Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики (1185342), страница 44
Текст из файла (страница 44)
К=1 Перемножим сначала г (К) и д (К) для К = 1, 2, 3: » И) — 0,03012 — 0,19555 0,00288 0,71875 0,25000 0,03125 — 0,0419 — 0,7822 0,0923 Закончим теперь суммирование, пользуясь ранее вычисленными косинусамии: ( — 0,03012) (1, 0) ( — 0„19585) (1,0) (0,00288) (1,0) ( — 0,03012) (О,О) ( — 0', 19555) (1,'0) (О, 00288) (О, О) 0„19555 Вычисляемое выражение 2 (1+2 ( — 0,22279)) 211+2 (О, 19555)1 Лля завершения вычислений согласна (8.33) умножим эти суммы на 2, прибавим 1 и умножим результат на 2. Таким образом, эти две оценки спектральной плотности будут равны: Ф ~ Спектральная ф'= 2 плотность Оценки в остальных точках вычислены программой и приведены в приложении к этой главе.
Оценку спектральной плотности обычно изображают„соединяя значения оценок отрезками прямых. Как правило, пользуются логарифмической шкалой по оси ординат. Преимущество логарифмической шкалы заключается в том, что она увеличивает оценки в тех областях, где они малы, и тем самым облегчает интерпретащпо спектра. Логарифмическая шкала оказывается также более удобной при про" верке гипотез.
На рис. 8.7 показан спектр„для которого мы только что вычислили два значения спектральной плотности. Проверка гипотез. Предположим, что теоретический спектр «р Я) достаточно гладкий. Тогда для больших выборок приближенный 100 (1 — а)о„"-ный~доверительный интервал для «р Я) ограничен значениями (8.34) При применении ««окнами Парзена зквиваденспное число степеней свободы ч составляет (3,71)ФЖ, что для нашего примера дает (3,7Ц х х(11)/4-'~10. Кроме того, для нашего примера у3,0р5, и — — 20,483 и Х3,9уь, и = 3,247„следовательно, 950~',-ный доверительный интервал, например, для «р Я) ограничен значениями р У;) 2,782 (у~~ 0~~. 0)/ч 20,48ЭДО Р Ю 2Л82 (Хо.
9и: ~а)Р' Однако, логарифмируя неравенство (8.34), мы получим следующие границы доверительного интервала для 1од «р ®): 1ся Р(~«)+1ОБ (уф~а«я; д) «::1оя ««" Д1) '.:: 1оя ~Р Ц! )+ 1оя (~ф~$ а/2, .у) ° Таким образом, если пользоваться логарифмической бумагой (а так и следует делать), то для задания этого интервала следует припять 1,0 в качестве его середины, а/у~ ~~., ~ — в качестве верхнего значения н Ы~Д~.„~ — в качестве нижнего значения. Для нашего примера нижнее значение интервала будет равно 10/20,483 .=- 0,49, а верхнее — 10/3,247 = 3,08. Эта линия показана на рис. 8.7, и если точку 1,0 совместить со спектральной оценкой, то концы этой линии будут задавать верхний и нижний доверительные пределы. Если.эти пределы для каждой оценки нанести на график и соединить отрезками прямых, то мы получим верхнюю и нижнюю доверительные полосы.
Эти полосы показаны пунктирными линиями на рис. 8.7. Мы предупреждаем читателя, что этот метод не дает совместного доверительного интервала для всего спектра.. На рис. 8.7 оценка спектральной плотности достигает пика на частоте ~* = 1~4. Можно показать, что истинный спектр случайного ряда (белого шума) представляет собой горизонтальную линию, т. е. мощность распределена равномерно по всем частотам.
Один из способов проверки того, что данный стоит в том, чтобы попытаться ~ / 4,о / провести горизонтальную прямую В между доверительными границами, р зо Спттралмая не касаясь ни верхней, ни нижней Офек~ границы. Если это возможно„то мы не можем отвергнуть гипотезу а о том, что истинный спектр нс от- а личается от спектра белого шума. Очевидно, что на рис. 8.7 такую р прямую провести можно, поэтому " ~~~ г жасняя мы делаем вывод, что пик спектра " о г ~'~„'~„,~а'"~" ~'~ при ~* = 1~4 не указывает на су- ~ ВБ ~~ щественный пнк мощности в окре- ~од ~, од~ а,ц7~ фй стности этой частоты. д 1ГК ОР33О б.д7Я ОООО Другои способ установления Мстога, / доверительных полос заключается в подборе кривой (возможно„методом наименьших квадратов), проходящей через оценки спектра". Затем проводятся линии, соответствующие доверительным пределам.
Любой пик спектра, выходящий за пределы получаемых доверительных полос, рассматривается как существенный. ~4.ац 9 В '~ Фз ~ф ~~у ь~ ~ ~ф ~ ач ~ сь ° фф Рис. 8.7. Оценка спектральной плотности для первых разностей условного ряда из табл. 6.4 8.4.
ПРИ1ЙЕНЕИИЯ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА В этом разделе мы рассмотрим три применения спектрального анализа, встречаемые в экономической литературе. Анализ курсов акций. Многие методы анализа курсов ценных бумаг основаны на изучении поведения этих курсов в прошлом. Дейс1'- вительно, можно попытаться найти модели поведения курсов акций в надежде применять эти модели для предсказания будущего~т. '~ Независимой переменной будет Х = О, 1, 2, ..., 2Е. Кривая может задаваться полиномом.
Чаще она подбирается на глаз„так как доверительные полосы не являются точными. 1' Здесь,следует упомянуть об одном интересном моменте, а именно о проблема обратной связи предсказания. Если бы в некотором ряде биржевых цен кто-то обнаружил закономерность, дающую совершенное предсказание, и на основании этого предсказания совершалась сколько-нибудь заметная часть сделок, то найденная закономерность, по-видимому, исчезла бы. Если, например, некто обнаружил, что цена акций Х 1'Е всегда повышалась в июне, то он будет покупать их до июня и продавать в июне. Это привело бы к повышению цси до июня и снижению их в нюне н тем самым к нарушению закономерности.
Правило для открывателей подобных закономерностей — не быть жадным. Вокруг вопроса о том, может ль прошлое поведение курсов акций быть полезным для такого анализа, разгорелась значительная дискуссия. Как пишет один из ведущих исследователей этого вопроса, ~трудно найти практического участника биржевой игры, который не верит в то, что анализируя поведение цен на бирже в прошлом, можно узнать кое-что и об их поведении в будущем, и в то же время почти столь же трудно найти исследователя, который считает, что подобный взгляд назад имеет сколько-нибудь существенное значение»". Для исследования этого вопроса применялись многие методы статистики, в том числе и спектральный анализ. Гренджер и Моргенштерн в 1441 предложили рассматривать курсы акций как случайные блуждания. Тогда, если $', — это цена акций, то ~1~~ = 1~г — г -1 — ' где а~ — случайная величина с нулевым средним и е~ не коррелирована с а~+к для К;=~> О.
Таким образом, первые разности ряда (которые, как мы знаем, исключают линейный тренд) образуют белый шум. Гренджер и Моргенштерн вычислили спектры первых разностей для нескольких рядов цен и обнаружили, что они являются приближенно плоскими: еВ каждом случае полученный спектр оказался очень плоским вовсем диапазоне частот, за исключением нескольких исключительных частот»". Лалее авторы делают вывод, что дополученные в наших исследованиях данные в пользу существования ециклов» настолько слабы„ что ациклнческое инвестирование» является, в лучшем случае, лишь минимально выгодным»"©.
Длительные колебания экономической активности. Ряд авторов, вслед за работой С. Кузнеца, обнаружили наличие длинных волн в зкономической активности, которые длятся 10 — 20 лет. Возникает вопрос: отличаются ли эти колебания от колебаний с более коротким периодом„связанных с типичным циклом деловой активности, и даже существуют ли вообще эти колебания или они представляют собой следствие применения скользящих средних для сглаживания исходных данных перед их анализом'~? Адельман проверил гипотезу о длинных волнах ~без предварительного сглаживания методом скользящего среднего) при помощи спектрального анализа.
Если д.пггельные колебания существуют, то они должны проявляться в виде пиков спектра в диапазоне частот между ~ = 1ЛО и ~ = 1/20 пикла в год. Не обнаружив таких пиков, Адельман сделал вывод, что ~по-видимому, длительные колебания, которые наблюдались в экономике США после 1890 г., обусловлены частично привнесеннем кажущихся длинных циклов в процессе сглаживания, а частично — необходимостью усреднении по статистически малому числу случайных скачков» ~2, с. 4591.
Корректировка сезонности. Устойчивое сезонное изменение — это такое изменение, которое приближенно повторяется 1, 2„3, 4, 5 или 'е См. [26, с. 21. 19 См. ~44, с. 1701, »~ Там ие„с. 178. »1 Известно„что скользящее среднее имеет тенденцн~о к флуктуацням. Это вввенне навеоено поа наававвен афронта К~за — Саепвооо. 286 сезонности). Далее оценивается спектр отфильтрованного ряда, после чего оценки спектра делятся на аередаточную функдию фильтра.
Такую фильтрацию иногда называют евыбеливаниемз, а окончательную корректировку — закрашиванием (геса1ог1пд). Описание процедуры закрашивания выходит за рамки зтай книги"з. Тренд среднего. Если временной ряд имеет тренд среднего, та это дает большую оценку спектра на нулевой частоте. Однако большая оценка на нулевой частоте не обязательна означает существование тренда среднего, так как она может быть вызвана утечкой мощности с малых частот.
По-видимому, исходные данные всегда следует просматривать визуально с целью выделения возможных трендов среднего и дисперсии. Наблюдения. Периодические флуктуации во временном ряде должны повторяться несколько раз, чтобы они могли быть обнаружены при спектральном анализе. Если наблюдения ведутся с годичными интервалами, то для точного измерения циклов, длящихся 10 — 20 лет, необходимо больше наблюдений, чем в настоящее время имеется в нашем распоряжении для большинства зкономических временных рядов.
Некоторые статистики не пытаются применять спектральный анализ к экономическим времепнйм рядам, содержащим менее 100 наблюдений. Кросс-спектР. Спектральный анализ можно распространить на два и более рядов. В случае двух рядов мы имеем дело с кросс-саектральным анализом, а в случае многих временнйх рядов — с многомерным слектральньш анализом. Полезность кросс-спектрального анализа объясняется тем, чта ан характеризует степень связи между частотными составляющими двух временнйх рядов при помощи параметра, называемого коггрентностыо. Соотношения опережения и запаздывания между двумя рядами можно изучать также при помощи параметров Фазового сдвига. В настоящей кинге мы не будем рассматривать кросс-спектральный (или многомерный спектральный) анализ". ВОПРОСЫ И ЗЛЛЛЧИ Раздели В.1 — 8.4 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
