Part_2 (1185559), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Дело втом, что термодинамические характеристики газа введены только для равновесной системы,когда любой элементарный объем находится в состоянии термодинамического равновесия.При движении газа слева и справа от разрыва это безусловно верно. Однако, на самом скачкелюбой сколь угодно малый элементарный объем перестает удовлетворять нулевому началутермодинамики. Поэтому адиабатическое течение газа при прохождении через скачокпараметров перестает быть изэнтропийным. Очевидно, что неравновесные процессы, которыепроисходят в выделенном элементарном объеме при прохождении скачка параметров,сопровождаются ростом энтропии.

Следовательно, использование адиабаты Пуассона дляустановления соотношения между давлением и плотностью газа невозможно. Поэтому мывернемся к основному постулату – первому началу термодинамики. Однако, применениепервого начала требует некоторых дополнений. Постулаты термодинамики сформулированыдля системы отсчета, в которой термодинамическая система покоится как целое. Поэтомувнутренняя энергия, изменение которой рассматривается, включает лишь среднюю энергиюхаотического движенияpδq = de − 2 dρρ.В нашем случае газ движется с некоторой скоростью, поэтому мы рассмотрим изменение невнутренней энергии, а полной.

На основании теоремы Кенига она равна сумме энергиидвижения «центра масс» и энергии движения относительно центра масс, т. е. внутреннейэнергии (после усреднения).При адиабатическом процессе изменение полной энергии в выделенном объемепроисходит за счет переноса энергии потоком через границу объема и за счет работы силдавления, действующих на границе. В рассматриваемом случае это дает уравнение:u2 u2 ρ 2u2  e2 + 2  − ρ1u1  e1 + 1  = p1u1 − p2 u22 2 .Это уравнение с учетом с уравнения непрерывности приводит к уравнению Бернулли, вкоторое входит энтальпия системы w = e + p ρ :w2 +u22u2= w1 + 122 .Вместе с уравнениями состояния идеального газа (Клапейрона-Менделеева) p = (γ − 1)ρe иe = cV T система является полной системой уравнений, описывающей разрывное течение газа.Исключая из этой системы скорости потока, можно получить соотношение, связывающееплотность и давление газа по обе стороны от разрыва:(ρ − ρ1 )( p1 + p2 ) = 0e1 − e2 + 22ρ1ρ 2В последнем соотношении не использованы предположения о термодинамическиххарактеристиках газа (его идеальности) и оно позволяет определить давление газа послепрохождения разрыва как функцию его плотности.

Такая зависимость называется ударнойадиабатой или адиабатой Гюгонио. В отличие от рассматривавшейся ранее адиабатыmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_2.mht10/2/2005Движение идеальной жидкостиPage 11 of 12Пуассона p2 = p1 (ρ 2 ρ1 ) , давление в ударной адиабате зависит не только от плотностиγгаза после разрыва, но и от начальных характеристик p1 и ρ1 . Для модели идеального газаэта зависимость имеет вид:(γ + 1)z − (γ − 1)p2 = p1(γ + 1) − (γ − 1)z ,где z = ρ 2 ρ1 – отношение плотностей газа. На рисунке изображены адиабата Пуассона иГюгонио.105246Рис.Адиабата Пуассона (пунктир) и Гюгонио (сплошная)При заданном начальном состоянии газа перед скачком задание лишь одного параметрапосле скачка, например ρ 2 , определяет давление газа, а следовательно, и всех остальных егопараметров.

Очевидно, что плотность газа не может быть сколь угодно большой.γ +1ρ max = ρ1γ − 1 . Для идеального одноатомного газаМаксимальное значение плотностиγ = c p cV = 5 3 , так что z max = 4 , а для воздуха z max = 6 .T2 p2 1=p1 z .Отношение температур до и после разрыва T1Как отмечалось выше, прохождение газом поверхности разрыва является неравновеснымпроцессом.

Установление термодинамического равновесия должно приводить к ростуэнтропии газа. Вычислим изменение удельной энтропии, воспользовавшись соотношением (4)для идеального газаs = cV ln p ρ γ .()Подставляя сюда значения давления, получим для изменения энтропии: (γ + 1)z − (γ − 1) 1 ∆s = s2 − s1 = cV ln ⋅ γ  (γ + 1) − (γ − 1)z z  .Рост энтропии в системе возможен лишь при условии z = ρ 2 ρ1 > 1 , когда u 2 < u1 , т.

е. приторможении газа в ударной волне. Это условие определяет направление процессов приразрывном течении газа. Скорости потока до и после разрыва можно выразить черезсоответствующие скорости звука. При заданном отношении давлений они определяетсявыражениями:2z2u1 = c1u2 = c2(γ + 1) − (γ − 1)z ,(γ + 1)z − (γ − 1) ,где c1 = γp1 ρ1 и c2 = γp 2 ρ 2 – скорости звука в потоке слева и справа от разрыва.Как следует из приведенных соотношений u1 > c1 , а u 2 < c 2 , причем u 2 = u1 x < u1 .

Такимобразом, поток газа, втекающий в ударную волну, имеет сверхзвуковую скорость, а потокmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_2.mht10/2/2005Движение идеальной жидкостиPage 12 of 12затормозившегося газа – дозвуковую.mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_2.mht10/2/2005.

Характеристики

Список файлов лекций