Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Уравнение первого дробного шага на верхнем слое распадается на серии независимых уравнений, связывающих неизвестные на одной линии сетки. Такие разностные уравнения называются локально-одномерными, Второе пространственное измерение в этих уравнениях присутствует в качестве параметра, определякицего совокупность «одномерных» задач. 2. Второй дробный шаг строится аналогично: «и+1 «»»1Л г = Е и" +' + т . г. Он имеет такую же локально-одномерную структуру. Уравнения на верхнем слое в обоих случаях обычно решаются алгоритмами типа прогонки, как н в методе переменных направлений.
В этих общих терминах метод переменных направлений записывается в форме »»1» = Е и""+ Е и" +У, 1 г «+г и+! = Х. и"" + Е и"«г+ у', ! г Для метода дробных шагов нам надо еще уточнить два вопроса. Как «разбить» правую часть | на /! и У? Какому времени соответствует функция и»+1! г„+ т или г„+ 2 !? На оба вопроса мы получим ответ, используя формальную процедуру «исключения промежуточного слоя», которая приведет к сравнительно обычной форме аппроксимации. Запишем уравнения дробных шагов в виде (Š— т1!) и" » "г = и" + тУ„(Š— туг) и"+' = и»+1!г+ т/ . г Подействуем на второе из них оператором Š— тЕ,! (Š— т21)(Š— т3 )и»»' = (Š— тЬ!)и"+"~+ т (Š— тЬ1)Уг. Используя уравнение первого дробного шага, исключаем и" «1!г: (Š— тЕ )(Š— тйг) и"+! и" + т)'! + т(Š— тЕ,!)Уг. Это уравнение можно привести к сравнительно стандартной форме (предварителыю раскроем скобки): И" +!— = Х и»+1+ Ег" +1+ (У +~г) + т(Е ~ +Е Е" +1) 239 9 2з1 мвтод пв викиных илпгьвлвний Последний член имеет величину порядка О(т) и относится к цо- грешности аппроксимации.
На два поставленных вопроса следуют очевидные ответы: два дробных шага осуществляют продвижение решения по времени на т, а не на 2т, как во внешне похожем методе переменных направле- ний, Правые части /2 и У2 вводят так, чтобы ~, + /2 = /, т.е., на- пример, ~2=,гз=//2. Разумеется, равенство /2+У =У можно трактовать с точностью, например, до О(т). Заметим, что мы провели выкладки формально, упуская при этом нз вида существенное обстоятельство — краевые условия. Дело в том, что проделывая выкладки достаточно аккуратно, мы должны в общую операторную форму включить краевые условия примерно в том стиле, как это делалось в з 11 при записи конкретной задачи в абстрактной форме.
Зта аккуратность имеет определенные прак- тические последствия: в методе дробных шагов нужно достаточно ответственно подходить к аппроксимации краевых условий. На это впервые, видимо, обратил внимание Е, Г. Дьяконов, он же разрабо- тал формализм соответствующего анализа. Здесь мы огранйчимся тем, что обратим внимание читателя на этот момент конструирова- ния схемы, Полезно следующее рассуждение, приводящее к понятию о сум- марной (адднтивной) аппроксимации. Будем трактовать ил, ил+из, ил+' как величины, относящиеся к моментам 1„, 1„+цз, 1«+,, н вы- числим погрешность аппроксимации каждого полушага. После оче- видных преобразований получаем (полагая для простоты А = лГг = лГ22) л+1 л р .1 л ) „«+цх 1 2« с ~~2 г ) нл+2а) Члены, стоящие вне фигурных скобок аппрокснмируют исходное уравнение в обычном смысле слова, члены же в фигурных скобках следует отнести к погрешностям аппроксимации.
Их особенность в том, что онн имеют недопустимую (согласно общим представлениям) величину порядка О(1), но онн почти равны друг другу по модулю (с точностью до О(т) иэ-за того, что в ннх участвуют и с разных слоев) и противоположны по знаку. Влияние больших альтернирующих погрешностей в среднем компенсируется, и при определенных условиях они не препятствуют сходимости приближенного решения к точному. Грубо говоря, дело в том, что на решение дифференциального уравнения существенное влияние оказывают не мгновенные значения правых частей, а их средние значения по малым интервавам времени. В связи с этим можно сказать, основы вычислительной млтемлтнки (ч.г что разностные формулы дробных шагов не аппрокснмируют дифференциальных уравнений, если оценивать погрешность аппроксимации в какой-нибудь «сильной» норме (типа С или г.г), но аппроксимирует в «слабой» норме, в которой такая альтернирующая по знаку функция в среднем близка к нулю (к «слабому» нулю).
Разумеется, введение «слабой» аппроксимации может быть оправдано существенным усилением теоремы типа «аппроксимация + устойчивость = сходимость», Нужно доказать, что возмущение правой части разностного уравнения погрешностью, малой в слабом смысле, но большой в обычном смысле слова, должно привести к малому (в обычном смысле слова) отличию решений. Конечно, это более тонкий факт, чем устойчивость при действительно малом возмущении, и устанавливать его в конкретных случаях гораздо труднее.
Тем не менее схемы с суммарной аппроксимацией часто оказываются практически очень удобными и в последние годы все смелее вводятся в расчетные методики сложных задач (конечно, без строгого теоретического обоснования; впрочем, такого обоснования не имеют и схемы с полной аппроксимацией). Теория схем с суммарной аппроксимацией разрабатывалась Н.
Н, Яненко, А. А. Самарским и их учениками. Схемы расщепления. В сущности то, что называют схемами расщепления, формально не отличается от схем дробных шагов. Пусть решаемое дифференциальное уравнение имеет вид и — — Йги+ г ги+ Ьзи+ у. зи где Ьг, Ег, Е, — операторы, описывающие разные физические про- цессы (например, г.г — перенос, 2,г — диффузию, г. — еще что- нибудь; можно разделять процессы и по направлениям, т.е. г.г опи- сывает диффузию цо х, Ьг — диффузию по у и т.д.), Предполо:ким, что каждое из «частичных» уравнений — "=Ь,и+/, г=(,2 3, и уже хорошо освоено в вычислительной практике, для них построены апробированные схемы, удовлетворяющие, кроме формального требования аппроксимации, еще каким-то дополнительным требованиям (в дальнейшем мы познакомимся с ними при описании некоторых методов решения задач газовой динамики), а для всего уравнения в целом таких схем построить не удается.
Тогда можно использовать расчет по схеме, формально совпадающей со схемой дробных шагов. Этот общий подход получил название «расщепление по физическим процессам» (его более ранний вариант — «расщепление по направлениям»). 141 Ф 141 гешвиив эллиптических злдлч мвтодом сеток й т4. Решение эллиптических задач методом сеток В различных задачах математической физики в качестве важной составляющей части входят краевые задачи для эллиптического уравнения, особенно часто для уравнения Пуассона.
Например, в уравнения, описывающие движение плазмы (см. 5 24), входит уравнение для потенциала электрических сил и: Ли = — 4лр, где р — плотность заряда. Такое же уравнение входит в систему уравнений, описывающих эволюцию совокупности гравитационно взаимодействующих тел, в систему уравнений Навье — Стокса (динамика вязкой несжимаемой жидкости) н т.д. При расчете описываемых этими уравнениями явлений уравнение Пуассона приходится решать много раз: на каждом шаге по времени.
Часто трудоемкость, расчета определяется именно временем, затрачиваемым на решение этою уравнения. Рассмотрим вопросы, связанные с быстрыми методами решения уравнения Пуассона. В общем случае нас интересует эллиптическое уравнение в произвольной области й с краевыми условиями, для определенности, первого рода: И14П = Ч». Здесь У, р — заданные функции, ан(х) — известные функции, удовлетворяющие следующим естественным условиям: а) а,. = а11 (симметрнчность); б) ~х" ч~; а,, с,.с и а~Ч', Ц, 'т' $ (эллиптичность уравнения, 1 1 вещественные).
Индексы 1, 1 меняются от 1 до 2 или 3 (в зависимости от раз- мерности пространства, в котором решается задача). Имея в виду именно такую общую эллиптическую краевую задачу, мы начнем анализ с самого ее простого варианта, так как многие факты у:ке здесь могут быть обнаружены. Рассмот- рим уравнение Пуассона д'и д'и — + — =/(х, у), 0 <х, уч1, зхг 1ч.т ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ ! 42 с краевыми условиями первого рода: и(х, у) = р(х, у) на границе квадрата, или, подробнее: и(х, О) = р,(х), и(х, 1) = рг(х), и(0, у) = 1рг(у), и(1, у) = р4(у). Введем основные объекты метода сеток.
Сетка. Область покрываем сеткой из точек (й, т) с координатами х„= йй, у = тй (й, т =О, 1, ..., Ат), 6=1/л/. (Ради простоты, считаем сетку равномерной, с одинаковыми шагами, хотя это, конечно, совсем необязательно.) Сеточная функция. Приближенное решение ищем в виде сеточной функции и, которую, как обычно, трактуем как приближенное значение и (х, у ). Функция и,„определена во всех узлах сетки: (и, и), (lс, т Е О, лг), Аппроксимация уравнения.
Сеточную функцию будем искать как решение системы уравнений, полученных простейшим способом,— прямой заменой входящих в уравнение производных на соответствующие разностные отношения: И -1,я 2",и+И чью И»и+1 2И»,и Ь к -1 »2 +»2 У» ч1' Это уравнение имеет крестообразный шаблон и называется простейшей пятиточечной аппроксимацией уравнения Пуассона. Оно определено только в так называемых внутренних узлах сетки, т.е.
при й, т = 1, 2, ..., Ф вЂ” 1. В дальнейшем мы будем использовать более компактные формы записи этого уравнения: (гьи)» =У» „ и даже б и = / (из контекста будет ясно, о каком, дифференциальном или разностном, уравнении идет речь). Используем и такую форму: + г г»и' В сущности в этом параграфе всюду в дальнейшем производные обозначают соответствующие разностные аппроксимации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
