Part_4 (1185561)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

2Page 1 of 52. Малые возмущения в газахРассмотрим распространение малых возмущений в среде. Пусть равновесное состояниесреды описывается параметрами p0 , ρ 0 , V , а отклонения от этих значений в каждой точкепространства в любой момент времени (возмущения) малы и описываютсядифференцируемыми функциями p, ρ, u :))p = p0 + p, ρ = ρ 0 + ρ, v k = Vk + uk .Уравнение непрерывности и уравнение Эйлера для сплошной среды))∂ρ ∂ (ρvk )+=0∂t∂x k))∂ (ρvi ) ∂ (ρvi vk )+=0∂t∂x kпри подстановке в них выражений для плотности и скорости дают в линейном приближениипо возмущениям следующую систему уравнений:∂ρ ∂ (ρ 0 uk ) ∂ (ρVk )++=0∂t∂x k∂x kρ0∂ui∂u∂p+ ρ 0Vk i +=0∂t∂x k ∂x k.Для рассматриваемых баротропных процессов давление среды определяется лишь ееплотностью в данной точке пространства, так что уравнения движения дополняютсязависимостью) ) )p = p (ρ ) .Обычно при описании распростанении звуковых волн предполагается, чтотермодинамические процессы в элементарном объеме среды являются квазиравновесными ипроисходят без изменения числа частиц в данном объеме и без теплообмена.

В этом случаеможно использовать модель адиабатических процессов, в которых зависимость давления отплотности дается соотоношением:))γp = p 0 (ρ ρ 0 ) ,где γ = c p cv - отношение теплоемкостей при изобарном и изохорном процессах.Выполняя дифференцирование по координатам и вводя обозначение∂pp= γ 0 = c2∂ρ sρ0,получим систему дифференциальных уравнений для возмущений плотности и скорости:∂ρ∂u∂ρ+ ρ 0 k + Vk=0∂t∂x k∂x kρ0∂ui∂u∂ρ+ ρ0Vk i + c 2=0∂t∂x k∂x kЧасто для решения системы используется метод исключения одной из переменных,например, возмущения скорости. Получившееся при этом уравнение для возмущенияплотности среды будет уравнением второго порядка:2222ρρρρ2+2V−c+VV=0kk m2xk tx k xkxk x mt.Будем искать решение линейной однородной системы в виде суперпозиции плоскихmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Section_1/Part_4.mht10/2/20052Page 2 of 5монохроматических волн плотности и скорости.

Воспользуемся для этого представлениемрешения в виде интеграла Фурье~ (k ) exp{iωt − ik x }d 3 kρ( x k , t ) = ∫ ρks sui ( x k , t ) = ∫ u~i (k k ) exp{iωt − ik s x s }d 3kПодставляя эти решения в уравнения и проводя дифференцирование, получим длятрансформант Фурье систему алгебраических уравнений:(ω − Vk k k )ρ~ − ρ0 kk u~k = 0~ + ρ (ω − V k )u~ = 0− c 2 ki ρ.0k kiСистема будет иметь нетривиальное решение, если ее определитель обращается в ноль,что позволяет определить значения частоты , при которой существуют волновые решения.Дисперсионное уравнение, устанавливающее связь между волновым вектором и частотой,удобно получить, если умножить второе уравнение на ki и рассматривать нетривиальные~ и ~z = (k u~ ) . В этом случае дисперсионноерешения системы относительно величин ρi iуравнение имеет вид:(ω − Vk k k )2 = c 2 k 2Вводя угол между вектором скорости невозмущенной среды и волновым вектором(направлением распространения волны), приведем уравнение к виду(ω − Vk cos ϑ)2 = c 2 k 2 .Решение полученного уравнения имеет вид:ω = ω0 (1 + V cos ϑ c ) ,где введено обозначение ω 0 = ck .Решение с ω > 0 существует для любых направлений волнового вектора, если скоростьдвижения невозмущенной среды V меньше фазовой скорости распространения волны визотропной среде c.Величина фазовой скорости монохроматической волны зависит от скорости среды и V инаправления распространения волныωVph = = c + V cos ϑ.kВолна подвергается "сносу" потоком, движущимся со скоростью V.Из уравнения непрерывности для возмущений следует, что вектор скорости возмущенияui направлен вдоль волнового вектораВ том случае, когда скорость невозмущенного потока V превосходит скорость звука (внеподвижной среде) V > c , распространение волны ограничено углами, при которыхвыполняется неравенство c + V cosϑ > 0 .

Волны, волновой вектор которых составляет угол .ϑ.с направлением вектора скорости среды V, имеют фазовую скорость, равную нулю, т.е.поверхность постоянной фазы плоской волны любой частоты не перемещается в пространстве(относительно выбранной системы отсчета). Волновой фронт такой волны составляет свектором скорости потока угол , такой что sin ϕ = c V . Этот угол называется углом Маха.Если возмущение среды вызвано неподвижным источником, находящимся в некоторой точкесреды, например, в начале координат, то волны, создаваемые таким источником,распространяются внутри конуса, вершина которого совпадает с точечным источником, аугол при вершине равен 2.

Этот конус называется конусом Маха. Распространение волновыхmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Section_1/Part_4.mht10/2/20052Page 3 of 5возмущений вне конуса навстречу набегающему потоку невозможно.3. Излучение источника в движущейся средеДля более подробного анализа возмущений среды, создаваемых точечным источником,рассмотрим решение системы уравнений, исключив из нее одну из неизвестных, например,скорость.

При этом удобно перейти к волновому уравнению второго порядка. Наличиеточечного источника возмущения плотности описывается введением -функции в правой частиуравнения.Пусть среда, в которой находится источник, движется со скоростью V в положительномнаправлении оси OX. Размеры источника будем считать пренебрежимо малыми, а еговоздействие на среду – периодическим. В этом случае волновое уравнение будетнеоднородным. Пусть возмущение среды описывается скалярной функцией ϕ: ∂2∂2∂2∂2∂ 2 222 φ = 4πqc 2 δ(x )δ(y )δ(z ) cos Ωt− 2V− c −V−c +2222 ∂t ∂z∂z∂y   ∂x. ∂tРешение уравнения удобно проводить с помощью разложения Фурье по плоским волнам:1r~ r ikrrrik x xrϕ(r , t ) = ∫ dk ϕk , t e , δ( x ) = 2 π ∫ dk x e ,что дает для временной зависимости фурье-компоненты уравнение вынужденныхколебаний вида~& + c 2 1 − β 2 k 2 ϕ~ + c 2k 2 ϕ~ = F (t ) ,&~& − 2iVk ϕϕ(1)zz⊥()( )()F (t ) =4πqc 2cos Ωt(2π )3.с правой частьюРешение уравнения вынужденных колебаний мы будем проводить с помощью функцииГрина, что позволяет в явном виде учесть условие причинности.

Будем искать это решение ввиде~ (t ) =ϕt∫ G(t − t ′)F (t ′)dt ′ .(2)Интегрирование по времени формально можно вести до t → ∞ , если положить, чтофункция Грина имеет вид:G (t − t ′) t ′ < tG (t − t ′) = . 0 t′ > t−∞Такое представление функции Грина соответствует обычному представлению опоследовательности причинно-следственных связях, когда динамическая переменная неможет зависеть от будущего воздействия на систему.Подставляя решение (2) в уравнение (1), для функции Грина получим уравнение:∞∫ {G&& (t − t′) − 2iVk G& (t − t′) + c [(1 − β )k22z2z]+ c 2k ⊥2 G (t − t ′)}F (t ′)dt ′ = F (t )−∞,(3)откуда следует, что выражение в фигурных скобках является δ-функцией:[(])&& (t − t ′) − 2iVk G& (t − t ′) + c 2 1 − β 2 k 2 + c 2 k 2 G (t − t ′) = δ(t − t ′) .Gzz⊥~Фурье-образ для функции Грина G (ω ) , который мы определим выражением(4)∞~G (τ ) = ∫ G (ω)e −iωτ dω−∞mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Section_1/Part_4.mht10/2/20052Page 4 of 5формально выражается дробью11~G (ω) =⋅22π − ω − 2βck z ω + 1 − β 2 c 2 k z2 + c 2 k ⊥2 ,[(])22знаменатель которой обращается в нуль в точках ω1, 2 = −βck z m ck , где k = k⊥ + k z - волновоечисло.

Для определения функции Грина G (t − t ′) следует вычислить интеграл, что удобносделать с помощью теории вычетов. При этом можно так выбрать контур интегрирования, чтоусловие причинности будет выполнено автоматически. Для этого достаточно обойти полюсасверху в комплексной плоскости ω или, что тоже самое, сместить оба полюса вниз сдействительной оси на малую величину ε > 0 , которую после вычисления интеграла следуетустремить к нулю.1e − iω(t −t ′ )dωG (t − t ′) =2π −∫∞ − ω2 − 2βck z ω + (1 − β 2 )c 2 k z2 + c 2 k ⊥2 − iεω .∞[]Вычисляя интеграл при t − t ′ < 0 по контуру, который замыкается в верхнейполуплоскости, мы получим нуль, так как внутри контура полюсов нет. При t − t ′ > 0 контурследует замыкать в нижней полуплоскости, где расположены полюса.

Это приводит кследующему выражению:G (t − t ′) = −ϑ(t − t ′)e iβck z (t −t′ )sin ck (t − t ′).ckЗависимость от времени фурье-компоненты плоской волны имеет вид:~ (t ) = 4πqc e iβck z t ϑ(t − t ′)e −iβckz t′ sin ck (t − t ′) cos Ωt ′dt ′ϕ∫ck(2 π)3−∞∞Теперь нетрудно получить выражение для пространственного распределения поля,создаваемого точечным источником:r4πqcφ(r , t ) = −(2π )3r ik βc (t −t ′ ) sin ck (t − t ′) ikrrr′′′dttttdke()Ω−cos∫−∞∫ e zk∞Внутренний интеграл представим в виде:r i {k x +k y +k [z −βc (t −t ′ )]} sin ck (t − t ′)r r r sin ck (t − t ′)rI = ∫ dke x y z= ∫ dke ikR, где R = (x, y, z-V (t − t ′)) .kkДля выполнения интегрирования выберем сферическую систему так, чтобы полярныйrугол ϑ отсчитывался от вектора R . Тогда∞π∞1r r r sin ck (t − t ′)sin (ckτ ) ikR cos θI = ∫ dke ikR= 2π ∫ k 2dkesinθdθ=2πkdksin(ckτ)dqe ikRq =∫∫∫kk000−1=∞2ππ{δ(cτ − R ) + δ(cτ + R )}kdk sin (ckτ ) sin (kR ) =∫R 02R.mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Section_1/Part_4.mht10/2/20052Page 5 of 5Для запаздывающей функции τ = t − t ′ > 0 , R > 0 , так чтоI =πδ(cτ − R )и2Rrqφ(r , t ) =cos Ωt ret.4πRФаза зависит от запаздывающего времени, обусловленное конечным временемраспространения возмущения.r β cos ϑ + 1 − β 2 sin 2 ϑt ret = t − ⋅.c1 − β2Поверхности равной фазы, определяющие волновой фронт в некоторый момент времени,изображены на рисунке.При движении потока со скоростью, превышающей скорость звука (в неподвижном газе),область возмущения имеет вид конуса, угол раствора которого называется углом Маха иcsin θ =определяется выражением:V .Рис.mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Section_1/Part_4.mht10/2/2005.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций