Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики (1185342), страница 40
Текст из файла (страница 40)
8480 2 ,7144 2 6.6266 3 — 3.0718 3 —.7645 4 .8024 КАНОНИЧЕСКАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ 3=-.6179 КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРВОЕ МНОЖЕСТВО 'ВТОРОЕ МНОЖЕСТВО 1 1.4253 1 — 1.9602 2 1.3347 2 —.0363 3 --.1.7776 3 2.3344 4 .2191 С 1И73 АИ0 СНАЙ1 ИЕЕОЕ0 С ИР АЯЗОМЕ0 бКЕАТЕК ТНАИ ОК ЕЯБА1. ТО ИЯ 01МЕИ81ОИ К (10,10),8 (10,10),А (10,10),ЧЕС (10,10), 151 (10,10),52(10, 1О),ГРООТ (10) „.Ъ (10) ЙЕА0 (97,5) ИР,ИЯ 5 ИЖМАТ (213) М=ИР+ИЯ 0О 20 1=-1,М 20 КЕА0 (97,25) (Р (1,Я),1=1,М) 25 РОКМАТ (8НО. О) 00 30 1=1,ИР 0О 30 Д'=-1,ИР 30 А (1,1): — К (1,1) СА1.1 1И75(А,ИР) 00 35 1=1,ИР 0О 35 1=1,ИЯ 8(1Д=О.О 0О 35 К=1,ИР 35 Б(1,1) Б(1,1)+А(1,К) Й (К,~+ИР) 0О 40 1= 1,И(;) 0О 40 1 1,ИЯ 260 Глава 8 9 СПЕКТРАЛЬНЫИ АНАЛИЗ' Временной ряд представляет собой множество наблюдений, упорядоченное во времени.
При анализе временных рядов в экономике мы обычно предполагаем. что эти наблюдения упорядочены во времени и разделены равными интервалами времени. Примерами рядов могут служить совокупности данных о потреблении и доходе из табл. 4.2, в каждой из которых имеется по одному наблюдению за каждый год. Читатель, несомненно, изучал некоторые методы анализа временных рядов, В элементарных курсах статистики основное внимание, как правило, уделяется свойствам временных рядов во временном аспеюие.
Другими словами, там обычно рассматриваются модели, разбивающие временной ряд на составляющие„каждая из которых есть некоторая функция времени.~Согласно одной из традиционных моделей экономические временные ряды содержат четыре элемента: тренд, циклическое изменение, сезонное изменение и случайную (или остаточную) составляющую. При такой модели анализ временного ряда состоит из операций измерения и идентификации этих элементов ряда„ а также, в некоторых случаях, удаления из ряда отдельных элементов. Процесс корректировки сезонности заключается в идентификации сезонного фактора и последующем отделении (или фильтрации) этого фактора от других элементов временнбго ряда. В настоящей главе основное внимание будет уделено характеристикам временнйх рядов не во временнбм, а, так сказать,р частоюином асгиктг.
В связи с этим мы будем изучать декомпозицию временного ряда на такие составляющие, которые связаны не с временем„а с частотой. 8.1. СТАЦИОНАРНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ На рис. 8.1 показан некий гипотетический временной ряд, Экономист никогда не мог бы наблюдать такой ряд иа практике, по для пас этот ряд будет отправным моментом нашего обсуждения. Значения ряда (У„У"„Кз, ...) колеблются около среднего значения р. Кроме того, эти колебания (флуктуации) повторяются. Другими словами, этот временной ряд являетсяцагриадическим.
Интервал времени, иеобхо- Некоторые авторы предпочитают употреблять термин ~анализ спектра~. Они утверждают, и не без оснований, что не нужно давать мистического названия процедуре, которая и без того носит достаточно мистический характер. ~Брес1ге переводится также как привидение, призрак'. — Примеч. пер.) димого для того, чтобы временной ряд начал повторяться, называется периодом и обозначается Р. Если временной ряд на рис.
8.1 наблюдается ежемесячно, то между пиками (высшими точками) или впадинами (низшими точками) проходит 10 месяцев. Следовательно, период этого цикла равен 1О месяцам. Период измеряется числом единиц времени за цикл и не является единственным, так как если временной ряд имеет период Р, то он также имеет период 2Р, ЗР, ... В общем случае ряд У, периодический, если У~ — — У,+,„, где с = 1, 2, ... Величина, обратная периоду, называется1частатой ряда и обозначается ~ = 1/Р. Частота указывает нам число повторений цикла в единицу времени и поэтому измеряется числом циклов в единицу вре- Р мени. Частота цикла, показанного на рис.
8.1„равна ИО цикла в месяц. Очевидно, что мы можем пользоваться терминами кпериодв и ачастотаа как взаимозаменяемы- о 5 Ф т Й ми. Важно отметить также, что ВрЕМЕННой ряд С ПОСТОЯННЫМИ Зиа- 1~ис- 8 1 1 периодический врсмсниоа чениями У~ = Й можно считать ряд частным случаем периодического временного ряда с нулевой частотой. Иначе говоря, период У'~ бесконечен (этот ряд никогда не претерпевает циклических изменений). Амплитуда периодического ряда — это отклонение от среднего значения ряда до пика или впадины. Амплитуда обозначается через А, она также показана на рис.
8.1, Наконец, фаэой ф является расстояние между началом отсчета времени (т. е. точкой, где 1 == О) и ближайшим пиковым значением. Периодические временнйе ряды могут флуктуировать около некоторого возрастающего (или убывающего) среднего значения, как ряд, показанный в левой части рис. 8.2.
Говорят, что такой ряд обладает треидом среднего. Амплитуда периодического ряда также может возрастать (или убывать) со временем. Говорят, что такой ряд обладает трудом дисперсии; пример показан в правой части рис. 8.2. Грубо говоря, ряд, не имеющий трендов среднего и дисперсии, называется стационарным'. Большая часть временпйх рядов в экономике характеризуется наличием трендов среднего значения.
Если этот тренд линейный, то, вообще говоря, его можно удалить путем подбора регрессии Г~ —— . Р, + р,~ по методу наименьших квадратов. Переменная 8 представляет время и пробегает целые значения от 1 = 1 до 1 = Ф, где Ф вЂ” число наблюдений переменной У~. Тогда остаток У~ — У~ будет лишен тренда.
Альтернативный путь заключается в использовании первых.разностей У~, где первые разности определяются как ЛУ~ —— = У~ — У, 1. Недостаток такого способа — потеря одного наблюдения. Мы рассмотрим этот вопрос в разделе 8.5. В любом случае, что- а Существуют различные математические определси ия стациоиврности. Каше определение соответствует понятию стационарноапи е иироком смысле, которое предполагает, что среднее значение и дисперсия не зависит ог времени. бы удовлетворить предположению стационарности, нужно до проведения спектрального анализа ряда попытаться удалить тренд. Как уже говорилось, стационарный временной ряд можно задать четырьмя параметрами: периодом (или частотой), амплитудой, фазой и средним значением.
Поэтому стационарный периодический временной ряд можно записать в форме У~ =- р, + А соз 2л~ (» — ~р), которая называется гармоническим аредалавлееием. Читатель может проверить, что ряд на рис. 8.1 можно описать этой моделью. Например, если» = ~р, то У~ = р+ А, так как соз О = 1. ю 3 3~з Рис. Н.З.,Цаа нестацяанарных нременнйк ряда Удобно выразить периодическую функцию через угмвую часжоту а.
Угловая частота измеряется в радианах в единицу времени и равна: и=2й~, О«~ы«2Л. Таким образом, модель периодического временного ряда можно записать в виде (8.1) где О = 2~фр. Это и будет нашим основным представлением периодической функции. Мы будем называть ~ чйсй~йюй, ~о — узловой ~~ойюп~ой Уравнение (8,1) часто записывают через тригонометрические функции — синусы и косинусы — без явного упоминания о фазе. Тогда У'~ = р.
+ а соз в» + р з1п Ы (8.1а) тождественно представлено (8.1) при условии, что мы положим а = = А соз В и р = А з~п В. Чтобы доказать это равенство, вспомним тригонометрическое тождество соз (х — у) = соз х соз у + з1п х з1п у. Тогда А срз (к» вЂ” В) = А (соз в»соз 0 + з1п и»'з1пВ) = асоз Ы+ +ф з1пЫ (8.2) Л„сов (а„1 — О„) = а,„соз»о„8, поскольку з1п а,1 = яп л1 = 0 для произвольного целого ~. Таким образом, мы можем переписать (3.10): У» — — р.+ ~ А»соз(в»1 — 6»)+а„созо„~ »ю) или аналогично переписать (8.11): поскольку 31Й О„~ = $1п»И = О. Теперь в обоих выражениях имеется по К параметров: в первом— р, (а — 1) параметров А, (и — 1) параметров 6 и а»,; во втором — р„а параметров а и (а — 1) параметров Р. Для удобства представления косинусоиду нулевой частоты часто в явном виде включают в (8.10). Предположим, что мы задади фазу 0»~ = О.
Тогда выражение (3.10) можно записать в виде У» = ~~ А, соз (»0» $ — О,), (8.10а) где среднее значение р, равно амплитуде А», косинусоиды нулевой час- тоты: 1», = А». Для (8.11) мы имеем соответственно У» =- У а»сожа»1+ '~' р»з1па», (8.11а) где также р = а . Так как яп о„1 = О, самый последний член в (8.11а) равен нулю.
Параметрами в (8.10) являются р, А; и О», а в (8.11) — р, сс» и р». Создастся впечатление, что В каждом из зтих выражений мы имеем на один параметр больше, чем число наблюдений Ф. Однако мы покажем„ что фактическое число параметров в обоих уравнениях только У, а не У + 1. Так как ь„= ч, с учком (8.2)»»-я составляющая в (8.10), равна: Пользуясь некоторыми свойствами ортогональности синусов и ко синусов, оценки параметров разложения (8.11а) можно записать следующим образом': И вЂ” ~~~~ ~Ут сок от, т, 1=1 И У', созо~, 1, Ф 4Ы 1 И вЂ” ~ 'ттта!пот;~, И вЂ” У,з1пэ, г, 1 =3 для з=1„2,..., и — 1; для ~=0, и; (8.12) для ~=-1,2, ..., а — 1; для з=О, и, где угловая частота равна а, = 2дИ4, Оценки для А~ и О; можно получить непосредственно из соотношений (3,5а) и (8.ба), Отпода для (8.10а) имеем А; =1' а~~'~~, ддд ° О~ = агс1д — „', г = О, 1, 2, ..., и.
а~ (3.13) з См. 1561. Свойства ортогоиальности функций синуса и косинуса таковы: о, Ф $1 + Ое ле М з1пга|1 з1па д = 1=1 О, 1=~=0, л, О Ф вЂ” ° г=)фО, л, 2 И соз 6)1 1 со$6)У 1 = с У, ~=-1=0, и, И ;У, з1пи~ 1созещ1=0, С=1 к,1 0„1,2, ...,л, И ~~ з1пю~ 8=0, ~=0,1,2... „л, С 1 И ,Я созе;1=0, 1=1,2, ..., л, г=1 Таким образом, оценки (8.12) можно получить умножением обеих частей выраже- нии 18.11а) на соз а~1 (или з1п в~ ~) и суммированием по Ф. Далее нспользуютсн свойства ортогональности.
Эта процедура есть ие что иное, как образование нор- мальных уравнений наименьших квадратов. Следовательно„ оценки (8.12) на- деются ке самом деле океккама какмееажкк кйаддраток. См. также ~72, с. 198~. 268 Таблица 8.1 Значении параметроа гармонических функций Париои или частота Фаза Периодическая В табл. 8,1 приведены значения параметров этих гармонических функций.
Обратите внимание, что среднее значение представлено гармонической функцией с нулевой частотой. Например, первая периодическая составляющая С„=— = 10 соз (0,3141 — 1,047) =- (5,002) соз (0,314~) + (8,659) яп (0,314~). Угловая частота а, ='-0,314 соответствует частоте ~, = 1/20 цикла в единицу времени (т. е. ~; =- а;/2л, где л т 3,14159); эта кривая имеет период повторения 20 единиц времени (например, 20 месяцев).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
