Вычислительные методы алгебры и оценивания. И.В. Семушкин (2011) (1185350), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Вторая часть можетиспользоваться также теми, кто занимается применением вычислительныхметодов оценивания либо в практических разработках, либо в научныхисследованиях.В Часть I — Вычислительная линейная алгебра — включены учебныематериалы по следующим темам стандартного курса «Численные методы»:•тема 1 – методы исключения в решении систем:1) текст и лабораторная работа № 1, стр. 27–52 включают:––––––––алгоритмы метода Гаусса,выбор ведущего элемента,компактные схемы,алгоритмы метода Жордана,вычисление обратной матрицы,плохо обусловленные матрицы,задание на лабораторный проект № 1,26 вариантов задания;2) текст и лабораторная работа № 2, стр. 53–72 включают:––––––гауссово исключение и ijk-алгоритмы,распараллеливание вычислений,параллельное умножение,параллельное LU -разложение,LU -разложение и его ijk-формы,треугольные системы,Заключение– задание на лабораторный проект № 2,– 40 вариантов задания;3) текст и лабораторная работа № 3, стр.
73–81 включают:–––––метод окаймления,окаймление известной части LU -разложения,окаймление неизвестной части LU -разложения,задание на лабораторный проект № 3,16 вариантов задания;4) текст и лабораторная работа № 4, стр. 82–89 включают:––––•упакованные формы хранения матриц,выбор ведущего элемента,задание на лабораторный проект № 4,48 вариантов задания;тема 2 – разложения Холесского положительно определенных матриц:5) текст и лабораторная работа № 5, стр. 90–106 включают:–––––––•положительно определенные матрицы,квадратные корни из матриц и алгоритмы Холесского,программная реализация алгоритмов Холесского,разложение Холесского: ijk-формы,разложение Холесского: алгоритмы окаймления,задание на лабораторный проект № 5,40 вариантов задания;тема 3 – методы ортогональных преобразований:6) текст и лабораторная работа № 6, стр.
107–140 включают:–––––––336ортогональные матрицы и приложения,линейная задача наименьших квадратов,ортогональные матрицы в задаче о наименьших квадратах,преобразование Хаусхолдера,шаг триангуляризации матрицы преобразованием Хаусхолдера,решение треугольной системы Rx = z и обращение матрицы R,преобразование Гивенса,Заключение– варианты заполнения матрицы R,– правосторонние ортогональные преобразования и их применение,– двусторонние ортогональные преобразования и их применение,– ортогонализация Грама–Шмидта,– алгоритмы ортогонализации Грама–Шмидта,– решение системы линейных алгебраических уравнений после ортогонализации Грама–Шмидта,– вычисление обратной матрицы A−1 после ортогонализацииГрама–Шмидта,– задание на лабораторный проект № 6,– 28 вариантов задания;•тема 4 – итерационные методы решения линейных систем уравнений:7) текст и лабораторная работа № 7, стр. 141–159 включают:––––––––метод Якоби,метод Зейделя,метод простой итерации,метод Ричардсона,метод верхней релаксации (Юнга),четыре метода вариационного типа,задание на лабораторный проект № 7,15 вариантов задания.В качестве дополнительного материала в Часть I включен:•фонд задач, стр.
160–196.Часть II — Линейное оценивание — содержит обширный материал оттеоретических основ до эффективных и новейших вычислительных алгоритмов, а именно:•необходимые теоретические сведения из линейной алгебры,•основы оценивания по методу наименьших квадратов, включая последовательные алгоритмы и полную статистическую интерпретацию задачиМНК,•методы одновременного решения нормальных уравнений, включая337Заключение8) текст и лабораторную работу № 8,•устойчивые алгоритмы фильтрации, в том числе в задаче регрессионного моделирования, с акцентом на этап обработки измерения, включая9) текст и лабораторную работу № 9,•передовые блочные алгоритмы дискретной фильтрации, применяющиеортогональные преобразования для ковариационных или информационных алгоритмов, совмещающие или не совмещающие этапы экстраполяции оценок и обработки измерения (т.
е. одностадийные или двухстадийные) и ориентированные на параллельные вычисления, включая10) текст и лабораторную работу № 10.В приложение A.1 (стр. 339) помещены формальные доказательства дляновых скаляризованных блочных алгоритмов с ортогонализацией.Практическое значение рассмотренных вычислительных алгоритмов оценивания общепризнано. Эти алгоритмы оправдали усилия на их разработку.Кроме этого, они имеют и более широкое — теоретическое значение.Мы завершаем пособие указанием на одно из возможных направленийрасширенного использования изложенных вычислительных методов оценивания. Учитывая известное свойство двойственности задачи оценивания изадачи управления, таким направлением может быть разработка и исследование вычислительных алгоритмов для задачи оптимального линейногоуправления.
Для перехода к этой задаче в приложение B (стр. 343) помещеннебольшой вводный материал.Наконец, необходимо отметить, что́ мы считаем главным в изучении предмета «Вычислительная математика».• Наш курс опирается на Проектно-ориентированное изучение (ПОИ)предмета.
Квинтэссенция ПОИ выражена на стр. 23 в типичном диалогемежду Студентом и Экзаменатором. Подробнее см. [134].• Свои оценки студент зарабатывает в течение семестра (принцип распределенных по времени требований) в соответствии с теми целями,которые он ставит перед собой. Подробнее см. [130]• Пока студент не ставит перед собой целей и не преодолевает препятствия, до тех пор он не понимает смысла слова «студент» — изучающий.Подробнее см. Введение, стр. 15–23.338Приложение AОбоснования алгоритмов дляподразд. 14.7–14.10A.1Построение новых скаляризованных алгоритмовВ подразделы 14.7, 14.8, 14.9 и 14.10 помещены результаты построенияновых «скаляризованных» реализаций дискретного фильтра Калмана, принадлежащие М.
В. Куликовой [51]. Приводимые ниже теоретические обоснования даются по тексту [51]. Они опираются на широко известные факты(леммы A.1 и A.2) из теории оптимального оценивания [113].Лемма A.1.Пусть матрицы ковариациив измерителе (14.2) шумов2 22 (1)(2)(m)Rt имеют диагональный вид, т. е. Rt = diagσt, σt, . . . , σt.Представим матрицу Ht построчно: TT TTT(1)(2)(k)(m), ht., . .
. , ht, . . . , htHt = htТогда этап обработки измерений стандартного ковариационного фильтра(СКФ) Калмана (14.5)–(14.7) эквивалентен следующей последовательнойпроцедуре:T2 −1 T(k+1)(k+1)(k) (k+1)(k) (k+1)(k)(k+1)(k+1)(k)ht+ σtP̃t ht= P̃t − P̃t htP̃thtP̃t ,(k+1)x̃t(k)(k)= x̃t + Pt T(k+1)(k)(k+1)− htx̃t .2 zt(k+1)ht(k+1)re,t(A.1)(A.2)Лемма A.2. В условиях леммы A.1.
этап обработки измерений стандартного информационного фильтра эквивалентен следующей последова-A Обоснования алгоритмов для подразд. 14.7–14.10тельной процедуре обновления оценок:−1−1 T 2(k)(k+1)(k+1)(k+1)(k+1)+ htP̃tht= P̃t/ σt,(k+1)P̃t−1(k+1)x̃t=(k)P̃t−1(k)x̃t+(k+1) (k+1)/ztht2(k+1)σt.(A.3)(A.4)Теорема A.1 ( [51]).Пусть ковариационная матрица дискретногобелого шума в измерителе (14.2) Rtимеет диагональный вид, т. е. Rt =2 22(1)(2)(m)σt= diag, σt, .
. . , σt. Представим матрицу Ht построчно: TT TTT(1)(2)(k)(m)Ht = ht., ht, . . . , ht, . . . , htТогда этапы обработки измерений следующих четырех алгоритмов:1) СКККФ (14.26) — см. подразд. 14.7, стр. 327,2) СККИФ (14.27) — см. подразд. 14.8, стр. 328,3) СМККИФ (14.28) — см. подразд. 14.9, стр. 329,4) СКoККФ (14.29) — см. подразд. 14.10, стр.
329алгебраически эквивалентны этапу обработки измерений стандартногоковариационного фильтра (СКФ) Калмана (14.5)–(14.7), где вектор измерений zt в каждый момент времени t обрабатывается поэлементно:hi(m)(1) (2)zt = zt , zt , . . . , zt.Доказательство. Воспользуемся леммами A.1 и A.2. Покажем, чтоэтапы обработки измерений последовательных ковариационных алгоритмов,т.
е. СКККФ и СКоККФ, алгебраически эквивалентны уравнениям (A.1),(A.2). В то же время для информационных типов фильтров, т. е. для СККИФи СМККИФ, справедливы формулы (A.3), (A.4).Для удобства дальнейшего изложения обозначим матрицы, стоящие влевой и правой частях формул (14.26), (14.27), через At и Bt , соответственно.Представим дальнейшее доказательство по пунктам ➀, ➁, ➂:340Построение новых скаляризованных алгоритмов➀ Для СКККФ из формулы (14.26) непосредственно следуетT(14.26)(k)(k)TAt Ot,1Ot,1 At = ATt At = BtT Bt .Рассмотрим поэлементно матрицы ATt At и BtT Bt .
Для элемента (2, 2)матрицы ATt At справедлива следующая последовательность равенств:T(k) T (14.26)(k+1)(k+1)TTAt At 2,2 = Φt P̃t Φt = Bt Bt 2,2 = K̄p,tK̄p,t+(k+1)(k+1)ΦTt ==⇒ Φt P̃tT(k+1)(k+1)(k) T=K̄p,t= Φt P̃t Φt − K̄p,t−2 T(k) (k+1)(k) T(k+1)(k+1)(k)= Φt P̃t Φt − Φt P̃t htre,thtP̃t ΦTt .+ Φt P̃tΦTtПоследнее есть не что иное как (A.1), умноженное слева и справа наматрицы Φt и ΦTt , соответственно. Далее имеемATt At2,3(k) (14.26)=BtT Bt(k+1)(k)= Φt x̃t(k+1)2,3= −ēt(k+1)(k+1)K̄p,t(k+1)+ Φt x̃t=⇒(k+1)=K̄p,t= Φt x̃t + ēt−2 T(k) (k+1)(k)(k+1)(k+1)(k+1)(k)= Φt x̃t + Φt P̃t htre,t− htztx̃t ,=⇒ Φtx̃tа это есть уравнение (A.2), домноженное слева на матрицу Φt .Поэтому для СКККФ из формулы (14.26) непосредственно следуетсправедливость (A.1), (A.2).
Таким образом, согласно лемме A.1, этапыобработки измерений последовательного алгоритма СКККФ и стандартного фильтра Калмана эквивалентны друг другу.➁ Аналогично для СККИФ из (14.27) непосредственно выводится−1T 2 (14.27)(k)(k+1)(k+1)(k+1)T+ htht/ σt=At At 1,1 = P̃t−1(14.27)(k+1)T.= Bt Bt 1,1 = P̃tВидно, что это совпадает с уравнением (A.3). Далее находим2 (14.27)−1(k+1)(k+1) (k+1)(k)(k)T/ σt=ztx̃t + htAt At 1,2 = P̃t−1(14.27)(k+1)(k+1)T= Bt Bt 1,2 = P̃t.x̃t341A Обоснования алгоритмов для подразд. 14.7–14.10Последнее есть уравнение (A.4). Таким образом, этапы обработки измерений последовательного алгоритма СККИФ и стандартного информационного фильтра также взаимно эквивалентны.➂ Поскольку фильтры СМККИФ и СКоККФ являются модификациями алгоритмов СКККФ и СККИФ, то из ранее установленнойсправедливости последних следует правильность СМККИФ (14.28) иСКоККФ (14.29).2Замечание A.1. От ковариационной матрицы Rt наблюдений всегдатребуется невырожденность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
