Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 89
Текст из файла (страница 89)
увы (а может быть и к счастью), нет ускорителя альфа-частиц. Так что мы, не опасаясь облучения и очередной Чернобыльскои катастрофы, сможем смоделировать это интереснейшее физическое явление с помощью математической системы Мар(е. Причем спокойно сидя перед своим домашним компьютером и глубокомысленно наблюдая за траекториями полета альфа-частиц (см. файл габбе(у).
Итак, пусть в нашем теоретическом опыте альфа-частицы с энергией 4 МэВ рассеиваются тонкой золотой фольгой. Рассчитать траекторию частицы, приближающейся к ядру атома Аи. Прицельное расстояние р равно 2. )О "м. Приступим к решению задачи и зададим вначале систему дифференциальных уравнений для траектории альфа-частицы: > геясагсс > яуяс=с)ссс(х (е), С82) 8я1*Ч2*х (Е) / (4*Р1*ЕО*ваада* (х(Е)"2+у(Е)"2)"(3/2)),с)1сс(у(с),882)=с)1*с)2*у(е)/(4*ра*ЕО* ваяяа*(х(с)"2+у(е)"2]" (3/2)); зуз: = — х(() = д ! ()1с/2 х(() д() 4 л Ермака(х(() + у(г) )()/~) д' „Р) ! ()102У(() д(1 4 л Е() мазза (х(г)1 + у(г)1 )(з/г) Введем исходные числовые данные для вычислений: > Ч1с-2*1.бе-19сЧ2с=79*1.бе-19сваяяас=4*1.67е-27сЕОс=8.85е-12с ас=4е-13срс=5е-15сТ:=4еб*1.6е-19суОхс=яягс(2*Т/ваяяа)с Создадим графическую структуру решения нашей системы дифференциальных уравнений для нескольких расчетных отклонений линии движения альфа-частицы от центра ядра атома, находящегося на ее пути: > нТЕЬ(ОЕЕоо1я) сяяс ОЕр1ос((яуя), (у(Е),х(Е) ), 1=0..7е-20, ( (х (0) =-а, О (х) (0) суок, у(0) =р, 0(у) (0) =0), к «нви х х ~ лирюс о лввюк~вигви'асьют лвеслврооивни [х(0)=-а,о [к(0) =-а,о 0) =0] [х (0) =-а, 0 [х(0) =-а,0 [х (О) =-а, О [х (0) =-а, 0 [х (0) =-а, О х (с) =-а ..
а > иагь (р1о нагпапд, сне паве сгапя1асе ьая ьееп гес)егупес) Построим центр ядра (кружок со знаком +) и траектории альфа-частиц > яя2: =РЬОТ (ТЕХТ ( [О, -О. Зе-14], '+' ), ГОНТ(НЕЬНЕТХС)(, ОВЬ1()ОЕ, 14) ): Осталось построить ~рафик траекторий движения альфа-частиц вблизи центра атома: > иггь(р1огя) Иагпдпч, Ьье паве сьапвесоогця Ьая Ьееп геоесапес) > Одяр1ау([яя, уу, яя2], сзс1е='Рассеивание а-частиц , ахея=ггавес) График траекторий движения альфа-частиц вблизи ядра представлен на рис. 1].27. Этот график настолько нагляден, что не требует пояснения.
Рассеивание в-частиц бе-13 4е-13 Зе-1 3 у(() 2е-1 3 1 е-13 -24-13 2е-13 4е-13 х(!) Рис. 11.27. Траектории движения альфа-частиц вблизи ядра атома Моделирование движения альфа-частиц вблизи малого н «массивного» ядра атома дают наглядное представление о математической и физической сути данного опыта. Надо лишь помнить, что нельзя нацеливать быстро летяшие альфа-частицы прямо в центр ядра. Более сложные, чем приведенные, расчеты показывают, (х) (0) =ЧОх, у (0) =р*4, 0 (у) ( (х) (О) =НОк, у (0] =р*8, о (у) ( (х) (0) =НОк, у (0) =р*12, О (у) (х) (0) =ЧОх, у (0) =р*16, 0 (у) (х) (0) =ЧОх, у(0) =р*20, 0(у) (х) ( 0) =НОх, у (0) =р*24, 0 (у) (х! (0) =НОх, у(0) =р*28, 0(у) , ясепе= [х (с), у (с) ], ягеряа Ссоо1я): уу: =сдгс1е ( [О, 0], 0) =01, (0) =0], (0)=0], (0) =О], (0)=0), (0)=0]], ге=1е-21,11песо1ог=Ь1аск): 2Е-14,со1ог=геО,СЬдсхпеяя-2) 11.3.
Моделирование и расчет электроваых схем 673 что при этом альфа-частица настолько близко подходит к ядру, что надо учитывать новые факторы, возникающие при близком взаимодействии. Они могут привести к тому, что частица будет поглощена ядром. Но, это уже тема новою разговора, выходящего за рамки данной книги.
11.3. Моделирование и расчет электронных схем 11.3.1. Нужно ли применять Мар!е для моделирования и расчета электронных схем? Нужно ли применять системы компьютерной математики для анализа. расчета и моделирования электронных схем? Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется с первого взгляда. С одной стороны к услугам пользователя компьютера сейчас имеется ряд программ схемотехнического моделирования, например М(его-САР, Е!ес1гоп(са %огкЬепсй, РЗр(се, Оеадп 1лЬэ и др., автоматически составляющих и решающих большие системы уравнений состояния электронных схем и моделирующих работу бесчисленного множества электронных схем без кропотливого «ручного> составления уравнений.
Но, с другой стороны, анализ схем в таких программах настолько автоматизирован, что начисто теряется его физическая и математическая сущность. Это не так уж страшно, когда моделируются типовые схемы на давно известных, или скорее просто хорошо знакомых, электронных приборах. Но, это явно плохо. когда объектом исследования и моделирования являются новые нетрадиционные схемы на новых или малоизвестных приборах или когда знание физических и математических основ работы таких схем принципиально необходимо.
Например, при изучении их в вузах и университетах. В этом случае применение систем компьютерной математики не только возможно, но и принципиально необходимо. 13.3.2. Применение интеграла Дюамеля для расчета переходных процессов Вернемся к линейным системам и рассмотрим еще один полезный метод расчета электрических цепей — с помощью интеграла Днюмеля. При нем можно рассчитать временную зависимость выходного напряжения и2(г) цепи по известному входному сигналу и1(г) и переходной характеристики цепи а(!). Возьмем в качестве первого классического примера дифференцируюшую ЯС-цепь и вычислим ее реакцию на экспоненциально нарастающий перепад напряжения. Соответствующие расчеты приведены на рис. 11.28.
Рис. 11.28 представляет начало документа, в котором выполнен указанный выше расчет. Представлены заданные зависимости и1(г) и а(г), аналитическое выражение для интеграла Дюамеля (одна из 4 форм) и аналитическое выражение для искомой зависимости и2(г). Пока последнее выражение довольно простое. В конце этого фрагмента документа построены графики зависимостей и1(г), а(г) и «2(г), Окончание документа, представленное на рис. 11.29, демонстрирует расчет на основе интеграла Дюамеля реакции дифференцирующей ЛС-цепи на экспоненциально затухающий синусоидальный сигнал и1(г).
Обратите внимание на то, что выражение для и2(г), получаемое с помощью интеграла Дюамеля, стало намного сложнее. Тем не менее, получено как аналитическое выражения для реакции цепи и2(г), так и графики и1(г), а(г) и и2(г). Они показаны внизу графика. ээмк ~во ого /лава я~. (р)ар/е в математическом мооелировании В сн ин ~ ь т'т т н е еес Расчет перелолныл процессов в лнфференднртюнтет) КС-цепн с Дюаателн (входной аотдействне — экспонесатнальиый перепад) (> сааеасе: н а прнненецнеы нвтетра.та > а =0-+е > и)(т) = н)(0) а(с) ~ — н1(0) 1е(т — 9) стт ои О ~ т ~ ~'т1) ~' ттт1-т)) ,т!.
° т. ! . т1т т(-е ее /е ь)(т)— -т+т! > саит. О.й ° Саи. 5.ртост(и1(С),а(е),и2(т)1,С О..!О,оо!ос-т!асе);( 675 П.З. Моделирование н расчет электронных схем 11.3.3. Малосигнальный анализ фильтра-усилителя на операционном усилителе Зададим основные уравнения, описывающие работу усилителя на малом сигнале: > Чо: (-22/21) * Чхг г2 И и Рнс. 11.30. Схема полосового фильтра на интегральном операционном усилителе > Е1 := яЗ + 1/(1*свеча*СЗ) Х/:= ЯЗ-— / (а СЗ > 22:= а4*1/(1*овеса*С4) / (В4 + 1/(1 овеяа*С4) ); У2:= вС4 А4— Введем круговую частоту > овеса := 2*Р1*Е: Найдем в аналитическом виде коэффициент передачи фильтра и его фазо-частотную характеристику как функции от частоты: > Чаьп:= аЬа(еча1с[чо/Чь) ); 4)с У С4 Я4 + г СЗ )(3" + 114 ЮЗ 2 /С4 Р41+ КЗ + 8кк~1С4 В4 + СЗ ВЗ + гг Теперь рассмотрим проектирование аналогового полосового фильтра-усилителя иа операционном усилителе (файл а11, схема которого приведена на рис. 11.30.
Сам операционный усилитель будем считать идеальным. Подготовимся к расчету фильтра: > сеаеассл ото ллава лу. лва)р(е в мануематичееквун мваели)ровамии > рнаае: = еча1с (ор (2, сопчегт1(Чог Ч1, ро1аг) ) ); Н4 КЗ )рйьуе:= аус(ап гУС4 Д4 + )(З + 8у С4 и К4+ 1 т СЗ Ю+ ту т Я4 Ю ву'С4'и И'+, ',, )(З'+ 4УС4 Я4+ ту т пСЗ )(3+ т Эти выражения, несмотря на простоту схемы усилителя, выглядят довольно сложно, что, однако, ничуть не мешает использовать их для выполнения расчетов.
Зададим конкретные значения параметров: > ВЗ := 1000: > Вф := Зооо: > СЗ г= 0.08*10"(-б): > С4 г= 0.01*10"(-б)г Построим АЧХ фильтра как зависимость коэффициента передачи в децибелах (([В) от частоты(в Гц: > р1ОС([1сгЗ10(й), 20*1ОО10(дазП), й 10..50000), со1ог=ь1ас)г,сьс1е='коэффициент передачи с)в как функция от логарифма частоты й в Гц'); Эта характеристика представлена на рис.
11.31. Здесь полезно обратить внимание на то, что спад усиления на низких и высоких частотах происходит довольно медленно из-за малого порядка фильтра. Кооффицивмт передачи ОВ как функция от логарифма чосгогм ( о Гц а) 15 (0 Рис. ) ).3). АЧХ фильтра на операционном усилителе Далее построим фазо-частотную характеристику фильтра как зависимость фазы в радианах от частоты Г в Гц: > р1ос ( [1огу10 (й), рпаае, 1=10 .. 50000], со1ог=Ь1ас)г, сьс1е='Фаза а радианах как функция логарифма частоты'); Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) фильтра показана на рис. 11.32. б77 11.3. Моделирование и расчет электронных схем Фаза фильтра как функция от логарифма частоты ( 0 -1 Рис. 1(.32.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
