Part_3 (1185560)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Волновое движение средыPage 1 of 7Раздел III. Волновое движение1. Волновые уравненияПри описании среды в переменных Эйлера физические характеристики ее определяютсязаданием некоторой величины (или совокупности физических величин) в каждой точкепространства в данный момент времени. Изменение этих величин (в данной точкепространства) с течением времени называется движением.Среди возможных движений сплошной среды выделяется волновое движение, которое вбольшинстве случаев можно интерпретировать, как последовательное перемещение значенийфизических величин, заданных в некоторый (начальный) момент времени в определенныхточках пространства от одной точки к другой. Представление о волновом движении впростейшем случае иллюстрируется одномерным движением.

Пусть при t = 0 в некоторойобласти пространства 0 < x < l задано начальное распределение физической величины(например, плотности массы) с помощью функции: ρ( x, 0 ) = f ( x ) . Движение называетсяволновым, если с течением времени изменение распределения плотности можноинтерпретировать, например, как смещение начального распределения в положительномнаправлении оси OX :ρ( x, t ) = f ( x − Vt ) .В рассматриваемом случае смещение пропорционально времени. Коэффициентпропорциональности называется (фазовой) скоростью волны.Если начальное распределение задано дифференцируемой функцией, то нетрудно найтидифференциальное уравнение (в частных производных), которому удовлетворяет данноеволновое движение среды:∂ρ∂ρ+V=0.(1)∂t∂xПолученное уравнение называется уравнением простой волны.Если начальное распределение не описывается дифференцируемой функцией, тоуравнение волнового движения удобнее задавать в интегральной форме, рассматриваяперенос волной данной физической величины (например массы) через границу выделенногообъема.x2m (t ) = ∫ ρ( x, t )dxx1Изменение массы в данной области, вызванное волновым движением среды, определяетсяпотоком ее через границу:xr r∂ 2m& (t ) = ∫ ρ( x, t )dx = −V ∫ ρ( x )dσ + V ∫ ρ( x )dσ = − ∫ ρ( x )Vdσx2x1∂ t x1(2)ΣДля дифференцируемой функции, используя теорему Гаусса, это соотношение можнопривести к виду:x2x2∂∂∫x ∂t ρ(x, t )dx = − x∫ ∂x (ρ(x )V )dx ,11что сразу же дает дифференциальное уравнение (1).Если среда является изотропной и допускает распространение волн как в положительном,так и в отрицательном направлении с одинаковой скоростью, то волновое уравнение (1)удобно заменить уравнением второго порядка:2∂ 2ρ2 ∂ ρ−V=0,(3)∂t 2∂x 2решениекоторогопредставляетпроизвольнуюсуперпозициюфункцийρ(x , t ) = f1 ( x − Vt ) + f 2 ( x + Vt ) , описывающих две волны, распространяющиеся навстречу другmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_3.mht10/2/2005Волновое движение средыPage 2 of 7другу.Представление Фурье позволяет описывать произвольную функцию в виде интеграла:ρ( x , t ) =+∞∫ ρ~(k , ω) exp{ikx − iωt}dk ,−∞~ (k , ω) удовлетворяет волновому уравнению (3), что приводитгде каждая Фурье-компонента ρк соотношению (4), связывающему волновое число k и частоту ω:(4)ω2 − V 2k 2 = 0 ,которое называется дисперсионным соотношением.Решение волнового уравнения в виде монохроматической волны называется нормальнойволной и является обобщением решения линейного уравнения для определения собственныхколебаний системы.Во многих случаях распространение волны в среде сопровождается изменением формыначального распределения.

Фурье-разложение представляет естественный подход дляобобщения понятия волнового движения. Действительно, начальное распределениефизической величины может быть задано как суперпозиция нормальных волн с различнойскоростью распространения. В этом случае можно задать V = V (k ) или V = V (ω) иисследовать распространение волнового пакета. Для упрощения поставленной задачиположим, что в некоторой окрестности значений волнового числа k задано дисперсионноесоотношение (4), которое представлено лишь первыми членами разложения:2∂ωω = ω(k ) = ω 0 +(k − k 0 ) + 1 ∂ ω2 (k − k 0 )2 + o (k − k 0 )2 ,(5)∂k2 ∂k()где ω0 = ±Vk0 .Пространственное распределение физической величины представляется в виде интегралаФурье:ρ( x , t ) =∫ ρ~(k , ω) exp{ikx − i[ω+∞−∞]}+ ω′0 (k − k 0 ) + ω′0′ (k − k 0 ) 2 t dk =20+∞~ (k + k , ω) exp{i ( x − ω′ t )k − i (ω′′t 2 )k 2 }dk= exp{ik 0 ( x − Vt )} ∫ ρ000.Если волновой пакет состоит из группы волн с близкими значениями волнового числаk − k 0 < ∆ и одинаковыми амплитудами, то при ω′0 ∆ >> ω′0′∆2 волновое решение имеет видволны с изменяющейся амплитудой:ρ( x , t ) = A( x , t ) exp{ik0 ( x − Vt )} ,где+∆~~ (k ) 2 sin (( x − ω′0t )∆ )A( x, t ) = ρ (k0 ) ∫ exp{i ( x − ω′0t )k }dk =ρ0( x − ω′0t )∆ .−∆−∞Полученное пространственное распределение физической величины называется волновым∂ωV gr =пакетом и распространяется со скоростью∂k , называемой групповой скоростью волны.Область локализации волнового пакета определяется не равными нулю членами Фурье~ (k , ω) , вносящими заметный вклад в интеграл.

При вычислении интеграла мыразложения ρполагали, что отличные от нуля члены дают заметный вклад лишь в малой окрестности k0.Квадратичные члены разложения (5) приводят к изменению начальной формы пакета –его расплыванию:mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_3.mht10/2/2005Волновое движение средыPage 3 of 7 ( x − ω′0t )22ππ∫− ∞exp i(x − ω′0t )k − i(ω′′0t 2)k dk = ω′0′t exp − i 2ω′0′t + i 4  .Явление расплывания волнового пакета, образованного из нормальных волн с различнойфазовой скоростью распространения, называется дисперсией (от лат. Dispersio – рассеяние,уничтожение).Волновое уравнение для волн, обладающих дисперсией, несколько сложнеерассмотренного ранее простейшего.

Примером может служить уравнение Клейна-Гордона∂ 2 ϕ 2 ∂ 2ϕ−c+ ω20ϕ = 022,∂t∂xдля которого дисперсионное уравнение имеет видω2 (k ) = c 2 k 2 + ω02 .+∞{2}Фазовая скорость этой волныV ph (k ) =ω= c 1 + ω20 c 2 k 2,kVgr (k ) =∂ωck=∂k1 + ω20 c 2 k 2 .а групповаяСвязь между фазовой и групповой скоростью нетривиальна. Возможны случаи, когда этискорости отличаются знаком..Полученные результаты допускают естественное обобщение на многомерныесистемы. Вrэтом случае приходится вместо волнового числа вводить волновой вектор k , определяющийнаправление распространения волны. Поверхность постоянной фазы, определенная внекоторый момент времени, называется волновым фронтом.

Волновой вектор определяетнормаль к волновому фронту – направление распространения волны.Другая возможность обобщения понятия волнового движения связана с рассмотрениемпроцессов переноса выделенного состояния среды со скоростью, определяемой этимсостоянием (в каждой точке). Рассмотрим вновь одномерную волну. Пусть начальноераспределение задано на некотором интервале, например 0 < x < l , некоторой функциейρ( x , 0) = f ( x ) , а распространение волны происходит со скоростью, определяемой состояниемсреды в данной точке: V = V (ρ ) .

В этом случае в момент времени t ≠ 0 координата точки,имевшей значение ρ(s ) изменится:x = s + V ( f (s ))t(6)Это уравнение можно рассматривать, как параметрическое задание волнового решения впроизвольный момент времени, поскольку оно определяет структуру волны ρ( x , t ) позаданному начальному распределению. Если распределение описывается дифференцируемойфункцией, то нетрудно получить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяетволновое движение рассматриваемого типа. Действительно, ρ( s ) определяет волну впроизвольный момент времени, если уравнение (6) определяет (в неявной форме) значениепараметра s = s (x , t ) в произвольный момент времени в данной точке пространства.Дифференцирование дает:mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_3.mht10/2/2005Волновое движение средыPage 4 of 7∂ρ ∂ρ ∂s∂s== ρ′∂x ∂s ∂x∂x∂ρ ∂ρ ∂s∂s== ρ′∂t ∂s ∂t∂t .Из уравнения (6) следует:∂s1∂sV==−∂x 1 + V ′t∂t1 + V ′t .ρ( x , t ) получаетсянелинейноеОтсюдадлядифференцируемойфункциидифференциальное уравнение, описывающее волновой процесс:∂ρ∂ρ+ V (ρ ) = 0.∂t∂xУравнение такого типа называется квазилинейным.

Описанный метод построениярешения квазилинейного уравнения называется методом характеристик (Римана). Напомним,что характеристикой уравнения называется зависимость x = x (t , f 0 ) , определяющая законf 0 = const .движенияточкисзаданнымзначениемфизическойвеличиныДифференцирование этого соотношения позволяет определить скорость распространениярассматриваемой точки «вдоль характеристики».

В частности, для указанного нелинейногоуравнения скорость распространения постоянна.Однозначное решение указанного типа для произвольного начального распределенияможет существовать лишь в ограниченной области пространства в течение ограниченногоинтервала времени.Рассмотрим простой пример. Пусть, для определенности, скорость распространенияρV (ρ ) = V0ρ 0 , а начальноеволны пропорциональна величине возмущения среды, т.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций