Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Такую же оценку мы получим и в случае Ц и" "'Ц = [и„"+'[. Итак, либо Цй+'Ц к Цф), либо Ци"+'Ц и ЦйЦ + тЦД. В любом случае Ци"+1Ц ишак (Ци"Ц + тЦуЦ ЦфЦ) Теперь докажем следующую теорему. Теорема 1. Явная линейная разностная схема при выполнении условия Куранта ЦнЦт/Ьз < 1/2 устойчива по начальным данным, краевым условиям н правым частям. Докаэатлельства Используем лемму 1 рекуррентно, обозначая ради простоты и" ш Ци" Ц, У вЂ” ЦУЦ и т.дл и» ~$ шах (ип — 1+ ту 1р) к и шах (шах [и" з+ ту р[+ ту ~р) = =шах (и" т+2т/, 1р+ ту) и к шах (шах [й '+ т/, та[ + 2ту, р + ту) = =шах (и" з+Эт/, ~у+ 2тУ) < к 1пах (ио+ нт~, ~у+ (л — 1)ту) Так как лт и Т, получаем результат Ци" Ц И Ци'Ц+ ТЦУЦ'+ Ц РЦ.
Обозначая ЦттД = ЦиоЦ + ТЦД+ Цф~, запишем оценку в форме ЦиД и ЦттД, т.е. ЦХ,, 'Ц к 1. Мы установили оценку нормы решения разностной задачи через нормы начальных данных, правых частей и краевых условий. Это еще й !11 интеггиговАние л«внений с чАстными нгоизводными 111 не совсем то, что нужно. Нам нужно установить, что при малых возмущениях начальных данных, правых частей и краевых условий решение изменится соответственно мало.
Но это следует из линейности задачи (как известно, ограниченность и непрерывность для линейных операторов — это одно и то же). Воспроизведем это рассуждение. Если г.,и, = Г„г,,й; = .и, + т!„ то в силу линейности г.,((1, — и,) = т!, из ограниченности г,, ' получаем Цс!', — и«Ц а Цг!,Ц. Таким образом, для линейных разностных задач устойчивость есть равномерная (по всем сеткам) ограниченность обратного оператора.
Устойчивость неявной схемы. Покажем, что неявнав схема дает разностную задачу безусловно-устойчивую, т.е. для ее устойчивости не требуется выполнения условия Куранта. Ограничимся доказательством следующей леммы, Лемма 2. При любых шагах Л, т, нормы сеточных функций и" и и" +' связаны неравенством Ци"+!Ц и шах (Ци"Ц + тЦЯ, ЦгрЦ). Доказательство, Имеем альтернативу: Ци«+!Ц = (либо 1и«е+1~, либо !и"„+!1, либо п!ах (и"+!!). В двух первых случаях, как было установлено выше, Ц и"+1Ц ж Ц!рЦ. Нужно исследовать третий случай. Для неявной схемы имеем « ~ + г (и — !!г+ и +!гг) Л -тг«.! и«з «««! з «« «+! — +" + г'! -!!га -!+ г" +итие+!. Л Л Пустын — внутренняя точка, для которой Ци"+'Ц = 3 и" «1~. Тогда с +лг(и.".
не+и."+иг) Ци""Ц и ж Ци"Ц + тЦУЦ + — '(и«нгЦи"+'Ц + и«! Ци"+'Ц) нли, после сокращения, Ци«+!Ц а Ци"Ц + тЦЯ, На этом мы закончим исследование устойчивости неявной схемы. Еще раз подчеркнем, что она носит безусловный характер: схема всегда устойчива. В этом ее отличие и решающее преимущество перед явной схемой, счет по которой возможен лишь при 1ч.! ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ 112 ! с < 0.5Л9~~иЙ. В других задачах, как мы увидим, тоже появляется.
зто характерное условие: явные схемы устойчивы лишь пря некоторых ограничениях на шаг по времени ж он должен быть достаточно малым относительно шага по пространству Л. Переход к неявным схемам, как правило, либо снимает условие устойчивости, либо су1цесгвенно его ослабляет. Возникает естественный вопрос: действительно ли условие Куранта существенно для явной схемы (ведь оно было необходимо для проведения достаточно простых оценок) нлн, может быть, оно связано с грубостью оценок, а не с существом дела? Оказывается, условие Куранта носит принципиальный характер, его нарушение делает результаты расчета совершенно бессмысленными.
Покажем зто на простом примере (который, кстати, иллюстрирует возможный экспериментальный прием исследования устойчивости разностной схемы: он состоит в фактическом вычислении последствий «единнчной погрешности в начальных данныхэ). Если в качестве начальных данных взять иа = О, то решение будет нулевым (мы не учитываем здесь краевых условий, считая, что задача решается на бесконечном интервале: — м < т «). Таблица 9 Теперь возьмем начальные данные с изолированной погрешностью: иа = 1, остальные ио = О, и станем решать задачу по явной схеме, нарушив условие Куранта. Для иллюстрации удобно взять т = Лз.
Тогда и«+' = и", — и" + и,"„„, В табл. 9 представлены результаты, полученные для п = 1, 2, ..., 6. Из таблицы видно, что решение возрастает почти в три раза за шаг и примерно через 20 шагов достигает катастрофического значения (порядка 1О«). А ведь в расчетах делаются сотни шагов по времени! Обратите внимание на характерный (по т) профиль функции и".
Он носит «пилообрааный» характер: и" ж (-3)"( — 1)"О", где еа — «гладкая» сеточная функция. Это характерный признак вычислительной неустойчивости. Обмчно вычислители просматривают 5 111 интзгеиговАниз г»лвнкний с чАсгными пгоизводнымн 1Ш полученные результаты, строят графики сеточных функций. Часто уже внешний вид таких функций содержит «намек» на какое-то неблагополучие, иа сомнительность результата. На рнс. 11 показаны два примерных графика и", л! = 1, 2, 3, ... Первый, естественно, воспринимается как сеточная проекция «хорошей» функции, второй — типичный пример «подозрительного» решения. Общее качественное соображение носит простой характер: в методе конечнмх и разностей каждое «событие» должно быть , .'ьО разрешено несколькнмн точками.
«Сабы- 'ь с''ч Р тием» мы называем колебание функции, в переход с одного уровня на другой и т.п. ° ' ' ° - ° ° ' Если такое «событие» происходит на одном ' и ° ° ' счетном интервале — зто явно подозрительно, настораживает, делает результаты »! сомнительными. Вычислители очень не любят «пилооб- Рис. 1 1 разных» графиков.
Однако не следует все абсолютизировать. Не следует думать, что если получены точки в", легко укладываююциеся на гладкую функцию, то имеется гарантия правильности расчета. «Пила» на решении — тоже не 100 7,'-ная гарантия ошибочности расчета, хотя ничего хорошего в этом нет, Появление «пилы» на графике сеточной функции часто является признаком вычислительной неустойчивости разностной схемы. Но настоящая вычислительная неустойчивость сопровождается еще и очень быстрым нарастанием амплитуды «пнлы», настолько быстрым, что за несколько шагов решение может вообще выйти за пределы машинной бесконечности.
Сходимость равностных схем. (Точнее, следует говорить о сходимости приближенного решения к точному при с, Л- О.) Установив устойчивость схемы н оценив погрешность аппроксимации, воспользуемся теоремой Рябенького-Филиппова и получим оценку 110,— и,11 = О(т+ Л). В явной схеме т О(Лз).
Такое же соотношение во многих случаях приходится выдерживать по соображениям точности расчета и в неявных схемах (см. 5 21). Было бы желательно иметь в оценке О(т+ Лз), тем более что почти во всех узлах сетки невязка есть О(Лз); мешает только аппроксимация краевых условий с погрешностью О(Л). Улучшим ее, используя характерный прием.
Выпишем погрешность аппроксимации (2) более аккуратно, используя ряд Тейлора: У~~ ~ У(1„, Л) = ЯВ„, О) + ЛУ„+ -»»" У „+ О(Лз). основы вычислитгльной млтвмлтики сс4 !ч. ! Тогда !со ! — а,, + Рсзо — Ч>," = — а,(с', + РУ вЂ” 1с! — — асЬУ„„+ 0(Ьа). Перенося главную часть погрешности — а,Ь!С„из правой части ! в левую н заменяя 4У„„разностной аппроксимацией, получаем аппроксимацию краевого условия второго порядка: — ' „'+ ВР;+ — „пс(и, «вЂ” Щ+ и«) — р!- = -а,!с„+ В,У вЂ” ~р, + О(Ь'). В реализации явной схемы никаких осложнений не возникает. В неявной схеме это приводит к нарушению трехдиагональной структуры уравнений на верхнем слое.
Предоставим читателю внести необходимые дополнения в алгоритм решения уравнений на верхнем слое прогонкой. й 12. Сцеитраиьный признак устойчивости Рассмотрим основной аналитический аппарат исследования устойчивости разностных схем, который имеет дело не с реальной вычислительной схемой, а с некоторой ее моделью. Он связан с более нли менее обозримой и выполнимой аналитической работой, благодаря чему и получил самое широкое распространение. Хотя этот метод исследования не дает точного ответа на вопрос аб устойчивости, он позволяет отбраковать подавляющее большинство заведомо неустойчивых схем, а схемы, признанные на основе спектрального признака устойчивыми, как правило, на самом деле являются таковыми.
Начнем с двух упрощений, которые приходится произвести, чтобы можно было применять аппарат спектральной устойчивости. Имеются в виду: а) линейные, однородные с посюянными коэффициентами схемы; б) задача Коши на всем пространстве, без краевых условий (нх место занимают условия тина «ограниченности на бесконечности»). Итак, если нас интересует разностная схема для общего уравнения теплопроводностн — — и(с, х, и) — "„+ у(с, х, и), то исследование проводится для уравнения ди ди — = и — + аи, и, а сопз!.
ас ах' СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ Й !21 Рассмотрим явную разностную схему (1.!0): и" +1 — и" и" — 2и" + и" «1, ии х 2 +аи, Т ЛЗ т = О, + 1, ..., + м, и = О, 1, ..., М = Т/т. Исследование основано на следующем общем факте: все линейные однородные разностнне уравнения с постоянными коэффициентами, заданные на всем пространстве (с условием ограниченности на бесконечности), имеют универсальное полное семейство частных решений ии ЛВЕ™Т 0 И ~р И 2я Здесь р — параметр семейства, Л(т, Ь, «схема»; р) — функция, зависящая от шагов т, й, параметра р и вида схемы. Каждая схема характеризуется своей функцией Л( р) (остальиые аргументы (т, й, «схема») мы будем всегда иметь в виду, не выписывай их явно).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
