Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 74
Текст из файла (страница 74)
(и-1) )],1виее зеззс~ 1гззе) з дзкр1ау(иргзп9,(ори.Ьоыоеи,Ьа11и,к1у1е разов,ог1езз(а11оп-[45,16], иса11п9-ззвсопк1газлее)з елмаз ! > КРГ<П901ОС(10): [и] х] ]В) х] 536 Глава 8. Визуализаг(ия ва(чиелеиий "'гл-:-' . ФЕЕ ЕВ уа ! 1 ВЛЕ, . Ьвг ЬЬ ! Построение в однои строке вывода нескольких графиков разного типа расположенных по горизонтали Сселелим графинеские Объен и а О и с [В] Н3 [Р] х[ > н(гь(р1оса, соетогва1, В(ар1ау): > а: р1ос(а(о(х],х 10..10 со1оа=Ыасх): Ь: соегогва1<х, г 0..2*Р( Р(ат, ог(Е = [20, 20], ахеа = Ьохеа, со1ог Ыасг]' с :- соегогва1(соа(х], г 0..2*Р1 Р1*1, Ог]а [20, 203, ахех = Ьохса со1ог-Ь1аси): Построим и> в Олин рял, испсгьзгя функции о~с(5 и с)50[а [ > р1ога[]1>р1ау3(аггау(1..3, [а, Ь.
с)]): 8 [3 в~ ~и оаи:,,~...,~,,Нег,,;...,..., >хс,,мвмс,.г,.:...~,, а~ ......,... С Х У Н а Е а С а а а Х а в Н Л [ К ж О а а В о. К Расширенные средства графической визуаяизации Средства конформного отображения в Мар!е 9.5/1О, к сожалению, остаются рудиментарными и вряд ли достаточными для специалистов в этой области математики. 8.8.3. Построение сложных фигур в полярной системе координат Некоторые виды математической графики имеют определенную художественную ценность и фигурируют в символике различных стран и обшественных организаций.
Остановимся на нескольких таких примерах применительно к графике в полярной системе координат. Представим фигуры, образованные множеством линий на плоскости. Рис. 8.54 демонстрирует две из таких фигур. Первая это семейство из 1О кардиоид разного размера, построенных функциеи ро1агр!о1. Параметр вса111пд=сопв1- га1пег1 обеспечивает правильное отображение фигур — каждая кардиоида вписывается в огибаюшую ее невидимую окружность. Размер кардиоид задается значени- к-о 538 Глава В. Визуализация вычисления 8.8.4. Построение сложных фигур импликативной графики И)нпликаа)ивные функции нередко имеют графики весьма любопытного вида.
Ограничимся парой примеров построения таких графиков, представленных на рис. 8.55. Эти фигуры напоминают контурные графики функции двух переменных. =)в~ х( (в) х) ЯО» гас У» (»о» го а .. К д Ь»с [ Примеры построения сложных фигур имппикативнои графики (> $11Ь(р101»): > 1»р11»11р101(х*у*оо»(х 2 у'2)=1,х--10. 10.у -10..10,»овроои(» — 1500, оо1ох-Ьгаох ); 8.8.
расширенные средства графической визуализации ': Феями'.. аа Ва ах еа > и* ва>е Вас пир '( Построение 30 графика поеерхности с контурными пиниями на неи > 1: †(а,Ь,с.)->с*вар( †(х-а]'2-(у-В> 2): оо г-с(О,О,-З> С(г,г,г> С(-г,-г,г>ау(-1,2,3>+1(1,-2,2>.Г(г,е.г>: р1оеза(вооп,х -З..Э,у -Э..з,сопсоиг« 20,1«11е 'еуикаииисскаи поверхиооть «су1е раас>кои>пег, ахе«сгаве, «ааагпе гиае,ог1еп>а( 1оп (БО, 50 > ): 2 2 ( — (г — а) — (у — Ы ) У:= (е,Ь,с) ->се В>па и ее«а«исае«а есаа 3 2 2 П С К > Ч на > и ( у у 2 540 Глава 8.
Визуализация вычислеиий А на рис. В.57 представлен еше один способ задания поверхности — с помошью функции двух угловых переменныхДО, ф. При построении этого рисунка также используются функциональная окраска и построение контурных линий. 8.9. Визуализация решений уравнений и неравенств 8.9.1.
Визуализация решения систем линейных уравнений Системы линейных уравнений могут решаться как с помошью функции ы4ие, так и с полюшью матричных методов. Замечательной возможностью функции вор че является возможность решения относительно ограниченного числа переменных. Например, систему линейных уравнений с переменными х, у, е, г и 1 можно х\Ряцитч„относ1зеевьчо тодькогвепвь!у,,трек пеоамечнь1з,,п„,в,м 7 гззач„этьозслеф,ьам... 8.9. Визуализация региений уравнений и неравенств а не множества, как в первом случае для всех переменных, использована функция подстановки аобв. После этого функция р)о)Зг) строит плоскость решения в пространстве.
8.9.2. Визуализация решения систем неравенств Пожалуй, еше более полезным и наглядным средством является визуализания решения системы уравнений в виде неравенств. В пакете р1о)л имеется специальная графическая функция )пвг)ца1, которая строит все граничные линии неравенств и позволяет раскрасить разделенные ими области различными цветами: 1пес)са1(1пес)а, харес, уврес, оргзопа) Параметры этой функции следуюшие: )пес)а — одно или несколько неравенств или равенств или список неравенств или равенств; хврес — хчаг=п))п х..гпах х; уарвс — учаг=гп)п у..гпах у; о — необязательные параметры, например, указываю- Глава 8. Визуализация вычислений 8.9.3.
Иллюстрация итерационного решения уравнения Ф[х) = х Классическим методом решения нелинейных уравнений является сведение их к виду х =Дх] и применение метода простых итераций х„. = з(х„,) при заданном значении хе. Приведем пример такого решения: > г:= х ->3*1л(х+1) Г:= х -+ 31п(х+1) > х))О : 0.5; хО: =.5 > хО:= .5; хО: =.5 > гог 'х ггот 1 го 16 оо х) (К: еча1г( г [х)! (К-1] ) ); оо; х1: = 1216395324 х2: = 2387646445 хЗ: = 3.660406248 х4: = 4.617307866 х5: = 53 77557566 хб: = 5.462768931 х7: = 5.598173559 х8: = 5.660378631 х9: = 5.688529002 х10 .= 5.7011819!О хП: = 5.70685! 745 х12:= 5.709388956 х13:= 5.710523646 х14: = 5.711030964 х15:= 5.7!1257755 х16:= 5.711359!34 Нетрудно заметить, что значения х„ в ходе итераций явно сходятся к некоторому значению. Проведем проверку решения, используя встроенную функцию во)че: > г(х) = х; вокале(%, х) 3!п(х+1) =х О, — 31 Ь %Ь,— )е' и)) — 1 3 543 8.9.
Визуализация решений уравнений и неравенств Результат выглядит необычно — помимо довольно очевидного корня х = 0 значение другого корня получено в виде специальной функции Ламберта. Впрочем, нетрудно найти и его численное значение: > е~~а1Е (ъ1 г 0-, 5-7! 144! 084 К нему и стремятся промежуточные результаты решения. Однако как сделать процесс решения достаточно наглядным? Обычно для этого строят графики двух зависимостей — прямой х и кривой Ях) — и наносят на них ступенчатую линии перемешения точки х„.
Специальной функции для графиков псдобного рода Мар1е не имеет. Однако можно составить специальную процедуру для их построения. Ее листинг, взятый из примера, описанного в пакете обучения системе Мар1е— РовегТоо1в — представлен на рис. 8.60. 544 !лааа А Визуализация еоечисегнин 8 9.4. Визуализация ньютоновских итераций в комплексной области Теперь займемся довольно рискованным экспериментом — наблюдением ньюл)ановских итераций с их представлением на комплексной плоскости. На рис. 8.6) задана функция ~(Д комплексного аргумента. Проследить за поведением этой функции на комплексной плоскости в ходе ньютоновских итераций в соответствии с выражением г=)(~) позволяет графическая функция соглр!ехр)о)ЗО из пакета р!о(в. )в) х) =<в) ") <<)1 ЬХ <е рми Еда л оеь Представление функции на кол<плекснои плоскости > ге41агс: М1Ь<р1014): 1 — г-> г - <г 3-2)/<3*г 7).
оеаеР1ехР1013ец 1664, -3-3е1.. 3 3*т,гсех -4 . 4 лягм - <50, 50), л<У10-Расою еее елел па лелееелиее л е леел «елее лее 3-1 /:=е-ее-— е 1 ".,х-::"" .ге ':о,'. " -',.» -, Ь.",'-: ". г е )С т'с':д'< 0> е е д' л; :;:еце.::: -=:::,:.: к.'е:тк":Л:-.', -".: 74 Ле „* 1 546 Глава о' Визуализация вычислений 42 Охв 2 Лк Е Ие( ОЬ ( Построение касательной и перпендикуляра к функции ((х) в точке коа т ' к -> 2 ° к1п(» 2)/(х — 1):а '2 1: > т - х -> 2(а) + [к-а)ав(2)(а): 22 е х — ) ((а) + (к — а) В(()(а) ! > н: х -> ((а) — (х-а)/о(2) (а): х — а Рl:=х -) Ца)— п(()(а» > Рзос( (2(к), т<х), н(х) ), к--5..5, 2=-2..5, атхсопг ггпе, кса1(пе=-сопхсга1пе й, со1ог=втаск) ( =)е) "( =)Е) х) 547 В. !!. Расширенная техника анимации Рисунок 8.64 дает прекрасное представление о сущности интегрирования для определенного интеграла. Приведенную на этом рисунке процедуру можно использовать для подготовки эффектных уроков по интегрированию разных функции.
8.11. Расширенная техника анимации 8.11.1. Анимирование разложения функцзяи в ряд Тейлора Анимация позволяет повысить наглядность некоторых математических операции. Обычно для этого используются функции ап!гааге и ап!гпа(еЗг! пакета расширения р!оса. загружаемые командой ~н!!п(р)о!а). Пример этого представлен на рис.
З.б5. Этот документ внизу показывает кадр анимированного процесса улучшения приближения синусоидальной функции рядом с различным числом членов (и порядком последнего члена ряда). 548 Глава 8. Визуализация вычислений рою изменение во времени одного из параметров зависимости дает наглядное представление о его математической или физической сути. Здесь мы расширим представление об анимации и рассмотрим не вполне обычный пример — наблюдение в динамике за гармоническим синтезом некоторой произвольной функции Ях) на отрезке изменения х от О до 1.
Значения функции Ях) могут быть одного знака или разных знаков. В этом примере можно наблюдать в динамике синтез заданнои функции рядом Фурье с ограниченным числом синуснык членов (гармоник) — до 1, 2, З...)т'. На рис. 8.66 представлен документ, реализующий такое разложение и затем синтез для пилообразного линейно нарастающего импульса, описываемого выражением Г(х) = — 1+ 2'х. На графике строится исходная функция и результат ее синтеза в динамике анимации. 161 «ь 1Б~ х1 В'Оь С,к е ° ь ь аьь Ь~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
