Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Кроме того, учитывая громоздкость документов, описывающих приведенные ниже задачи, перейдем к их записи прямо в тексте книги. Итак, пусть подвернувшиеся под руку камни с массой 500 и 100 грамм брошены под углом 45 к горизонту со скоростью Уо = 20 м/с. Найдем их баллистические траектории, если сила сопротивления воздуха гтр = А*У, где А = О,1 Н . с/м. Сравним их с траекториями, получающейся без учета сопротивления воздуха.
Документ с решением этой задачи, описанным ниже, представлен в файле Ьа[]з(. Начнем с подключения пакета р1о(з, нужного для визуализации данной задачи: > ге«гаге; «1гь(р1огз): Иагпьпя, ГЬе паве сьапоесоогг)з Ьаз Ьееп гег)ег1пеб Составим параметрические уравнения для проекций скорости на оси координат: > Чох:=Чо*соз(а1рпа))Чоу:=Чо*зьп(а1рпа); У«%=Уз ( ) Уоу: = Уоьйп(а) Мы рассматриваем два случая: камень массой 500 г и камень массой 100 г.
Поскольку для каждого случая мы предусматриваем расчет в двух вариантах (с учетом сопротивления воздуха и без такого учета), то мы должны составить 4 системы дифференциальных уравнений (ДУ). Каждая система состоит из двух ДУ второго порядка и вид этих систем известен из курса физики. Ниже представлено задание этих систем ДУ (для первой системы даи вывод ее вида): > зуз1: вазза [11*г)1гг (х (г), га2) = -А[1] *<Ш1(х(Г), Г),вез«а [1] *г)зйй (у(Г), Г$2) = -А[11* (еьйй(у(г), г) ) -вазза [1] *о; зузг'= таз)а, — х(() = -А,~ — х((), (, [(' ! Ь този, — у(() =-А,~ — у(!) — таяа,я (, [( ббз 11.2.
Моделирование динамических задач и систем > зуз2: =ваяза [1] *бугг (х (г), 1$2) -)< [2» *б1Ы (Х (Е), Г), Ваяяа [1] *б111 (у (г), Е$2) -А[2]'(б1гг(у(Г),Г))-вазза[1»*д; зуз2: = тазга(~ — х(()) = -А)~ — х(() [д( таз(а, — у(() = -А,~ — у(() — таян),8 д( й > яуяз:=ваяяа[2]*б1г1(х(Г),Е$2)= -а[1] +бегг (х (г), г),вазза [2) *б1гг (у(г), г$2] = -А[1]*(б111(у(г),г!)-ваяза[2]*9) ЭюЗ: = тая<а,~ — х(()) = -А,~ — х(() ~д(г ) '(д тази))~ — у(() = -А,~ — у(() - таш)) 8 ~д(~ ) ~д( > яуя4:=ваяяа [2] *б111(х(г], 1$2) = -А [2] *б1йй (х (Г), Г), вазяа [2] *б1гг (у (Г), Г$2) = -Л(2]"<б1гг<у(Г),Г))-ваяяа[2]*д; зуз4: = тамо,~ — х(()) = -А,~ — х(() ) ~д( тазю)~ — у(() = -А)~ — у(() - таж~ е ~д(' ) (,д( Зададим исходные числовые безразмерные данные для расчета: > чо: 20;вазяа:=[0.5,0.1])л:=[0.1,0]са1рпа:=Рг/449:=9.8; Уо:=20 тол<а:=(.5, .Ц А:=(.1, О) л:=9.8 Выполним решение заданных систем ДУ: > Р1:=бзо1че<(зУз1, х(0) =0,0(х) [0) =Чох, У(0]-0,0[У) (0)-ЧоУ], ( у (г), х (г) ), гуре=ппвеггс, опгрог=1гягргосебоге): > р2:=бзо1че ((зуя2, х(0) =0,0(х) (0) =Чох, у(0) =0,0(у) [0) =Чоу», [у(С),х(г) ), гуре=повег1с ,оогрпг=11ягргосебпге): > рз:=бяо1че ((яузз,х (0) =О, 0(х) (0) =Чох, у (О) =О, О(у) (0) =Чоу), (у (Г),х (Г) ],гуре=ппвегсс ,опероГ=1гззргосебоге): > р4:=бяп1НЕ ((ЯУЯ4,Х (0) =О, 0 (х) (0) =Чох, у (О)=0, 0(у) (0) =Чоу», (у (Г),х (Г) ), гуре ппвег1с ,оперпе=11яергосебоге): ббб 1лава 11.
Мар1е в математическом моделировании Создадим графические объекты — результаты решения систем ДУ: > а1 з =ог)ер1ог (р1, [х (г), у (г) ], 0 .. 3, со1ог=ягееп, зззезз= [О.. 50, 0 .. 15], гиз.с)гпеаа=2): > а2 з =ос(ер1ог (р2, [х (г) . у (г) ], 0 .. 3, со1ог=пес), ззгезз--[0..50,0..15], гьзс)спеха=2)з > азз=.ос)ер1ог[рЗ,[х(г),у(г)],0..3,со1ог=Ь1ое ззгехг=[0..50,0..15)„ гЬЕсхпеае=2: > а4з=ог)ер1ог(р4,[х(г),у(г)],0..3,со1ог=Ь1асх, зз1ее=[0..50,0..15], гьзсхпеаа=2)з Построим графики траекторий для первого случая > гз=гехгр1ог([[25,8,'я=0.1'],[35,9,'А=О']],со1ог=Ь1ое Еопг=-[Т1ИВ5, яОИАН, 12!) з > г1з=гехгр1ог([[17,3, А-0.1'],[35,9,'А=О']),со1ог=Ь1ое, Еопг= [Т1исв ВОИАИз 12! ) з бб7 П.2. Моделирование динамических задач и систем Траееторип полета тела массой 50 т 14 !2 1О ббе Глава П. Мир!е в математическом мвделирвваиии Зададим исходные числовые данные [опустив размерности): > о[: =-1.
6е-19 хеааеа: =9. 1е-31:Н: =1е7: а1роа: =80*Р1/180: > ух>=у ооа(а]роа) >чу>=и ато(а1рЬа) >Вх:=Оыау:=0:Вх:=О." Вх."=0.1:Ву."=О вг:=о: Построим траекторию движения частиц в пространстве: > ххсь (ОВЕоо1е):Овр)оОЗо)((ауа),[х(Е),у(Е),х(Е)), 1=0 .. 2е-9, [ [х (0] =О, О (х) (О) =ух, у (0] =О, 0 (у] [0)хуу, е (0) =О, 0 (х) (0] =0] ] веере>хе=.1е-11,ог1еоЕас1оо.=[24,117])) Полученная траектория представлена на рис. 1[.24.
Она имеет вид спирали в пространстве. При этом скорость движения частицы вдоль оси х неизменна, а вдоль осей у и 2 имеет характерную колебательную компоненту. Случай явно куда менее тривиальный, чел( полет камня, описанный выц)е. 669 11.2. Моделирование динамических задач и систем 11.2.3. Разделение изотопов Рассмотрим еше одну классическую задачу ядерной физики — разделение изотонов (атомов с одинаковым зарядом ядра, но разной массой).
Документ с решением этой задачи представлен в файле ]го(ор. Он реализует масс-спектроскопический метод. Итак, пусть из точки А вылетают однозарядные ионы (д= е= 1,6. 10 'т Кл) разной массы (от 20 до 23 а.е.м.) и под разными углами в пределах от 80 до 100' к оси х в плоскости ху (рис. 11.25).
Вдоль оси г приложено магнитное поле В= 1О ' Тл. Рассчитать траектории полета частиц. Будем надеяться, что это подскажет способ разделения изотопов. Рис. 11.25. Иллюстрация к методу разделения изотопов Приступим к решению данной задачи. Сила Лоренца, действующая на движущуюся частицу Г= г/(Е+ [», В]). Проекции векторного произведения [», В] на оси х, у, г заданы выражениями: [», В]х = »у*Вг-»г*Ву [», В]у = »г'Вх-»х*Вг [», В]г = »х*Ву-»у'Вг В соответствии с этим дифференциальные уравнения, описывающие траекторию полета частицы по осям х, у, г имеют вид: > геясагг; > яуяс=с>гсг(х(с),с$2)-с]*(ех+(с>1гг(у(с],с)*вгоггг(г(с),г)*ау])/слаяяа,с>ггг(у(с),г$2)=с1*(еу+(с>гтг(г(с],с)*вхвсгг(х(с), г) *вз) ) /ваяла,с>егг(з (с], с$2) с1* (ее+ (с>ш (х (с), с) *Вус>ггс(у(с),с)*вх))/ваяяаз д Ег+ — у(() Вг — — г(/) Ву зуз:= — х(г) = д(т тазя> Ч ЕУ+ — г(г) Вх — — х(/) Вг — у(т)— д(з таста — г(()— Ег+ — х(() Ву — — у(() Вх д(з тазза » ниии»» иаир««и ли«и«ли«ин е««иил лии«анри»илии Зададим исходные числовые данные для расчета: > о:=1.6е-19:Ч:=1е4: > Чх:=Ч*соя(а1рпа]."Чу: Ч*я1п(а1рьа):Ех:=0:Еу:=0:Ег:=0: Вх:=0:Ву:=0:Вг:«1е-2: Выполним решение составленной выше системы дифференпиальных уравнений: > хуг: =ояо1не ( [яуя, х (0] =О, О (х) (0) =Чх, у (О) =О, 0 (у) (0) =Чу, г(0) =0,0(г) (0) =О), (х(г), у(г), г(г] ],вегпос)=1ар1асе): > ХХ: = (ваяяа, а1рпа) ->.
6250000000е25*ваяяа* (яьп (а1рпа)— 1.*ягп(а1рьа)*соя(.1600000000е20*Г/ваааа)»соа(а1РЬа)*Я1п(.1600000000е-20»Г/ваааа))4 > уу:=(ваяяа,а1рпа)->.6250000000е25*ваяяа*(- 1.*соя(а1рпа)+соя(а1рпа)*соя(.1600000000е20*г/ваяяа)+яуп(а1рьа)*яуп(.1600000000е-20*с/ваяяа)); ХХ: = (таш), а) -+ 0.62500000000 10 таяи <йп(а) — 1.8]п(<г)с(в 0.1600000000 !О 24— тая(а / +соя(а)<йп О.! 600000000 10 Я таяяа /] Л'. = (тагга, а) — > 0.62500000000 10м тагга -1.
соь(о) -соя(а) соя О.! 600000000 1Оаа тая(а/ +я]п(а)яп 0.1600000000 10 а) ! таяяа Построим графики решения: > аев:=1.67е-27: иг:=3.14/180: > р1ог<[[ХХ(20*аев,80*иг),уу(20*аев,80*иг), с=0..10е-5],[ХХ(20*аев, 90*иг), уу(20*аев, 90*иг), с=О .. 10е-5], [ХХ <28*аев, 80*иг], уу (28*аев, 80*иг), 0 .. 10е-5], [ХХ (28*аев, 90*иг), УУ (28*аев, 90*иг), 1=0 ..
10е-5), [ХХ (24«аев, 80*иг], УУ (24*аев. 80"иг), с=О.. 10е-5], [ХХ (24*аев, 90*иг), уу(24*аев, 90*иг), г=О .. 10е-5] ], нтеи= [0 .. О. 65, О .. О . 651, со1ог=[ген,ген,Ь1ие,Ь1ие,Ь1асХ,Ь1аск],1аЬе1яи[х,у]); Эти графики показаны на рис. 1!.26. Полученные графики (рис. !!.26) наглядно показывают на олпу из возможностей разделения изотопов.
Как говорится, осталось подставить «стаканчик» в нужное место для ловли нужных изотопов. Разумеется, это только изложение идеи одного из методов разделения изотопов. Увы, на практике приходится использовать сложнейшие и дорогие физические установки для решения этой актуальной задачи. 11.2.
Моделирование динамических задач и систем "оз ог о( 0 О( 02 03 04 05 06 Рнс. ! !.26. Траектории движения часпщ 11.2.4. Моделирование рассеивания альфа-частиц Одним из фундаментальных доказательств существования ядра у атомов стал опыт с бомбардировкой тонкой фольги из металла альфа-частицами с высокой энергией. Если бы «массивных» ядер не существовало, то альфа-частицы лолжны были бы спокойно пролетать тонкую фольгу, практически не отклоняясь. Однако, как физики и ожидали, некоторая часть частиц испытывала сильное отклонение и даже поворачивала назад. Очевидно, что имели место отскоки (упругие столкноОения) с малыми, но массивными ядрами металла фольги. В нашем распоряжении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
