Вычислительные методы алгебры и оценивания. И.В. Семушкин (2011) (1185350), страница 51

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 51)

Требовать обратимость матрицы Φt излишне, таккак известно, что переходная матрица состояния линейной динамическойсистемы всегда невырождена [75].Отметим, что РККИФ (14.17) получен так же, как и РКККФ, т. е. посредством добавления столбца данных (14.14) к квадратно-корневому информационному алгоритму фильтрации, т. е.−T /200Re,t−T /2−T /2 −P̃t+1Kp,t P̃t+1 0  == Ot ∗−T /2Rt00∗∗−T /2Ht Φ−1−Rtt−T /2 −1ΦtP̃t0T /2−T /2Ht Φ−1Rtt Gt QtT /2−T /2 −1Φt Gt Qt−P̃tIq.Подобная модификация обладает рядом преимуществ перед ранее известными информационными типами реализаций фильтра Калмана [123]:−T /2−T /2 −◦1 Поскольку теперь величины P̃t+1 и P̃t+1 x̂t+1 доступны непосредственно из алгоритма (см.

РККИФ, формула (14.17)), предсказаннаяоценка вектора состояния x̂−найденас помощьюрешенияt+1 может быть−T/2−T /2−−x̂t+1 = P̃t+1 x̂t+1 .линейной треугольной системы вида: P̃t+12◦ Поскольку все необходимые для продолжения работы фильтра данныемогут быть найдены одновременно и независимо друг от друга, это свойство РККИФ (14.17) делает его более приспособленным к параллельным вычислениям, чем ранее известные методы.Алгоритм (14.17) также может быть разделен на два этапа [123]:•Этап обработки измерений (фильтрация):"##"−T /2−T /20−ētHt −Rt−Rtzt= Ot,1,−T /2 +−T /2−T /2 −−T /2x̂tP̂tP̂tx̂tP̃tP̃t(14.18)где Ot,1 — ортогональное преобразование, приводящее к нижнему треугольному виду первый (блочный) столбец матрицы, стоящей в правойчасти (14.18).32314 Ортогонализованные блочные алгоритмы•Этап экстраполяции:"−T /2P̃t+1#−T /2P̃t+1 x̂−0t+1=−T /2−T /2−T /2Kb,t Q̃t−Q̃t−Q̃t Kb,t x̂−t+1" −T /2−T /2 +−T /2 −1x̂tΦt Gt P̂t−P̂tΦ−1P̂tt= Ot,2−T /200Qt#(14.19),где Ot,2 — ортогональное преобразование, приводящее к блочному нижнему треугольному виду два первых (блочных) столбца матрицы, стоящей в правой части формулы (14.19).14.5Модифицированный квадратно-корневойинформационный фильтрМодифицируем изложенные ранее РКККФ (14.13) и РККИФ (14.17), соединяя их в одно целое на основе РККИФ (14.17).

Полученный результатимеет название модифицированный квадратно-корневой информационныйфильтр (МККИФ), и его теоретическое обоснование можно найти в [123].Aлгоритм МККИФПредполагая, что P0 > 0, Rt > 0, по данным x̂−0 = x̄0 , P̃0 = P0 в каждыймомент времени t, t = 1, 2, . . . , вычисляют:−T /2T00Re,t−ētK̄p,t1/2−T /2−T /2−T /2= −P̃t+1Kp,t P̃t+1 0 P̃t+1 P̃t+1 x̂−t+1 = Ot ∗∗∗00−T /2Ht Φ−1−Rtt−T /2 −1ΦtP̃t00−T /2Rt∗T /2−T /2Ht Φ−1Rtt Gt QtT /2−T /2 −1Φt Gt Qt−P̃tIq01/2P̃t ΦTt1/2Qt GTt−T /2zt−Rt−T /2 −x̂tP̃t0,(14.20)где Ot — любое ортогональное преобразование, которое приводит книжнему треугольному виду главный блок (т.е.

первые три (блочных)столбца) матрицы, стоящей в правой части (14.20).Подобная модификация обладает рядом преимуществ перед изложеннымвыше РККИФ и ранее известными информационными реализациями фильтра [123], а именно:32414.5 Модифицированный квадратно-корневой И-фильтр1/21◦ Поскольку теперь величина P̃t+1 доступна непосредственно из алгоритма (см. МККИФ, формула (14.20)), предсказанная оценка вектора состояния системы x̂−t+1 может быть найдена непосредственно:T /2−T /2 −−P̃t+1 (P̃t+1 x̂t+1) = x̂t+1. Таким образом, в отличие от РККИФ (14.17),алгоритм (14.20) позволяет избежать решения линейной системы длянахождения оценки x̂−t+1.2◦ Все данные, необходимые для продолжения работы фильтра, могутбыть найдены одновременно и независимо друг от друга.

Это свойствоМККИФ (14.20) делает его более приспособленным к параллельнымвычислениям, чем предшествующие известные методы.МККИФ (14.20) может быть также разделен на два этапа следующимобразом [123]:••Этап обработки измерений (фильтрация):##""−T /2−T /2T−ētK̄p,t0Ht−Rtzt0−Rt,= Ot,11/2−T /2 +−T /21/2−T /2 −−T /2x̂tP̂t ΦTt P̂tP̂tx̂tP̃t ΦTt P̃tP̃t(14.21)где Ot,1 — ортогональное преобразование, приводящее к нижнему треугольному виду первый (блочный) столбец матрицы, стоящей в правойчасти (14.21).Этап экстраполяции:"#−T /21/2−T /2P̃t+10P̃t+1P̃t+1 x̂−t+1=−T /2−T /2−T /20 −Q̃t Kb,t x̂−−Q̃t Kb,t Q̃tt+1#" −T /2(14.22)1/2−T /2 +−T/2−1TΦx̂P̂P̂GΦ−P̂Φ−1P̂ttttttttt,= Ot,2−T /21/2 T0QtQt Gt0где Ot,2 — ортогональное преобразование, приводящее либо к блочномунижнему треугольному виду два первых (блочных) столбца, либо кверхнему треугольному виду третий (блочный) столбец матрицы, стоящей в правой части формулы (14.22).Дальнейшие усилия разработчиков блочных ортогонализованных алгоритмов были направлены на комбинирование преимуществ схем двух взаимно инверсных типов — ковариационной и информационной.

Это выразилось в следующем алгоритме.32514 Ортогонализованные блочные алгоритмы14.6Комбинированный квадратно-корневой фильтрAлгоритм КоККФПредполагая, что P0 > 0, Rt > 0, по данным x̂−0 = x̄0 , P̃0 = P0 в каждыймомент времени t, t = 1, 2, . . . , вычисляют:1/2TK̄p,tR00−ēt e,t−T /2−T /2 − 0 P̃ 1/2=P̃t+1P̃t+1 x̂t+10t+1−T /2−T /2−T /2−−Q̃t Kb,tx̂t+100 −Q̃t Kb,t Q̃tT /2−T /2−T /2−T /21/2−1−1Ht Φt Gt QtHt Φt Rtzt−Rt−Rt0R 1/2t1/2 TT /2−T /2 −1−T /2 −1−T /2 − T= Ot  P̃t Ht P̃t ΦtΦt Gt Qt−P̃tΦtx̂t  ,P̃tP̃t1/20Qt GTt0Iq0(14.23)где Ot — ортогональное преобразование, приводящее либо к верхнему треугольному виду первые два блочных столбца, либо к нижнему треугольному виду третий и четвертый блочные столбцы матрицы, стоящей вправой части формулы (14.23).Как и ранее, КоККФ (14.23) может быть разделен на два этапа [123]:••326Этап обработки измерений (фильтрация):#" 1/2T0−ētK̄p,tRe,t=1/2−T /2−T /2 +0 P̂t ΦTt P̂tx̂tP̂t#"−T /2−T /21/2−RtHt −RtztRt0,= Ot,1−T /2−T /2 −1/2 T1/2 Tx̂tP̃tP̃tP̃t Ht P̃t Φt(14.24)где Ot,1 — ортогональное преобразование, приводящее либо к верхнемутреугольному виду первых два (блочных) столбца, либо к нижнему треугольному виду третий (блочный) столбец матрицы, стоящей в правойчасти (14.24).Этап экстраполяции:"#1/2−T /2−T /2P̃t+1P̃t+1 x̂−P̃t+10t+1=−T /2−T /2−T /2−Q̃t Kb,t Q̃t0 −Q̃t Kb,t x̂−t+1#" −T /2(14.25)1/2−T /2 +−T/2−1TΦx̂P̂P̂GΦ−P̂Φ−1P̂ttttttttt,= Ot,2−T /21/2 T0QtQt Gt014.7 Скаляризованный квадратно-корневой К-фильтргде Ot,2 — ортогональное преобразование, приводящее либо к нижнемутреугольному виду первых два (блочных) столбца, либо к верхнему треугольному виду третий (блочный) столбец матрицы, стоящей в правойчасти (14.25).Таким образом, комбинированный квадратно-корневой алгоритм фильтрации (КоККФ) представляет собой полную комбинацию изложенныхранее алгоритмов РКККФ (14.13) и РККИФ (14.20) и получен путем ихсоединения в одно целое [123].14.7Скаляризованный квадратно-корневойковариационный фильтрНовые блочные алгоритмы рекуррентного оценивания выведены в диссертации [51] из алгоритмов РКККФ (14.15), (14.16), РККИФ (14.18),(14.19), МККИФ (14.21), (14.22) и КоККФ (14.24), (14.25) с переводом вних этапа обработки измерений в скаляризованную форму.

Это дало основание уточнить названия этих алгоритмов, а именно: определяющий термин«скаляризованный» здесь поставлен на первое место. В остальном эти алгоритмы приведены в подразд. 14.7, 14.8, 14.9 и 14.10 в точном соответствии сработой [51].T(k)Используем следующие обозначения: ht— k-я строка матрицы Ht ,2(k)(k)— k-й диагональный элеzt — k-й элемент вектора наблюдений zt , σt22 T(k+1)(k+1)(k+1)(k) (k+1)+ σt,мент матрицы Rt . Кроме того, re,t= htP̃t htT(k) (k+1) (k+1)(k+1)(k) (k)(k)(k+1)(k)(k+1)(k+1)/re,t .− htx̃t , ēt = et /re,t и K̄p,t = Φt P̃t ht= ztetAлгоритм СКККФI. Этап обработки измерений (фильтрация):•(0)Положить: St1/2(0)= P̃t , xt = x̂−t .32714 Ортогонализованные блочные алгоритмы•Для k = 0, 1, . . . , m − 1 вычислять:T(k+1)(k+1)(k+1)−ētK̄p,t re,t−T=(k+1)(k+1)(k+1) TStxtΦt0St(k+1)(k+1)(k+1)0σt/σt−zt(k),−T= Ot,1  (k) (k+1) (k)(k)(k)TStxtSt Φ tSt ht(14.26)(k)•где Ot,1 — ортогональное преобразование, приводящее к верхнемутреугольному виду два первых (блочных) столбца матрицы, стоящей в правой части (14.26).1/2−T /2 +x̂t(m)Положить: P̂t ΦTt = St ΦTt и P̂t(m)= St−T(m)xt .II.

Этап экстраполяции: совпадает с этапом экстраполяции базовогометода, т. е. РКККФ, — см. формулу (14.16).14.8Скаляризованный квадратно-корневойинформационный фильтрAлгоритм СККИФI. Этап обработки измерений (фильтрация):••(0)(k)•−T /2(0), xt = x̂−Положить: St = P̃tt .Для k = 0, 1, . . . , m − 1 вычислять: T(k+1)(k+1)ht(k+1)zt0−ēt(k)  −− (k+1) = Ot,1(k+1)σtσt(k+1) (k+1)(k+1)xtStSt(k) (k)(k)St x tSt , (14.27)где Ot,1 — матрица ортогонального преобразования, которая придомножении слева на первый блочный столбец матрицы, стоящей в правой части формулы (14.27), приводит его к нижнемутреугольному виду.(m) (m)−T /2 +(m)−T /2x̂t = St xt .= St и P̂tПоложить: P̂tII.

Характеристики

Список файлов книги