Part_2 (1185559)
Текст из файла
Движение идеальной жидкостиPage 1 of 12Раздел II. Течение идеальной жидкости.1. Равновесие несжимаемой жидкостиВ покоящейся жидкости vi = 0 и уравнение Эйлера и описывает условия равновесия:∂p= ρf i∂ xi.Рассмотрим простейшие примеры решения этого уравнения.а) Несжимаемая жидкость ρ = const покоится в однородном поле тяжести f i = gi .Определить давление в жидкости.В системе координат OXYZ, в которой ось OZ направлена вертикально вниз g i = {0, 0, g} ,уравнения Эйлера имеют вид:∂p∂p∂p=0=0= ρg∂y,,.∂x∂zРешение системы тривиально и имеет вид:p ( x , y, z ) = p0 + ρgz .б) Определить равновесную форму поверхности жидкости, вращающейся как твердое телос угловой скоростью ω и давление внутри жидкости. Определить силу, действующую нанебольшое тело, вращающееся вместе с жидкостью.Для определения равновесия жидкости, вращающейся в однородном поле тяжести,воспользуемся уравнением Эйлераrr rr∂v 1 r 21r+ ∇v + 2[ω ⋅ v ] = − ∇p + g∂t 2ρ.r∂v=0Мы рассматриваем стационарное течение, поэтому ∂t.
Распределение скоростей теченияr r rr r r rжидкости – твердотельное v = [ω ⋅ r ] , ускорение свободного падения постоянно - g = ∇( g ⋅ r )r p 1r∇p = ∇ и плотность жидкости постоянна ρρ.При твердотельном вращении[ωr ⋅ vr ] = [ωr [ωr ⋅ rr ]] = ωr (ωr ⋅ rr ) − rrω2 ,rr r r2 rr r2r r rr∇v 2 = ∇[ω ⋅ r ] = ∇ r 2 ω2 − (ω ⋅ r ) = 2 r ω2 − ω(ω ⋅ r ) ,и уравнение Эйлера можно привести к виду:r v2 p r r ∇ − + ( g ⋅ r ) = 0.2 ρ() {}Выберем систему координат так, чтобы поверхность жидкости, вращающейся вокругвертикальной оси OZ проходила через начало координат, так что давление в этой точке равноатмосферному: p (0) = p0 . Интегрирование уравнения Эйлера при таком условии дает:p ( x , y, z ) = p0 +ρv 2 ( x , y, z )− ρgz,2или, учитывая зависимость величины скорости от координат:p ( x , y , z ) = p0 +ρω2 (x 2 + y 2 )− ρgz.2mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_2.mht10/2/2005Движение идеальной жидкостиPage 2 of 12Для определение выталкивающей силы т.
е. суммы поверхностных сил, действующих на тело,необходимо вычислить интеграл:rrF = − ∫ pdσS.Преобразуя поверхностный интеграл к объемному и выполняя интегрирование (по теоремео среднем), для малого объема получим: − ρVω2 xrrF ( x , y , z ) = − ∫ ∇pdu = − ρVω2 yV ρVg.2. Стационарное обтекание телаРассмотрим безвихревое стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости, приrr 1ω = rot v ≡ 0которомво всем пространстве. Такое движение можно описать единственной2скалярной функцией - потенциалом скорости течения жидкости, определяющей полеr rскоростей: v = ∇ϕ . Система уравнений содержит два уравнения - непрерывности и Эйлера,которые при сделанных предположениях в отсутствие объемных сил имеют вид:∆ϕ = 0r ρv 2∇+ p = 0. 2Интеграл уравнения Эйлера (интеграл Бернулли) позволяет определить давление вжидкости по заданному распределению скоростейρv 2p+= const2Таким образом, при сделанных предположениях для полного решения задачи достаточнолишь уравнения непрерывности∆ϕ = 0 ,которое необходимо дополнить граничными условиями.Рассмотрим два примера течения несжимаемой жидкости.1) Обтекание шара стационарным потокомПусть поток жидкости движется с постоянной скоростью вдоль оси OZ.
Потенциал поляскоростей невозмущенного потока (в отсутствие шара) определим выражением:rrrϕ0 (r ) = Vr = Vr cos ϑ .( )Если в жидкости находится шар радиуса а, центр которого совпадает с началом координат,то он возмущает поток жидкости. Будем считать возмущенный поток установившимся ибезвихревым. В этом случае потенциал поля скоростей может быть представлен в видесуммы:rrrϕ(r ) = ϕ 0 (r ) + ϕ1 (r ) ,rгде ϕ1 (r ) - потенциал возмущения, создаваемого шаром. Потенциал возмущения скоростиудовлетворяет уравнению Лапласа∆ϕ 1 = 0 .Предположим, что возмущение потенциала скорости шаром пренебрежимо мало наrбольших расстояниях, так что ϕ1 (r ) → 0 при r >> a .
Поверхность шара будем считатьmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_2.mht10/2/2005Движение идеальной жидкостиPage 3 of 12непроницаемой для жидкости, так что радиальная компонента скорости на поверхностишара обращается в нуль. Это приводит ко второму граничному условиюrr∂ϕ0 (r )∂ϕ1 (r )=−= − V cos ϑ∂r r = a∂r r = a.Предполагая, что возмущенное течение жидкости также как и движение невозмущенногопотока является аксиально-симметричным, для потенциала возмущения получим уравнение (всферических координатах)1 ∂ ∂ϕ ∂ 2 ∂ϕ1 sin ϑ 1 = 0r+∂ϑ ∂r ∂r sin ϑ ∂ϑ .Решение уравнения методом разделения переменныхϕ1 (r, ϑ) = R (r )Θ(ϑ)приводит к следующему уравнению для угловой части:1 ∂ ∂Θ sin ϑ = −CΘsin ϑ ∂ϑ ∂ϑ ,где С - константа разделения переменных.Решение будет регулярным при C = n (n + 1) и удовлетворять граничному условию наповерхности шара при n = 1 :Θ(ϑ) = cos ϑ .Соответственно, радиальное уравнение для возмущения имеет видd 2 dR r − 2R = 0dr dr ,и его решение может быть получено подстановкой R = Ar s .
Решение уравнения,удовлетворяющее условию убывания возмущения на бесконечности, существует при s = −2 .Таким образом, возмущение потенциала, создаваемое непроницаемым шаром заданногорадиуса имеет вид:ϕ1 (r, ϑ) = Ar −2 cos ϑ ,а константа А определяется из условия на поверхности шараr∂ϕ1 (r )= −2 Aa −3 cos ϑ = −V cos ϑ∂r r = aи равна A = Va 3 / 2 . Отсюда окончательно получаем выражения для потенциала возмущенияжидкостиVa(a r )2 cos ϑϕ1 (r, ϑ) =,2а также поле возмущения вектораскорости (в сферических координатах)r r3u = ∇ϕ1 (r , ϑ) = −V (a r ) {cos ϑ, sin ϑ 2, 0} .Это позволяет определить распределение давления на поверхности шараρV 2 9p R = p0 + 0 1 − sin 2 ϑ 2 4,где p0 – давление в невозмущенном потоке.Так как распределение давления симметрично относительно экваториальной плоскостиϑ = π 2 , то суммарное силовое воздействие потока идеальной несжимаемой жидкости вдольнаправления движения оказывается равным нулю.
То есть, воздействие движущейсяжидкости на неподвижный шар (или воздействие жидкости на шар, движущейся в ней) равноmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_2.mht10/2/2005Движение идеальной жидкостиPage 4 of 12нулю. Этот результат формально можно получить, вычисляя воздействие потока наэлементарную площадку dσ на поверхности сферы. В силу аксиальной симметрии потокажидкости сила, действующая на сферу, может быть направлена только вдоль оси OZ :dFz = − p R (ϑ) cos ϑdσ .Выполняя интегрирование по всей поверхности сферы, получимFz = −2 πRπ2∫ p (ϑ) cos ϑ sin ϑdϑ = 0 .R0Этот эффект называется парадоксом Даламбера.В системе отсчета, где жидкость покоится, шар движется с постоянной скоростью.Интерпретация парадокса Даламбера в этой системе сводится к утверждению, что идеальнаянесжимаемая жидкость (при потенциальном обтекании) не оказывает сопротивлениядвижущемуся шару.Присоединенная массаВозмущение потока жидкости шаром изменяет (увеличивает) кинетическую энергию этогопотока.
Эффект увеличения кинетической энергии потока при обтекании им неподвижногоrшара легко рассчитывается с помощью полученных выражений для вектора скорости u . Дляrэтого следует учесть, что полная скорость v в любой точке возмущенного потокаr r rопределяется суммой v = V + u , и определить изменение кинетической энергии, вызванноеприсутствием шара. Однако в большинстве случаев интерпретация этого явления связываетсяс изменениями, которые вызывает в жидкости движущееся тело (в данном случае шар).Рассмотрим такую постановку задачи.
Пусть в начальный момент времени в выбраннойсистеме отсчета жидкость покоится. Предположим, что в этой жидкости находитсянепроницаемый шар массой М, который начинает движение с нулевой начальной скоростьюпод действием постоянной силы. Спустя некоторое время шар будет двигаться относительножидкости с заданной скоростью V. Предполагая, что обтекание шара в любой моментявляется потенциальным, применим к этой задаче полученные выше результаты.Для определения скорости шара можно воспользоваться теоремой об изменениикинетической энергии системы шар + жидкость: MV 2∆Tsys = ∆+ Thydr = A, 2где А – работа приложенной силы, а Thydr – кинетическая энергия возмущения жидкости. Еслив рассматриваемый момент центр движущегося шара совпадает с началом (неподвижной)системы отсчета, то распределение скоростей жидкости, обтекающей этот шар даетсяrвыражением для u :r3u = −V (a r ) {cos ϑ, sin ϑ 2,0} ,а плотность кинетической энергии возмущенной жидкости -:ρu 2 ρV 2τ==(a r )6 cos2 ϑ + 1 sin 2 ϑ224.Интегрируя это выражение по всему объему, получим кинетическую энергию возмущения:π∞ρV 216Thydr =2π ∫ sin ϑdϑcos 2 ϑ + sin 2 ϑ∫ r 2 dr (a r )24a.0Выполняя интегрирование, получим окончательно:ρV 2 2πa 3 mV 2Thydr ==232 ,mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_2.mht10/2/2005Движение идеальной жидкостиPage 5 of 122 πa 3где введено обозначение3 .Поскольку энергия возмущения в жидкости определяется лишь скоростью движения шара,а масса жидкости, вовлеченной в движение, не зависит от его скорости, суммарная энергиясистемы оказывается пропорциональной кинетической энергии движущегося шара.
Учетэнергии жидкости, приведенной в движение, можно произвести, добавляя к масседвижущегося шара «присоединенную» массу m. Таким образом, кинетическая энергиясистемы шар + жидкость выражается введением присоединенной массы: M ′ = M + m .Теорема об изменении энергии системы позволяет получить эффективное динамическоеуравнение движения шара в жидкости:r rM ′&r& = F ,вид которого совпадает с уравнение Ньютона, но которое описывает движение системы шар +жидкость.m=ρmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_2.mht10/2/2005Движение идеальной жидкостиPage 6 of 122) Обтекание цилиндра стационарным потоком с циркуляциейПредположение об аксиальной симметрии обтекающего потока в ряде случаев невыполняется. Это может являться следствием как асимметрии обтекаемых тел, так иизменения граничных условий.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.