Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Важным является равенство Парсеваля 112 2Н 1!2 !!Ьо!! = ~ (Ь )2 = ~ ~с( )!2 ('р ~т о Предположим, что задача решается по разностной схеме со спектральной функцией Х(т, Ь; ~р). Поскольку функции )1"( р) е1"'Р удовлетворяют разностному уравнению, можно сразу же выписать решение: Ь" = ~ )1'(р) с( р) е1 т 11 р. о Проанализируем зту основную формулу.
Пусть схема спектрально-устойчива, т.е. имеет место равномерная по т оценка ~)1( р)! ц 1 + Сс. Тогда 2% Пг !!Ь"!!= ~ !Л"(р) с(рмг 1~ о Далее, ! )10( р) ! ц (1 + Ст)" ц (1 + Ст)тн (при т- О). И наконец, 2 112 11Ьч11,~ ест ~ ! с(р) ~г,У,р ц ест11Ь011 о Таким образом, погрешность в начальных данных в процессе решения может увеличиться не более чем в ест раз; эта оценка остается справедливой, когда т-ьО, а число шагов ж Во, как т!т. Итак, спектральная устойчивость схемы означает непрерывную зависимость решения разностной задачи по начальным данным с оценкой, равномерной по т- О. 1ч,1 ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ Пусть схема спектрально-неустойчива, т.е.
существует д > 1, не зависящее от т, н ) Ц рр) ! в д при некотором р я [О, 2и1. В силу непрерывности Х(р) существует малая окрестность Ь, в которой ~Х(р) ! в д'>1, р Е Ь. Рассмотрим возмущение Ь", порожденное фурье-образом с(р) = (О при р Ю Ь; е/шез Л при р Е Ь): Ьо = ~ с( р) е '"т <1 р. 0 Очевидно, ~~ь~б = е. Оценим последствия такого возмущения. Как уже отмечалось, онн имеют внд Ь" =* ~ Х" ( р) с( р) е' т Ы р.
а Вычислим норму ИЬ,ВЕ ~ ~)ч(, )1г ~ (, )~з 1 в (о)ъ, ИЬо~~г а Прн достаточно малом т число шагов М становится сколь угодно большим и множитель (и')ги- м прн т-+В, Итак, при расчете по спектральна-неустойчивой схеме сколь угодно малая погрешность в начальных данных приводит (при достаточно малом т) к сколь угодно большим погрешностям в решении.
Мы рассмотрели последствия специально сконструированного возмущения начальных данных. Более илн менее очевидно, что почти любое начальное возмущение имеет фурье-образ с(р) ~ О в Ь и такое возмущение тоже будет катастрофически нарастать: чем меньше шаг т, тем сильнее будут сказываться последствия неустойчивосгн, Перейдем к обсуждению спектрального признака устойчивости и практики его применения в реальных ситуациях. Рассмотрим два вопроса. 1. Мы уже знаем, что устойчивость метода приближенного решения — это, грубо говоря, непрерывная зависимость решения от исходной информации, которой являются функции, входящие в начальные данные, краевые условия и в правую часть уравнения.
Спектральный признак оценивает только устойчивость по начальным данным. В более или менее общем случае из такой устойчивости следует устойчивость по правой части (дело в том, что начальные данные можно трактовать, как правую часть, имеющую характер Ь-функции). Устойчивость по краевым условиям — свойство совсем иного характера, она не связана однозначно с устойчивостью по начальным данным. Краевые условия требуют отдельного, самостоятельного исследования, Теоретические основы такого анализа шз еиект»Альный пгизнАк гстойчивости з 1з) были разработаны И. М. Гельфандом, К. И.
Бабенко. Технически это более сложные исследования. 2, Почему при исследовании устойчивости мы ограничились функциямн Х'е' «для р Е [О, 2я[2 Ведь зта функция будет решением линейного однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами при любом р, в том числе и комплексном, и спектр будет совсем другим. Мы ограничились вещественными р потому, что при комплексных ртзкаяфункцнядля л = О, т.е. е' «, ужесодержитбесконечные [при т — + м) значения. И если такие начальные данные приводят к очень большим решениям Х" е' », тут нет ничего удивительного и этот факт не компрометирует схему.
Другое дело, когда при вещественном р из ограниченных всюду начальных данных получается бесконечно большое решение — это уже дефект разностной схемы. В функции е' «параметр р определен с точностью до 2я, поэтому ограничимся только интервалом [О, 2я[. Кстати, упоминавшийся выше анализ устойчивости по краевын условиям приводит к изучению, например, полуограниченной части осн х (гп > 0). В этом случае ограниченные начальные данные дают все р, для которых ке г р ж О. Но среди таких р нужно отобрать те, для которых функция е' «удовлетворяет рассматриваемым разностным краевым условиям (однородным). Устойчивость нелинейных разностных схем.
Спектральный признак устойчивости используется для анализа самых сложных задач. При этом руководствуются правилом, получившим несколько высокопарное название «принцип замороженных коэффициентов». Имеется в виду следующий рецепт. Все входящие в уравнение коэффициенты, зависящие от г, х и самой искомой функции, полагаются постоянными, и разносгная схема становится линейной с постоянными коэффициентами. Правые части игнорируются, краевые условия переносятся в бесконечность (в форме требования ограниченности решения) и получается схема, допускающая исследование спектральным методом.
Найдем условие устойчивости, в которое входят «замороженные» коэффициенты. Используя «принцип замороженных коэффициентов» и,явную схему, например, для уравнения теплопроводности с(1, х, и) и, = [х(К х, и) и„[„ + /(г, х, и) получаем как обьект исследования разностную схему ««! « х н условие устойчивости Куранта хт и 0.5сиз. Возвращаясь к реальной схеме, нужно решить вопрос: какие же значения с и и следует брать 1ч 1 ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ при выборе т? Ответ прост: шаг т должен быть таким, чтобы условие Куранта выполнялось при всех значениях н и с, встречающихся в данном расчете. Счет с автоматическим выбором шага.
Как выбрать т, когда коэффициенты с н н зависят от и, а эта функция с самого начала нам неизвестна? И здесь рецепт прост и очень полезен. Рассмотрим ситуацию стандартного шага: (и") известны, надо вычислить и"+'. Расчет начинается с того, что находится хп„, х, и") О= шах сп„, х, и"! ЗатЕМ ВЫЧНСЛЯЕтСЯ ШаГ Т„тпм ОПРЕДЕЛЯЮЩИЙ ПЕРЕХОД От г„к ~ н = Г + Т»+пз: Т„„! — — 62/2Ь; далее все делается стандартно.
В схемах с «нелинейностъю с верхнего слоя» поступают так же, так как и"+' мало отличается от и". В некоторых задачах может оказаться, что одно узкое место определяет слишком малый шаг т, хотя в остальной части условие Куранта допускает гораздо больший. Это неприятно, и понятен интерес к безусловно-устойчивым схемам, в которых шаг т может выбираться без учета требования вычислительной устойчивости. К сожалению, такими являются лишь неявные схемы, Практика исполъэования спектрального признака. Практика показала, что в большинстве случаев ситуация такая: а) если схема спектрально-неустойчива, она для расчетов заведомо непригодна; нелинейность, переменность коэффициентов и прочие факторы, которые не учитывались прн спектральном анализе, только усугубляют неустойчивость; б) если схема устойчива по спектральному признаку, то это в реальной схеме, конечно, не гарантия, но очень серьезный довод в пользу ее устойчивости; наиболее серьезные коррективы вносят краевые условия.
В целом исследование спектралъного признака позволяет отбрасывать подавляющее большинство неустойчивых схем, осталъные исследуются, в частности, и экспериментально. Наиболее типичной причиной фактической неустойчивости схемы, устойчивой по спектральному признаку, является неустойчивость разиосгной реализации краевых условий. Внешне она проявляется а том, что численное решение оказывается испорченным большими пилообразными возмущениями (В первую очередь около соответствующей границы об- з 1з1 спвкт»Алъный пгизньх гстойчивости ласти). Особенно хорошо это видно на начальной стадии расчета, при больших л это возмущение распространяется на всю область.
Построены примеры разносгных схем, устойчивых при исследовании по «принципу замороженных коэффициентов», но неустойчивых фактически. Это противоречие связано не с краевыми условиями, а с перемениостью коэффициентов уравнений по и Однако существенным для таких примеров является сильное изменение коэффициентов за один шаг по времени. Такая ситуация не является характерной для схем,используемых для решения дифференциальных уравнений: в иих шаг т должен быть настолько малым, чтобы за один шаг по а ситуация (т.е. коэффициенты уравнения, решение и т.п.) менялась незначительно. Поэтому такие примеры не опровергают указанной выше практической точки зрения на спектральную устойчивость.
Устойчивость и структура пространства сеточных функций. Расрмотрим сетку по пространству (х )и (х = ивй) и пространство сеточных функций (и )"~ . В этом пространстве функции е'"'«образуют базис, причем вещественные р принимают дискретные значения р = Ап/М Д = О, 1, ..., М вЂ” 1). Совокупность таких сеточных функций (иазовем их и<в>= (и<~1)~ ) образует в пространстве всех сеточных функций полный линейно-независимый базис. Остальные р можно не рассматривать, так как они не вносят в пространство новых функций.
Среди. функций базиса можно (достаточно условно) выделить две качественно разных части: а) гладкие сеточные функции, соответствующие малым номерам А=О,1,2 б) негладкие сеточные функции, соответствующие большим номерам й = М вЂ” 1, М вЂ” 2, ... Основанием для такого разделения служит следующий фундаментальный факт: действие разносгиого оператора, например, (и «, — и )/й дает результат, близкий к результату действия аппроксимируемого им дифференциального оператора с(/йх, если функция (и ) — гладкая сеточная функция (т.е. если в ее разложении по базису (н®) определяющую роль играют первые члены с х = О, 1, 2, ...).
Если же функция (и ) — негладкая (иащшмер, совпадает с одной из базисных функций Ыв>, А М вЂ” 1, М вЂ” 2, ...), результаты действия этих операторов не имеют между собой ничем общего. Условная граница ме'кду гладкими и негладкими фуикцишаи базиса зависит, очевидно, от требований к точности. Численное решение какой-то задачи, если оно претендует на точность аппро- 126 ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЬЬ«ТЕМАТИКИ ксимации решения исходной задачи (сформулированной, например, в терминах дифференциальных уравнений) должно быть гладким. С этой точки зрения большая часть пространства сеточных Функций является в некотором смысле лишней.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
