Part_2 (1185559), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Рассмотрим простейшую модель – обтекание непроницаемогоцилиндра радиуса a, расположенного перпендикулярно потоку идеальной несжимаемойжидкости. Будем считать, что всюду в области, занятой жидкостью, движение потенциально,т. е. распределение скоростей описывается потенциалом скорости ϕ , удовлетворяющимуравнению Лапласа в цилиндрических координатах r, ϑ :1 ∂  ∂ϕ  1 ∂ 2ϕ=0r  +r ∂r  ∂r  r 2 ∂ϑ2с условием непроницаемости∂ϕ=0∂r a.Будем как и ранее считать, что возмущение потока жидкости, вносимое цилиндром, убываетна бесконечности, что дает асимптотическое поведение потенциала скоростиϕ r →∞ = V∞ r cos ϑ .Регулярное решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее сделанным предположениям,может быть получено методом разделения переменных и имеет вид:a2 ϕ 0 = V∞  r +  cos ϑr .Учесть асимметрию обтекания можно путем добавления к потенциалу симметричногоΓϕ1 =ϑϕраспределения скоростей 0 потенциала циркуляции2π :Γa2 ϕ = ϕ 0 + ϕ1 = V∞  r +  cos ϑ +ϑ2π .r Это приводит к асимметричному относительно горизонтальной диаметральной плоскостицилиндра распределению скоростей потока: a2  a2 Γv r = V∞ 1 − 2  cos ϑ,vϑ = −V∞ 1 + 2  sin ϑ +r r 2 πr .Такое поле скоростей является всюду безвихревым, кроме точки r = 0 .

Однако циркуляциявектора скорости по контуру C1 , охватывающему цилиндр, отлична от нуля:r r∫C v dr = Γ .1Вычисляя с помощью интеграла Бернулли поле давлений, получаем2ρ Γp (ϑ) = p0 − − 2V∞ sin ϑ 2  2 πa .Отсюда определяется сила, действующая на единицу длины цилиндра, находящегося в потокес циркуляцией, которая имеет следующие компоненты:2πFx = − ∫ p (ϑ)a cos ϑdϑ = 00,2πFy = − ∫ p (ϑ)a sin ϑdϑ = −ρV∞ Γ.Таким образом, поток идеальной несжимаемой жидкости действует на цилиндр с силой,0mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_2.mht10/2/2005Движение идеальной жидкостиPage 7 of 12перпендикулярной направлению скорости невозмущенного потока.

Эта сила называетсяподъемной силой Жуковского.3. Стационарное изэнтропийное течение газаВ рассмотренных примерах процессы сжатия сплошной среды были несущественными, чтопозволяло использовать модель несжимаемой идеальной жидкости. Рассмотрим теперьпримеры, когда объемные деформации среды существенны.

Будем называть такую сплошнуюсреду газом. Ограничимся рассмотрением процессов, в которых вязкостью можнопренебречь. Для упрощения модели будем считать, что рассматриваемый нами газ являетсяидеальным, т. е. уравнение состояния этого газа – уравнение Клапейрона – Менделеева,которое в переменных сплошной среды имеет вид:p = rρT ,где ρ = m V - плотность газа, а r = R µ .Уравнение состояния дает зависимость давления от двух параметров – плотности итемпературы и применимо для любых процессов. Если определить конкретный вид процесса,например изотермический или адиабатный, то одну из переменных удается исключить.

Такимобразом, учет термодинамических свойств системы дает необходимую информацию дляполного решения задач о движении газа.Рассмотрим в качестве примера стационарное течение газа по трубе переменного сечения,медленно изменяющегося по направлению потока.Будем считать, что сечение трубы задано как функция координаты S = S ( x ) , а поток газаявляется одномерным, т. е. его механические и термодинамические характеристики такжеявляются функциями только одной координаты: p = p ( x ) , ρ = ρ( x ) , T = T ( x ) , u = u ( x ) .Заметим, что выбранная модель не свободна от внутренних противоречий, посколькуименно составляющая скорости потока, перпендикулярная оси трубы обеспечиваетвыполнение условия непрерывности.

По этой причине мы запишем уравнение непрерывностив интегральной форме, учитывающей этот дефект модели.ρuS = constУравнение Эйлера в проекции на направление вдоль оси трубы имеет видdu1 dpu=−dxρ dx .В общем случае давление газа определяется его плотностью и температурой изтермического уравнения состояния:p = p (ρ, T )Будем считать газ идеальным, а его движение баротропным p = p(ρ ) . В этом случае праваячасть уравнения Эйлера может быть представлена в видеdp dp dρ=dx dρ dx .Производная плотности определяется из уравнения непрерывности:1 dρ 1 du 1 dS++=0ρ dx u dx S dx,так что уравнение Эйлера сводится к видуdu dp  1 du 1 dS u=+dx dρ  u dx S dx  ,что позволяет определить скорость и давление в каждом сечении трубы, если известнаскорость u = u0 в сечении S = S0 .Рассмотрим более подробно адиабатический процесс, считая процессы обратимыми.В этом случае для вычисления правой части уравнения Эйлера удобно обратиться кmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_2.mht10/2/2005Движение идеальной жидкостиPage 8 of 12первому началу термодинамики:δq = de + pdv = 0 .Термическое уравнение (Клапейрона–Менделеева) дает соотношение pdv + vdp = rdT ,которое вместе с калорическим уравнением cV = const определяет удельную внутреннююэнергию идеального газа e = cV T и с учетом соотношения Майера c p = cV + r позволяетпредставить правую часть уравнения Эйлера в виде дифференциала:dudTu= −c pdxdx .Это дает интеграл уравнения Эйлера:u2+ c p T = const.(4)2Величина c pT является удельной энтальпией идеального газа, введенной ранее:c pT = cV T + rT = e + pv = w ,так что полученный нами интеграл является интегралом Бернулли в отсутствие объемныхсил:u2+ w = const.2Из соотношения (4) следует, что температура в адиабатическом потоке газа уменьшается сростом его скорости.

В частности, если в некотором сечении трубы S0 , где скорость2идеального газа пренебрежимо мала, температура равна T0 , то T (u ) = T0 − u 2 c p .Максимально возможная скорость течения газа по трубе в этом случае определяетсясечением, где температура газа равна нулюumax = 2c p T0 .Уравнение Эйлера и уравнение непрерывности позволяют определить зависимостьскорости течения от площади поперечного сечения. Преобразуем правую часть уравненияЭйлера:du1  dp  dρ 1 du 1 dS u= −  = c2 +dxρ  dρ  s dx u dx S dx  , dp c =   dρ  s . Эта величина имеет размерность скорости, и как будетгде введено обозначениепоказано в следующем разделе, является скоростью звука в газе в данном сечении. Отсюдаполучаем уравнение, связывающее скорость потока и сечение трубы:du u dSu2 − c2=dx S dx .()du<0Оно называется уравнением Гюгониό.

Из него следует, что при u < c dS, т. е. прискорости движения потока в данном сечении, меньшем скорости звука, уменьшение сеченияdu>0трубы приводит к росту скорости потока. При u > c dSт. е. при скорости движенияпотока, превышающей скорость звука, увеличение сечения приводит к увеличению егоскорости. Если скорость течения в некотором сечении S = S * равна местной скорости звука впотоке u* = c* , то такое сечение называется критическим.mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_2.mht10/2/2005Движение идеальной жидкостиPage 9 of 12Полученные результаты имеют большое прикладное значение для создания системускоряющих поток газа. При необходимости разогнать газ до большой скорости,превышающей скорость звука, сечение трубы должно вначале уменьшаться до критического,в котором скорость потока достигает местной скорости звука, а затем увеличиваться. Трубатакого сечения называется соплом Лаваля и впервые была применена в паровой турбине.γДля адиабаты Пуассона p (ρ ) = p 0 (ρ ρ 0 ) скорость звука легко вычисляется:p= γrTρ.Это соотношение позволяет выразить внутреннюю энергию и энтальпию идеального газачерез скорость звука:c21 c2w = c pT =e = cV T =γ −1 .γ γ −1 ,c2 = γ2Если скорость звука в покоящемся газе равна c0 ( c0 = γrT0 ), то уравнение Бернуллиu2+ c pT2позволяет определить скорость течения газа в критическом сечении2c* = c0γ +1c pT0 =и определить зависимость температуры от скорости потока:γ − 1 u2 ()T u = T0 1 −2 2c0  .Уравнение состояния и адиабата Пуассона позволяют вычислить зависимость от скоростиплотности и давления идеального газа.1γ − 1 u 2  γ −1γ − 1 u21ρ = ρ 0 1 −p=p−02 c02 2 c02Приведем также значения критических параметров потока:γT* = T02γ +1 , 2  γ −1p* = p0  γ + 1 ,γ γ −1 .1 2  γ −1ρ * = ρ 0  γ + 1 .4.

Разрывное течение газа в трубе постоянного сеченияВ ряде случаев движение газа происходит так, что его характеристики (плотность,скорость, давление) являются разрывными функциями. Как показывает анализ, допустимосуществование двух типов разрывов. Один из них не сопровождается переносом массы черезповерхность разрыва.

Такой разрыв называется тангенциальным. Другой тип разрывасопровождается переносом вещества через границу разрыва. Такие разрывы называютсяударными волнами, и мы рассмотрим сейчас простейшую модель этого явления.Предположим, что движение происходит по трубе постоянного сечения вдоль оси ОХ так,что при x = 0 имеется скачок характеристик.Для описания разрывного течения уравнения движения в дифференциальной форменепригодны, поэтому мы будем использовать интегральные соотношения.Закон сохранения массы в интегральной форме∂ρ( x k )dv = − ∫ ρui dσ i∂t V∫Sприменительно к рассматриваемому случаю стационарного движения по трубе постоянногосечения дает простое выражение:mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_2.mht10/2/2005Движение идеальной жидкостиPage 10 of 12ρ1u1 = ρ 2 u 2 .Здесь индексами 1 и 2 отмечены параметры газа до и после скачка в сечении x = 0 .Импульс газа в выделенном контрольном объеме изменяется за счет переноса импульсачерез контрольную поверхность и под действием поверхностных сил:∂ρ( x k )ui dv = − ∫ ρui uk dσ k + ∫ τ ik dσ k∂t V∫SSДля рассматриваемого случая эта теорема принимает вид:ρ 2 u22 − ρ1u12 = p1 − p 2Несколько сложнее применение законов термодинамики для разрывного течения.

Характеристики

Список файлов лекций