 4т//гз и — 1, и т % /гз/2. Это есть условие Куранта, которое нам уже знакомо. Таким образом, явная схема для уравнения теплопроводности устойчива при выполнении условия Куранта (условно-устойчива). Неявная схема. Проведем те же вычисления: Гее«т(1 — О ° ~ ° е'« — а+е ч ~ л"е мтй т * После очевидных преобразований получаем Х( р) = 1 + 4 — ' з!пз х Л~ Очевидно, Х( р) Е 10, 1), 'т' т, Ь.
Неявная схема безусловно-устойчива (по спектральному признаку). Этот факт (правда, с другим пока смыслом термина «устойчивость») нам уже известен. Схе.ча «кресел» для волнового уравнения ин = и,, Схема имеет вид спектРАльный пРизнАк хстойчизости ф 2г! !27 ПОдетаВЛяя и«!!"Е1"'Т И СОКращая На Л" 'Е'вт, ПОЛуЧаЕМ 22 — гг+! Х . 2« = -4 — з!и 2 Л2 г' т.е. )! есть решение квадратного характеристического уравнения 3Р— 2 1 — 2 — 'з!ПЗМЛ+! О. — л2 г/ Исследовать спектр можно, не решая уравнения.
Заметим, что свободный член есть единица, т.е. )11 1 = 1. Здесь имеются две возможности: а) если корни вещественны, то один корень меньше единицы, второй больше единицы, т.е. схема неустойчива; б) если корни комплексно-сопряженные, то «3!1« = ! 3 ! = 1, т.е. схема устойчива. Итак, схема устойчива, если корни комплексные, т.е. если отрицателен (при всех р) цискриминант 1 — 2 — 'з!Пгх — 1 1 — 4 — 'з«пэ т -«-4 — 'з!П«х — 1 = „2 г! г «л г =4 — 'з!пг~(т з1пгй- ! Л2 г ! Л2 г Очевидно, что при всех г а !О, 2п) это выражение отрицательно только для т/Л и 1, Это н есть условие Куранта для схемы «крест».
Шахматпиал схема. Рассмотрим систему уравнений, описывающих распространение звука и,+22„=0, 221+и„=О. Поясним некоторые новые обьекты. Прежде всего удобно ввести так называемую шахматную сетку, т.е. определить сеточные Функции и и 21 в разных точках. Итак, введем «целые» точки, илн и-точки: Т„° лт, х ° п2Л. В этих точках определим и" .
Введем «полуцелые» точки, нли 22-точки: /„+н — — (п+ 1/2)т, х +„— — (п2 + 1/2)Л. В этих точках опРеделим 22"+ 11!22. На такой сетке удобно аппроксимировать систему: л+1 ил,в+1П,А+И »л+1П »л-1П 1» » +1П » -1П » +1П » +1П " +1 Обобщим конструкцию стандартного решения ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МЛТЕМАТИКИ !!в !ч.! где у, )е — некоторые постоянные. Подставляя это решение в разностные уравнения, после сокрашения на )РСЬВТ и й" 'еп"'Тпг>Т получаем и —,+Р „=О, Р=,+и2=„— '=О, 2-1 ечгг — е 'Т~г Х-1 енп — е ЧЕг Система (относительно !1, !е) имеет нетривиальное решение при Это и есть уравнение, определяющее й( р): — ) +4 — з)п х=О, 1 г 2 ) ьг 2 г ),г — 22 ! — 2 — 'гйпгх~! + ! =О г 21 Такое уравнение мы уже исследовали в связи со схемой «крест» для волнового уравнения, и ответ нам известен: схема устойчива при условии Куранта т < л.
Схема «рогеб» б!Вя уравнения нгеплолроводности. Этот пример интересен тем, что он связан с поиском явных безусловно-устойчивых схем. Схема имеет вид Эта схема трехслойная, расчет требует задания двух начальных слоев иь и и' (и' можно вычислнтгч например, по явной двухслойной схеме). В приведенном уравнении предполагаются известными значения и" ' и и", и"+! явно выражается через известные величины на двух предыдущих слоях.
Стандартное исследование устойчивости приводит к характеристическому уравнению В ре-Ф 2т Ьг Обозначая г = йг/2Т, представим уравнение в другой форме: Хг — 2 еее Х Л + 1 " = О. 1+г !+е Решение выписывается просто: 1+е Ф 121 СПВКТРАИЬНЫЗ ПРИЗНАК УСРОЙЧИВОСТИ Рассмотрим два случая.
а) созз р — 1 + гз < О. Корни комплексно-сопряженные, нх произведение ~ Л,1, ~ = ~ (1 — г)l(! + г) ! < 1, т.е. !Л, ! = ! Лз! < 1. б) рзш гз — (1 — созз р) > О. Очевидно, что р< г и корни Л< з = (соз 'р~ р)/(1+ г). Несложный анализ, основанный на том, что ~соз ф ж1, ! ~ р~ < г, показывает, что в этом случае корни ~ Л,! <1, ~Лз~ < 1. Итак, схема «ромб» безусловно-устойчива. К сожалению, она не годится для решения уравнения теплопроводности, так как не аппроксимирует его. Причина этого состоит в замене значения и" на 0.5(и" +'+ ил '). Погрешность такой замены есть О(тз) и была бы допустимой в других ситуациях, но это среднее используется при аппроксимации второй производной, т.е.
в выражении, делящемся на ЬЗ. В результате в погрешности аппроксимации появляется член О(тз/ЛЗ), что делает такую схему допустимой лишь при очень малых т, например при т = 0(йз), т.е. мы не получаем серьезных преимуществ от безусловной устойчивости.
Однако она представляет определенный интерес, особенно в задаче «на установление», когда решение уравнения теплопроводности (с не зависящими от времени правыми частями н краевымн условиямн) в пределе при /- м переходит в решение уравнения Пуассона. В этом случае детали процесса выхода решения на предел игнорируются. Схема лквадратж Для уравнения переноса и, + и„г' часто используется схема «квадрат» (в теории переноса излучения эта схема получила название «алмазная»): ( +1+ л+! л + л) 1' л+1 + л л+!+«л ) т1 2 2 / л1 2 2 ) и+Вг Опуская несложные выкладки, приведем выражение для спектральной функции: ил) (1+ 'л ~л л)/(' — '!а л) Очевидно, !Л(р)! =1. Таким образом, эта схема безусловно-устойчива.
На первый взгляд она неявная, так как в каждое разностное уравнение входят две величины,с верхнего слоя. Однако решение уравнений на верхнем слое в данном случае столь просто выписывается в «явном» виде, что подобные схемы относят к явным. В самом деле для, уравнения переноса и, + и„= / математически корректной является задача с начальными данными и одним краевым условием на левой границе. Пусть для простоты задано (ч.
! основы вычислительной ылтвмлтикв значение и на левой границе: и(г, О) = !р(!), т.е. при переходе со слоя л на слой л + 1 известны величины ил и значение и" +'. В этом случае уравнения верхнего слоя разрешаются явно слева-направо (такие алгоритмы получили название «маршевых»). Из разностного уравнения легко выразить неизвестное и"++!! через известные уже л л л+1. ии им+! И ии «+1 л т !! л+! л «+!гг Л» 1 !» 1 (!л л ) 1 тУ» 1 Заметим, что «маршевый» алгоритм (последовательного вычисления и!+1, и" +', ...) вычислительно-устойчив, так как модуль «коэффициента усилению накопившейся погрешности при переходе и'„'+' к и"",'1! есть ~(т — й)/(!+ Ь) ~ < 1.
Кстати, при попытке решать по этой схеме «неправильную» краевую задачу, когда авданы значения и на правой границе области (т.е. известны ил ), мы легко получим формулу «маршевого» алгоритма, действующего справа-налево, однако в этом случае коэффициент усиления погрешности есть (Й+ г)/(й — т) и такой «марш» вычислительно-неустойчив. Содержательный смысл спехтральной устойчивости. Выясним, что, собственно, следует из спектральной устойчивости или неустойчивости разностной схемы. Покажем, что, если схема спектрально-неустойчива, она непригодна для решения задач„так как погрешности в начальных данных катастрофически нарастают н портят решение до такой степени„что оно становится полностью бессмысленным.
Если схема спектрально-устойчива, этого не происходит. Пусть проведен расчет по какой-то разностной схеме, начиная с начальных данных и", лг Е ( — л, с»), и этот расчет дает решение ил, л = О, ..., Ф. Расчет, начинающийся с начальных данных с малой погрешностью и» = и~ + Ь~, ~!Ь~~~ а з, дает возмущенное решение й". В силу линейности задачи й" = и" + Ь'„', где Ь'* — расчет по той же схеме, начинающийся с Ь~~. Нас интересует величина ! й" — ил ~. Если она мала, то все в порядке: погрешности в начальных данных приводят х малым последствиям. Рассмотрим погрешности, малые в норме 1г: пг !!Ьо)) ~ (Ьо )г СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ гг1 5 12! Используя теорию дискретного преобразования Фурье, разложим сеточную функцию в интеграл Фурье1 ги ЬО )гс(,р) е1мо а1~р о Здесь с(р) — фурье-образ сеточной функции Ьо. Функция с(р) вы- числяется по формуле с( р) = т ~, Ьо е ' т, где т — нормирующий множитель, для дальнейшего несущественный (у = О(1) ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
