Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Моделироааиие и расчет злектроииых схем 683 Эти зависимости представлены на рис. 11.40. Из них хорошо видно, что цепь создает автоколебания релаксационного типа. Их форма сильно отличается от синусо ндал ьной. 0 6),10'!6) 0 Рнс. 11.40. Вреые1шые зависилюстн напрлжешгл на туннельном диоде и тока Решение можно представить также в виде фазового портрета, построенного на фоне построенных ВАХ и линии нагрузки резистора Ю: > Ятгг рзое ((тс((ос]), (Еа-ог(] /Ка], ~Ы=-.
05.. О. 75, со1ог=Ь)асх, та]зезв=(ог], И] ]: > дрр: =ос]ер1ое (Г, !о (С], Ь (С) ), 0 .. Се, созог Мое): > с(вар).ау(че,врр) г Фазовый портрет колебаний показан на рис. !1.41. Рис. 11.41. Фазовый портрет колебании на Фоне ВАХ туннельного диода и линии нагрузки резистора Лг О том, что колебания релаксационные можно судить по тому, что уже первый цикл колебаний вырождается в замкнутую кривую — предельный цикл, форма которого заметно отличается от эллиптической (при эллиптической форме фазового портрета форма колебаний синусоидальная).
Итак, мы видим. что данная цепь выполняет функцию генератора незатухаю- ших релаксационных колебаний. Хотя поставленная задача моделирования цепи слава я~. Лхарге в математическом моаеаировании на туннельном диоде успешно решена, в ходе ее решения мы столкнулись с проблемой обеспечения малого шага по времени при решении системы дифференциальных уравнений, описывающих работу цепи. При неудачном выборе шага можно наблюдать явную неустойчивость решения.
11.3.6. Моделирование детектора амплитудно-модулированного сигнала Еще один пример, наглядно иллюстрирующий трудности моделирования существенно нелинейных систем и цепей, описывающихся нелинейными дифференциальными уравнениями — детектирование амплитудно-модулированных сигналов. Простейший детектор таких сигналов представляет собой полупроводниковый диод, через который источник сигнала подключается к параллельной КС-цепи, выполняющей роль простого фильтра (без конденсатора С результат детектирования имел бы вид обрезанного снизу сигнала). Диод имеет резко нелинейную вольтамперную характеристику. Ток через него равен: И = Уо. (ево-05 1) где т — напряжение на диоде, 10 — малый обратный ток диода. Экспоненциальная зависимость тока от напряжения порождает большие трудности в моделировании этого крайне простого устройства. На обратной ветви вольтамперной характеристики диода его дифференциальное сопротивление очень велико (многие МОм), а на прямой ветви напротив мало (десятки и даже единицы Ом).
Это порождает жесткость дифференциального уравнения, описывающего детектор и требует применения численных методов решения жестких дифференциальных уравнений. Заметим, что аналитического решения данная задача не имеет, ввиду нелинейности дифференциального уравнения, описывающего работу детектора. С учетом этих обстоятельств, построен документ, представленный на рис.
11.42, и решающий данную задачу. В нем определено исходное дифференциальное уравнение и содержится его решение при заданных исходных данных— детектируется амплитудно-модулированный сигнал с амплитудой Ии = 5 В (размерные величины опущены), частотой несущей ~=20 кГц, частотой модуляции Г= 1000 Гц и коэффициентом модуляции и = 0.5. Определена вольтамперная характеристика диода при УО =! мкА и построен ее график. Далее выполнено решение нелинейного дифференциального уравнения при Я=100 Ом и С= 5 мкФ с помощью функции бвоЬе и построение графиков исходного сигнала и сигнала на выходе детектора (утолщенной линией). Результат моделирования не очень удовлетворителен. В начале процесса виден рост выходного сигнала в промежутках между положительными полуволнами входного сигнала. Это противоречит физике процессов в детекторе — на этих участках конденсатор С может только разряжаться через резистор Я и сигнал должен всегда падать. Затем ситуация еще хуже — некоторые полуволны входного сигнала, заметно превышающие по уровню входной сигнал явно пропущены.
Все эти тонкости следствие грубого сбоя в решении нелинейного дифференциального уравнения и обусловлены неудачным автоматическим выбором методов решения данного дифференциального уравнения, Любопытно поведение выходного сигнала и при его спаде при малой амплитуде входного сигнала. Этот эффект может иметь физическую природу — при бо- 11.3. Моделироваиие и расчет злектрониых схел( В х В Е"» ви <с* 3 с "с."" с С1 Х (ХП [ 1[ояедировавит детеитора висьхсст) дно иод) днроваиньп сипсалов (прсссстр 1) ! > геатагт 'с)н дхее(т(т), т! — т (т) /(н*с) )д(х(<) -т(т) ) /сс д с(с) )д(х(с) — т(с)) да = — «(с) = - — + ос хс С [> Ес-20000с нс-2*01 Ес 21с-1000с па:-0.5с И)с-2*О1*21с (> Нс 100сос 5а10 [-б) с10с 1с10" (-б) с (Лхс 5: > 1дс н->10с(ехр(н!0.05)-1) с р1от(1д<н), и — 1..0.б,со1ог Ыао)с,15103слеаа 2) с .68 „.6 ° 64 (> х<т) с-О.
*[1-. а[и) т))*а[и< С) с тО:-т<0)-Ос [> тс-с)ао1не[(с<н то), т(т), ппеег10, оптрпа 11атргооесЬяге): [> Х -ргоо(т) Оп*(1-па*она[И*в))са1п(т*1): епс3стс анва(т,т[т)) ." [> одер1от(1,[т.т[т)), 0..0.002, оо1ог Ыао3с,пперо1пьа 500,т)с1онпеаа 2): [> р1от([Х,Х) 0..0.002, оо1ог Ыаон,т)с1онссеаа [2,1)); булава 1д МарГе в математическом мааелировании лысой выходнои сигнал спадает медленно и отрывается от верхушек полуволн входного сигнала. Устранить этот нежелательный для детектирования эффект можно уменьшением Я или С. На рис. 1!.43 показан пример более корректного моделирования. В нем в параметрах функции дво1че введена опция аИ1=1гце, указывающая на необходимость применения методов решения жестких дифференциальных уравнений. Кроме того, уменьшено значение С= 2 мкФ.
Моделирование теперь идет корректно, но выходной сигнал на спаде моделирующего сигнала не очень четко отслеживает последний. Это указывает, что постоянная времени 1!С все еще велика. Рассмотрим еще один пример, представленный на рис. 11.44. Здесь значение емкости С конденсатора на выходе детектора уменьшено до 1 мкФ. Кроме того, в функции с1воЬе явно указан метод Розенброка — один из лучших метолов решения жестких дифференциальных уравнений. Кроме того, во избе>канне числовой неустойчивости, возможной даже при этом методе, решение задается с заданной абсолютной и относительной погрешностью 10 '.
Уменьшение погрешности лучше устраняет числовую неустойчивость, но ведет к увеличению времени моделирования. 11.4. Моделирооание систем с заданными граничными условиями 6В7 11.4. Моделирование систем с заданными граничными условиями 11.4 1. Распределение температуры стержня с запрессованными концами В некоторых случаях необходим учет заданных, чаще всего постоянных, граничных условий. Типичным примером этого является расчет временной и координатной зависимости температуры нагретого стержня, запрессованного ксивами в области с постоянной температурой.
Это соответствует решению одной из типовых задач термодинамики. Рисунок 11.45 показывае~ начало документа Мар!е 9 решающего данную задачу. На нем дана математическая формулировка задачи, задание и решение дифференциального уравнения в частных производных с нулевыми граничными условиями. Температура вдоль стержня при г=О задана выражением В(х), 11.4. Моделирование систем с заданнаини граничными условиями 689 11.4.2.
Моделирование колебаний струны, зажатой на концах Еше один классичесыиу пример решения дифференциального уравнения с заданными граничными условиями зто моделирование колебаний струны. зажатой на концах. Рис. 11.48 демонстрирует начало документа, выполняющего такое моделирование (фаил соого). На нем представлена формулировка задачи. задание дифференциального уравнения и граничных условий для его решения.
ьь Н им Вт«нв аос Колебания зажатом в концах струны Пусть начаоатос оп сопение струны есть Г(в) а ссетннть распространснтм асаны по тсттнаон таси с Ь равнение стр ны ьатастса овномсрным сосновым ьуьвтнснттсм 69О Глава 31. Мар1е в математическом люделирввании М М..)' Р х ссс Сб' се Гс с! тт с сст, с асс - с ". Слйтав 1с Стртиа отс.лоиаетс» в иеитре > В02 с (п[х,о) ртеоеи1ие( х >= О апо х < —.
1е2, х, х > 1/2 апб х <= 1, 1-сс) ) с > ао1с рс)хо1те( сото ечп, 001 пп1оп 002, пппег1о, ираоеиеер 1/200. [ Г) аОер=)ДОО) с > ио1 с -ап1асате ( и (х, 1), С О .. 2*Р1, (галет ЗО, 1а)се1и-( "и", "и (х, О) ") 1аое11опг- (т)меи,комам, 14), аоа11пд-оопаггатпес)) с 0 ° "!" "' с ! 1 —.со* л --<О Ъ -1 1 — с — г с — аав г — 1 й О Л.5. Мвделироваиие в сисриеме Мар!е + М4 ТРАВ Ь)(ЬО Еас Ьн ЬСС Г )С/ 1)ЕЬ ьг ЕО) Ь Гп Ь Са Г во** ГЕЬ [ Ст озв 3.
ио теозвве аврь строе с рзьвыч рзспрезеаевнен начааьвого огхтоневвн > вп1с-апзватв( [[п(х,с) + зеп(120 х)/10, по1пс тос)), [-п(х.с)/2 ь н[п(120"х)/20. со1ох )з1пе]). С-О..Р1/2. сгаьвн 30, 1а)ьн1н-[ "х", "и (х. 1) "), )з 11опт [т[ЫНН,Нсн)яи.[о\): 692 Глава 11. Мар1е в математическом моделировании Рис. 1152. График исходного сигнала Теперь с помощью генератора случайных чисел наложим на этот сигнал сильный «шум» (слово «шум» взято в кавычки, поскольку речь идет о математическом моделировании шума, а не о реальном шуме физической природы): > Ссз := 1ОООО: г := гапб(О..Со1]: поз ау с(аса:= [аеч(г(] /(то1] "с)аса [с], с=1..гплп) ] ". р1оса [ро1пср1ос] (г1р ( (х, у) -> [к, у], Т1ме, поаау баса), асу1е=11пе) г Нетрудно заметить, что теперь форма сигнала настолько замаскирована шумом (рис. !!.53), что можно лишь с трудом догадываться, что сигнал имеет периодическую составляющую малой амплитуды.
Эта высокочастотная составляющая сигнала скрыта шумом. Рис. 11.53. Временная зависимость сигнала с шумом Подвергнем полученный сигнал (в виде временной зависимости) прямому преобразованию Фурье, реализованному функцией П[: > гс г= ггС(погау баса): > чессогорсеопа(Ес, басасуре)г сотр1еха Эта операция переводит задачу из временного представления сигнала в частотное, что позволяет использовать частотные методы анализа сигнала. Выделим, 6[)3 11.5. Моделирование в снстеме Мар!е + М4 ТРАВ к примеру. действительную и мнимую части элементов вектора й и проверим его размер: > геа1 рагс:" вар(ее, Гг): 1вао рагс:= вар(1в, гг): > с[1вепягопя(ГГ): (! 500! Теперь выполним обычные операции вычисления спектра и зададим построение графика частотного спектра мощности сигнала: > яесоаг("ГТ", ГС):яестаг("п", пав); > еча1н("геяо1г = ГТ.*сов](ГТ)/и")) > риг := сесчаг("геяо1Г"): > чесгогорг1опя(риг, с)агагуре); Лов(а > риг 1>яг:= соптегг(риг, 1>яг): > риг рогпся:= [яео([(Г-1)/Тгве[пов], риг 11яг[г) ], с=1..пав/2) ] > р1огя[ро1пср1ог](риг ро1пся, ясу1е=11пе): Спектрограмма сигнала представлена на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
