Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Высокая размерность пространства сеточных функций (М= 102 —: 102) — своеобразная плата за обеспечение точности разностных аппроксимаций на существенно более бедном подпространстве гладких сеточных функций; только оно и представляет интерес с точки зрения вычислителя. При решении разностного уравнения мы сталкиваемся со следуюшей ситуацией. Если решение является гладкой функцией, оно аппроксимирует решение того дифференциального уравнения, которое аппроксимирует разностное. Если решение является негладкой функцией, оно не имеет никакого отношения к решению дифференциальной задачи.
Это общий факт как для устойчивых, так и для неустойчивых схем. Разница между ними в том, что такие бессмысленные решения в неустойчивых схемах растут с катастрофической скоростью, а в устойчивых остаются ограниченными. Конечно, в реальном расчете присутствуют обе компоненты, но если в начальных данных, правых частях разностных уравнений (к ним в процессе решения «добавляются» и погрешности машинной арифметики) иеглздкне компоненты малы, то их наличие не оказывает существенного влияния на решение устойчивой схемы. Решение же, полученное по неустойчивой схеме, через несколько шагов по л оказывается полноспю бессмысленным. Приведенные качественные рассуждения объясняют, в частности, тот важный для практики факт, что внешним проявлением неустойчивости является появление в численном решении высокочастотной (негладкой) компоненты с быстро нарастающей с ростом и амплитудой.
Другое практическое следствие — приближенный, ориентировочный анализ спектра. Обычно при исследовании спектра схемы легко выписывается характеристическое уравнение для Х( р), это чисто техническая выкладка. Но если порядок такого уравнения высок (выше второго), оно не имеет удобного явного решения: «нарисовать» н проанализировать весь спектр Ц р) оказывается не так-то просто. Иногда начинают с частных вопросов, например с исследования функции Х(т, й; ~р) прн «критических» значениях ~р = и, и/2, ..., прн которых особенно сильно проявляется неустойчивость (если она есть), а характеристическое уравнение часто упрощается.
Если такой анализ обнаружил спектральную неустойчивость, остальные значения р можно не рассматривать. В особо сложных случаях используют численное решение характеристического уравнения при разных характерных значениях т, Л, р и других параметров (например, коэффициентов уравнения). Отметим, наконец, и такой практический рецепт: можно проводить расчет по сдектрально-неустойчивой схеме, но при этом пери- спвктг»льиый пенза»к гстоячивосги 4 гг1 одически (после каждой серии нз небольшого числа шагов по и) проводить сглаживание полученного численного решения и", т.е. «отфильтровывать» паразитическую, негладкую компоненту.
Этот прием организации расчетов используется на практике, хотя большинство вычислителей предпочитают все-таки производить фильтрацию неявно, за счет спектральной устойчивости используемой разностной схемы. Устойчивость — асимптотическое свойство. Каждый конкретный расчет производится обычно на конкретной сетке, т.е. прн фиксированных значениях шагов т и Ь.
Процесс т- О, Ь- О подразумевается, но фактически, конечно, не осуществляется. Иногда (для контроля) расчеты проводятся на нескольких разных сетках (допустнм, лля 6~, Ь~|2, лв/4). Но на конкретной, фиксированной сетке формальные критерии спектральной устойчивости и неустойчивости схемы — неравенства (~ Х(р) ) к 1+ Ст, У Р) и Д Рв: ~ Х(Р )~ » о > Ц могУт оказатьсЯ совмесгными пРи подходвщем выборе С. Однако при т- О и прн условии, что С и д от т не зависят, эти неравенства оказываются несовместными и происходит однозначная характеристика схемы как устойчивой нли неустойчивой.
Таким образом, спектральная устойчивость — это асимптотическое свойство «схемы», т.е. семейства систем уравнений, построенных по определенному общему закону. Ббльшая часть современных прикладных расчетов проводится при столь малых шагах сетки, при которых уже вступают в действие асимптотические (при т- О, 6- О) свойства схемы, т.е. ее спектральная устойчивость. Общая теория устойчивости разиостных схем. Спектральный признак устойчивости имеет дело с сильно упрощенной моделью вычислительного алгоритма. Естественно, возникает потребность в более полной и адекватной теории. Ограничимся классом линейных разностных задач эволюционного типа, т.е. задач со временем, в которых счет реализуется по слоям.
Такие схемы можно записать в виде (4) А"и" +В"и" '=О, л=1,2,...,М. в в $5 в Здесь з — набор малых параметров (например, т, 6); и," — а-й слой (вектор размерности Л;,); А,", В," — матрицы М,-»М,; А," предполагается обратимой. Ради простоты мы опускаем в (4) «правую часть». Таким образом, будем учитывать устойчивость по начальным данным и краевым условиям. Очевидно, схему (4) можно переписать в явной форме: и« = Я,"и," ', где Я," = — (А,") 'В," — оператор основы вычислю ыьноя млтвмхтнхн шв перехода с (л — 1)-го на и-й слой.
В схему (4) укладываются аппроксимации линейных краевых задач для уравнений с частными производными с переменными (по г и х) коэффициентами при однородных краевых условиях. Вопрос об устойчивости такой схемы сводится к оценке Ф л 1 Если такая оценка получена, постоянная С не зависит от з и не является неприемлемо большой с практической точки зрения, то схему естественно считать устойчивой. Обычно исследуют более простые схемы, в которых матрицы А, В не зависят от н (коэффициенты аппроксямируемого уравнения не зависят от г). Тогда оператор перехода есть Я,, и оценке подлежит !!Я~.ц.
Оценка йЯД ж 1+ Ст досгаточна для вывода об устойчивости, однако общие критерии устойчивости предпочитают формулировать в терминах матриц А, В, так как именно они получаются в явном виде при конструировании разностной схемы. Существуют и другие «канонические» формы записи разностных схем. В частности, в трудах А. А. Самарского и его учеников, активно развивавших общую теорию устойчивости разностных схем, принята следующая форма записи двухслойных схем: л н-1 (5) Легко перейти от (4) к (5) и наоборот.
В их теории введены и исследованы трехслойные схемы в канонической форме и т.п. На этом пути получены необходимые и достаточные условия устойчивости в форме некоторых матричных неравенств. К сожалению, проверка таких неравенств возможна лишь в очень простых случаях, аналогичных схеме, аппроксимирующей уравнение теплопроводности, для которой было проведено полное исследование устойчивости, например в теореме 11.1. Устойчивость краевых условий.
Опишем в общих чертах алгоритм исследования устойчивости краевых условий, предложенный К. И. Бабенко и И. М. Гельфандом. Он относится к той же упрощенной схеме, которая была использована для исследования спектральной устойчивости. Однако учитывается то, что схема имеет дело с сеточной функцией, определенной при нг = О, 1, ..., М, и стандартные уравнения во внутренних узлах сетки дополнены краевыми условиями. Практический рецепт таков; нужно исследовать спектральную устойчивость трех задач, вычислить три спектра..Если все 129 спзкгюльный игизнАк гстойчизости 9 121 три задачи устойчивы, схема оказывается устойчивой (по начальным данным и краевым условиям).
Первая задача — зто стандартное исследование спектральной устойчивости. Перейдем ко второй задаче — к анализу разностной схемы на правой полупрямой, т.е. при т = О, 1, 2, ... устойчивость иссЛЕдувтея С ПОМОЩЬЮ тОй жс КОНСтруКцни ОбщЕГО рЕШЕНИя Ььз'"'9, НО теперь, как было указано, кроме р Е 10, 2я1, необходимо учесть р, которые совместимы с левыми краевыми условиями и для которых функции е' 9 не возрастают вправо, Точнее, следует учесть, что т ограничено величиной О(1/Ь), поэтому допустимы значения ~ е'9~ ч 1+ СЬ, где С, естественно, не завясит от Ь, т.е.
ке(гр) к СЬ. Поясним сказанное простым примером. Рассмотрим явную схему для уравнения теплопроводности с краевым условием и л — ~ — ~и" =О, или (! + Ьр)и" — и", =О. Ф ПОдетаяпяя В НЕГО )Ьчв' 9, ПОЛунаЕМ ураВНЕНИЕ дпя дОПОЛНИтЕЛЬНЫХ значений р: е'9= 1+РЬ, р=-.!н (! + РЬ) — фЬ, (1+(3Ь)па= 0(1). Вычислим для Р точку спектра по стандартной формуле: ч 2 ц~)-~;- — ',( ' — 2;- -'Ч=1к —;(~кИ вЂ” г:; — '~г) =!-:-К. Третья задача аналогична второй, только рассматривается разностная задача на левой полупрямой т = О, — 1, — 2, ... Итак, схема оказалась усгойчивой по краевым условиям, согласно критерию Бабенко — Гельфанда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
