Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 87
Текст из файла (страница 87)
~ -'.'"' .: „:,' *: '. ° . ': '.' -* ',:;, а: ": ':;.:. „-*;;.А 2,"„,,„,;»",'''('';'''т(т б50 Глава П. Мар!е в математическом моделировании вычного нормированного вида. Обратите внимание на то, что решение при отсутствии воздействия представлено только экспоненциальными членами с отрицательными показателями степени. Это говорит об апериодическом поведении системы и затухании в ней энергии. График исхолного возлействия и реакций системы также представлен на рис. 11.2. Нетрудно заметить, что при р=З система ведет себя как типичная апериолическая система — возникшее отклонение уменьшается без колебаний. Однако при наличии воздействия его колебательная компонента появляется в реакции системы — это видно и из аналитического решения для у(1) и из графика решения.
11.1.2 Система с малым демпфированием под внешним синусоидальным воздействием Теперь слегка модернизируем представленный выше локумент и зададим пап...,~~гспьл,л„м л, оогеии;зоях вч чае,о аабр, леыодхвооиаеули, «лп 6ятелкеой сиг.ток;,,„...,., 651 11. 1. Исследование и моделирование линейнь[л систем Есс ь 1 з г ти Найзсн псьснос решение > во)з-со»Ь1пе(с!ьо)че([иуОЕ,~»у[С),У(1))) ЗВО1[ т<г)= — е ий 'з[319 — — е соз, -[ — — сом)г) ва(3о !с95 <з 8 5 ' с [ Дая сравнения найден рсшснпс прп отсутствии вове я зшсшсзо возясйствяя ! > во1Ьсез сея»Ыпе (бво1~ е ((виЬв (шут<пса,с ([1 О,гзе),иу1С),у(1) ) ) з г [ г 86, 8[ [в[3!9г~ * 8' 'З[3[рг< залив = сг)= — е за- [Зг)19 — " е соь' 319 " 8 < 8 [ Пострсасг графиюг вводного сигнала п решений апффсрснп адьнсто сравнения резонансной спстсии > р1ос< (тйв [во1), тЬв [во1Ьог»),вппв(шусоясе, 8(1! ! ),1 О ..
8О, сс 1от-(Ыас!г. Ыче. тес), 1Ьь с!гнева- [8,2. 1 [, <1<.1е-'пинии свободное «опебание, красньаг вовдейстиие, черный реакция на во>действие') З б>2 Глава П. [>Еар(е в математическом моделировании бь ви «с [ т яср и в и Реакция колебательнои системы на треугольное воздеиствие случаи близости частот - резонанснои и воздеиствия) ис ~с>аиста в ысланичссып и эясктрснныл с>тстсиа аписа>каются дпф радиан>>сы втпрптс порядка > ге»1агс: ое: с)лее [у (с), с, 1) >рсс[1ее(у [1), с) +с[«у (1] е (1) [1с:-у (О)-уо,о(у) (О) у1 оЕ = [ — у(г) [+ р ~ — >(с)) + ) т(г) = [[т) ЕС =у(0) =тО, ()[т)[й)=>[ Зададим параистры р, ч и бт) »пус)агат р-.05,ср.5[ ауссгсе: Е[1)-агс»зят(*1т>[2«С) ) т т>альта»р=005.с=5 ы Естся =[(т) = а сыИ»>И 1 т)) Выиеаняы ит подстановку в ларактсртстичсслиа паяинсы и в диффсрснпттаьнсс >равнения > ыурс1: »иь» (выувага, г"2 р*гс-с)):р [к) пурс1ттяугссе» >»сзиеопурс1, г) р( )=я" >005 ° 5 и»-: -асы-:-С::::-:и 'и )' ','дт-.„'"с.т т'«„''с.т,т', с..''"' .ты,,;я[" '.'',':.,"' '',;,-,*'' т.„''с.т,т', т'л."', "...' ..- 'я ',.
*.",:,,'... ',. "...',' ',,", «,.',:...,,",," " '......*':,."' ,*',.;,,",," сят .* ...",:,.'„':',, ', ' ."'„.. '...'..." "1,.'.,(.. и 11.1. Исследование и моделирование линейных систем б53 всего две строки (нередки случаи, когда решение имеет десятки-сотни строк). Любопытно, что в решение входит даже определенный интеграл. А это указывает уже на то, что время вычислений может значительно возрасти из-за вычисления интеграла численными метолами. Решение системы при отсутствии внешнего воздействия здесь не приводится, поскольку оно абсолютно идентично представленному на рис. 11.4. А вот график общего решения весьма показателен. Так, видно, что благодаря резонансу форма выходных колебаний остается синусоидальной.
Но, гораздо сильнее, чем на рис. 11.4, видны биения с разностной частотой. Впрочем, что уже заметно и на рис. 11.6, они затухают, так что в стационарном режиме сигнал на выхоле представляет собой синусоидальную функцию с частотой внешнего воздействия.
11.1.4. Слабо демпфированная система при произвольном нонлейлти еи Глава П. Мар!е в математическом моделироваиии специальным математическим функциям. А потому, желаюшие могут это легко проверить, такой сигнал не может стоять в правой части дифференциального уравнения, поскольку оно в этом случае аналитически не решается и просто повторяется в с~роке вывода. Однако, подобныи сигнал, как и множество других сигналов, может быть представлен своим разложением в ряд Фурье или просто синтезирован рядом гармоник, что и показано на рис ! 1.7.
В нем задано построение сигнала с числом гармоник Л'= 3 и ЛЛ'= 1О и заданы коэффициенты ае и Ь„ряда Фурье. Заметим, что поставив после оператора ог! точку с запятои вместо двоеточия люжно вывести значения этих коэффициентов. Рисунок !!.8 показывает Фурье-синтез приближенного входного сигнала для 3 и 10 гармоник, а также построение сигнала вместе с идеальным (исходным) сигналом. Нетрудно заметить, что из-за эффекта Гиббса полученный сигнал (особенно при трех гармониках) довольно сильно отличается от идеального.
Однако стоит не забывать, что резонансная система эффективно гасит все колебания, за исклю- б55 П. 1. Исследование и л(оделирование линейных систем ие Он я ! ь е ! р Зазазпи лнф)рррнмиальнор >раанрннр «олроаяальноо риоррмы о знрюнни ео за»рамки и наяальнма ьслояия зл Гяпения > РЕ:-о(ьЕЕ[у(Е),Е,Е) р о(аЕЕ(у(Ы,Е) «(*у(() Е(Е» 1С: у(0) уО,о(у)(0) у1 РЕ =~ — >[>) (ьл! — >(Р)1+9 «(а)ига) л> ,ль /С-=)(0>=.0 Р(> НО> —.> Поза«альп я зиффрранииальныа >Гранение занны - р 9 и ф) > ЕЕГ!Ю: яььЬЗ(р-1/20,Ц 9,Е[Е)-Г! (Н,ОЕ) > ОЕГ! (Миь еиЬз (р 1/20,<( 9, Е(Е) Г! )>ЯМ,ОЕ) ( ОЕГ«Е«»: -ииья (р-1/20, о)-9, Е (Е! -Г«Е«», ОЕ) > иузс:-у(0)-О,О(у) (0)-0> яеяо10ь у (0)-О.О (У! (О) -О: Регз = — «[ >) > + — ) — )( >) ) ь 9 ( с) = — + е из г] — ьнр > ю) 65б Глава 11.
Мар1е в математическом моделировании ной сигнал системы представляет собой, в основном, выделенную вторую гармонику воздействия. Разумеется, представленный вариант анализа носит частный характер, поскольку синтезируется вполне конкретный вид сигнала — прямоугольные импульсы с заданными выше параметрами. Однако, если использовать разложение в ряд Фурье произвольного воздействия, то подобным способом можно решить задачу получения реакции колебательной (а, в принципе, любой линейной) системы на заланное воздействие. 11.1.5. Улучшенное моделирование свободных колебаний Вернемся к задаче моделирования системы второго порядка и попытаемся найти решения в более удобном виде, обычно приводимом в учебниках после ряда преобразований.
Для зтого достаточно воспользоваться пакетом расширения Е)Е1оо!а. Рис. 11.11 показывает начало документа с составленным дифференциальным уравнением и его решением. Нетрудно заметить, что теперь решение предгтзваг нп,в,гклассинесвом диле, хотппый обычно,ппидослиссгв в ичебнвках,пг;„, -,, 657 П.
1 Исследоваиие и модели<]овамие лииейны.к систем Ос Он ус р с ъу с '! Возьмси нрнмср с чнснсннымн нанныин (р=] 1, 9=3, у(0~10. с<0)=7 > еха]с-~] о!не«О!! 8<у<Ц,С,Цс<<уе]*осеу<у<Ц,Цсз*у<8]-е,у<О]-!О,О<у] <0]-] ].у<с]]с 60 ' 8/ чс]9]с~ 8' ]чс191с ссе) = у(с) = ]<]91 с сс< с !Ос со>8 !91 8 8 [ Выл~ни рсспсннс ! > о!91сес Ос оысс е а18<гьа<ехац] с ( — О 1ч 500 с) ( — 0 12500 с) оьс=]7755е сш(17 75с)е]0 с сос(! ' 5с) > р1о(<омт(-0..40,С]саохнеан 2,со!ох 8]аст с СО Нередко о характере колебаний удобно судить по фазовому портрету колебаний.
Он задается графиком в параметрической форме, при которой по одной оси откладывается зависимость у((), а по другой — ее производная. Это показано на рис. 11.13. Фазовый портрет в данном случае представляет собой сворачиваюшуюся спираль. 11.1.5. Улучшенное моделирование колебаний при синусоидальном воадействии По аналогии с последним примером можно рассмспреть поведение системы второго порядка при синусоидальном воздействии. На рис.
!!.14 представлено начало документа, в котором задано исходное дифференциальное уравнение и получено его обшее и частное аналитические решения. 3 л"т 1е1л! явь ем х р т мч,а, уа ьь 1В~ х! б59 П.1. Исследование и л[оделирование линейных систем н н сф, Ьс Е з хс )"нтз тнлнз )з и [ Постйоззн трафззнт возлсйстанл н нолсолннй сззстсззаз, а таз сс фазовьзй нортрст солсбаной > р1от [[оот,в1н(3*1) ) . 1 О..
40,1)з[о3сннвв-[3, 1),оо1ол Ыаой) з > р1от ( [она, с)1 те [онт, 1), 1-0 .. 40),*о1от-Ылой) ! / ,''"з ) й* с ")з' , '"з.Г', ) з'С' ) н * '-' "' ';..з х': ''.!" 'з з' „...)"р *' ',,*' „,, '*...;;,; „..., ',, ',*' й .Г' ...) ";.. р ..Г".... ";. ' О с', ) а ".,'!: т ~.Г"* .' бб1 П.1. Исследование и модели[)авание линейных систем [ам[ [ се с о с. осс [[(осг(вв грвфнз~ рсисивв и восо Зссвси.
в юк о фс овыи иоргрсс всосбвинй > ргог«г [ 1),[<1)),[-О..ЗО, зог-О[ К) с > р1о1([гьв(во1) .с[111<гьв <*о1),С) .(. о..301.оо1ог-О[во(с) > Х . зза1р1хту(В О), Теперь, используя обратное преобразование Лапласа, найдем временную зависимость реакции системы в аналитическом (что наиболее ценно) виде: > Ь 1 зьвр11Гу (1пт1ар1асе (Х, з, с) ); 2М ) . ~Г/С -4М)) (/Т 2М Теперь мы можем построить график этой зависимости для конкретных значений М,Си К: > Ь1:= зиьз (М=1, С=О.
75, К=1, Ы Ы:= 0.5393598900 У(-!.854049622 1 + 1.854049622 У Е( 0 27509Х)6)0 г) СО6(ц0.9270248! 10 7 Г ) + 0.75 е( 0 1759х)ви)0 ') ейпй(0.9270248110 I ( )) > 1хптезр := р1ое(Ь1, е-0..20, ахез=ьохес), со1от=Ь1аск): г)хзр1ау(11птезр)г Вид этой зависимости представлен на рис. 1!.19. Он соответствует реакции системы второго порядка для случая затухающих колебаний. 12 08 06 04 02 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1 Рис. 1 !.19. Одна из временных зависимостей реакции системы второго порядка А теперь зададимся целью наглядно проиллюстрировать изменение временной зависимости реакции системы при изменении параметра С от 0 до 2 при М=! и К=!. Для этого выполним следующие вполне очевидные команды." > х: зиЬз(М 1, К=1, Ь) г с) к:= — С' -4 М +е~ зи)созй С' -4 М 2М ,(ю)г,, ~ь/с'-4з)) ~(р — —— 2М > р1овзс)(х, С=0..2, с=0..20, ахез=ьохео) 11.1.
Исследование и моделирование линейньп систем бо3 Соответствующий график показан на рис. 1!.20. Он прекрасно иллюстрирует переход от апериодического режима при С= 2 к колебательному при С= 0 при изменении времени от 0 до 20. 05 зли«и гл. пзи]вз «митемитич«охом мои«лиро«илии Представленные на рис. 11.20 и 11.21 диаграммы дают весьма наглядное представление о динамике поведения рассмотренной системы. Но еше важнее то, что просто изменением операторной записи 6 и Я по описанной методике можно анализировать и наглядно представлять работу множества линейных систем. 11.2. Моделирование динамических задач и систем 11.2.1.
Расчет траектории камня с учетом сопротивления воадуха Вы хотите метнуть камень в огород вашего вредного соседа? Разумеется во время его отсутствия. Давайте промоделируем эту ситуацию, предположив два актуальных случая: дело происходит на Земле в условиях, когда наша планета лишилась воздуха и когда, слава богу, он все же есть. В первом случае сопротивления воздуха нет, а в другом сопротивление воздуха есть и его надо учитывать. Иначе камень упадет в ваш огород, а не в огород соседа! Ф Учет сопротивления воздуха не просто усложняет задачу нашу задачу. Он делает ее нелинейной. В связи с этим мы применим численные методы решения дифференциальных уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
