Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики (1185342), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Читатель может проверить непротиворечивость табл. 8.1,. вычислив, например, А1' = аГ + р1 для всех ~. В табл. 8.2 приведены значения четырех периодических рядов У, с И = — 20 наблюдениями в моменты 1 = 1, ..., 20, построенных по па- Та блица 82 Четыре периодических ряда и их сумма Й'~ = 5,0+ См+ См+ См+Си) сф сяе 270 1 2 3 4 5 6 7 В 9 !О 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7,43 9,14 9„95 9,78 8,66 6,69 4,07 1,05 — 2,08 — 5,00 — 7,43 — 9,14 — 9,95 — 9,78 — 8,66 — 6,69 — 4,07 — 1,05 2,08 5,00 8,89 8,02 4„09 — 1,41 --6,36 — 2,89 — 8,02 — 4,09 1,41 6,36 8,89 8,02 4„09 — 1,41 — 6,36 — 8,89 — 8,02 — 4,09 1„41 6,36 О,ОΠ— 8,00 0,00 8,00 0„00 — 8„00 О„ОО 8,00 0,00 — В„ОО 0,00 8,00 О,ОΠ— 8,00 О,ОО В,ОО 0,00 — В„ОО О,ОО 8,00 — 5,00 5,00 — 5„00 5.00 — 5,00 5,00 — 5,00 5,60 — 5,00 б,ОΠ— 5,00 5,00 — 5,00 5,00 — 5,00 5,00 5,00 — 5,00 5,00 16,32 19,15 14,03 26 ° 37 2,30 — 0,20 — 3,95 14,96 — 0„67 3,36 1,46 16,88 — 5,86 — 9,19 — 15„02 2,42 — 12 „09 — 3,13 3„49 29,36 раметрам из табл.
8.1. Эти ряды, а также их сумма, плюс среднее 11 = 5 изображены на рис. 8.3. Обратите внимание нато, что ряд К» имеет некоторое сходство с тем типом рядов, которые мы встречаем в зкономических исследованиях. Интересно отметить также, что согласно табл. 8.2 два ряда, С,. и С,», никогда не достигают своих амплитудных значений 10,0 и 9,0 соответственно. Это происходит потому, что мы вычисляем эти ряды только в дискретные моменты времени, а не не- прерывно.
Если бы мы имели возможность регистрировать значения временного ряда непрерывно, то этого явления не было бы. Ряд С1„до- стигает своего первого пикового значения при 1 = 3,33 ..., ряд С„ достигает своего первого пикового значения при 1 = 1,25. Иначе го- воря, так как С„= 10соз(0,3141 — 0,785), то первый ряд достига- ет первого пика с амплитудой 10, когда 0,3141 — 1,047 = О, т, е. ~ = = 3,33 ..., в то время как второй ряд достигает своего первого пика с амплитудой 9, когда 0,6281 — 0,785 =- О, т.
е. 1 --= 1,25. Имея ряд К» из 20 наблюдений (табл. 8.2), попытаемся теперь восстановить по этому ряду четыре периодические составлшицие. Для случая 20 наблюдений выражение (8.11а) принимает вид 16 .»О У» .= '~'„с»» соз»а» ~+ ~„~3» Б»п о» 1, »-. а »= 1 где ໠— — 2ж/20, Оценки параметров можно получить в соответствии с (8.12). Например, 2 2д 4л а =-- — 16,32соз = +19,15соз — +....+ 2О ' 2О ' ' 2О +29,36соз1 — 1~ =5„0. 20 Аналогично ~, = —,~ 16,32 яп + 19,15 яп — + ... + 2 2я 4я 2О '~ ' 2О ' 2О +29,3651п~ 40 11 --=8,6602. "/, Табл. 8.3 содержит остальные значения оценок а и р, а также оценки А = )/ а'+$ и В =- агс1д фй).
Сравнение табл. 8,1 и 8.3 показывает, что параметры периодичес- ких функций восстановлены (если пренебречь ошибками округления- и ошибками, вызванными конечностью выборкп). Замечательное свойство ряда Фурье заключается и том„что коэф- фициенты Фурье А; тесно связаны с выборочной дисперсией составно-: го ряда К». Используя свойство ортогональности функций синуса и косинуса (см. примечание 5), можно показать, что среднее значение суммы квадратов У набл»одений может быть представлено в виде' И в л — 1 а — 1 $ ~ ~~ » ~~~ ~ ~д р ~ р — =аа+ — '~' (а» +~3»)+а,„=Ар+ — '~ А» +А„, (8,16) »=1 Ф »=! е Зто частный случай теоремы Парсааалн. Рис, 8.3.
Четыре периодических ряда и ряд У$ ~~ Ф 5Ж+ ~14+ См+~ и+С4!) Таблица 8.3 Коэффициенты Фурье и фааовые параметры О,ОО 0,05 0,10 0,15 о„'го 0,25 0„30 О',35 0,40 0,45 0,50 О,ООО=- О 0,314 = гл/20 0,628 ==- 4л/20 0,942= бл~20 1 „257= 8л/20 1,571 = 10л/20 1,885-= 12п,~20 2, 199 = 14л/20 2,513 = 16л/20 2,827= 18д/20 3,142 = 20л/20 5,0 Б,О 6,3639 О,О О,О 8„0 0",О О',О 0,0 0,0 5,0 О,О 8,6602 6,3639 О,О О,О о,'о О„О О,О О,О 0,0 О,О 5,0 9,95 8„89 О,О О,О 8,0 0,'О О,О О,О О,О 5,0 0,0 1,047 0,785 3 4 5 6 7 8 10 1\ так как сса = Аа и а„= А„.
Величина влевой части (8.16) называется средней мощяостью, или средним квадратом. С другой стороны, так как Аа = У', то (8.16) можно преобразовать в' И и — ~ У 2 (8.17) т Спектр нааваи линейчатым, так как предполагаются гармонические составляюц1ие только на дискретных частотах. В дальнейшем мы откажемся от атого предположения. Такое представление иногда называют также периодогри,иной. Заметьте, что единственное различие между (8.16) и (8.17) касается среднего. Если среднее значение ряда равна нулю, та дисперсия Я)' совпадает со средней мощностью.
Таким образом, в (8.17) мы имеем дело с отклонениями от среднего (среднее значение этих отклонений равно нулю) и А, = О. Итак, мы показали, что1общую дисперсию временного ряда можно представить линейной комбинацией квадратов амплитуд каждой периодической составляющей.
Таким образом, представление Фурье позволяет выполнять некую разновидность дисперсионного анализа- выборочного временнбго ряда. Представляется вполне понятным наличие определенного соотношения между амплитудами периодических рядов, из которых состоит У„и дисперсией Г~, так как, чем больше амплитуда того или иного входящего в У'~ ряда, тем больше будет амплитуда флуктуаций У1. В физике и смежных науках термины мощность .~ л и дисперсия взаимозаменяемы. Так, величины — Аг, Аоа и А,' иногда называют оценкой средней мощности при угловой частоте ь~. График зависимости этих коэффициентов от частоты представляет собой разновидность лияейчатоео стктра Фурье'.
На рис. 8.4 показан линейчатый спектр Фурье для искусственного ряда У~, являющийся наглядной иллюстрацией дисперсиопного анализа этого ряда. Из этого спектра, например, сразу видно, что вся средняя мощность ряда У~, кроме среднего значения, может бить объяснена четырьмя гармоническими кривыми с частотами 0,05; 0,10; 0,25 и 0,50, Коррелограмма. Авиоковариационндж фдиа1ив стационарного временного ряда со средним р и дисперсией а~ для генеральной совокупности обычно определяют в виде 60 Э~ Я ,фо за Ю 0 ОМЩО47хпи48$РМОЯДФООМЦж Част~п~, ~ Рнс.
8.4. Ли~ейчатый спектр Фурье где К принимает значения О, 1, 2, ... Обратите внимание на то, что по определению 7 (К) является функцией только запаздывания (лага) К„а не момента времени 1, от которого зависит У',. Так как дисперсия па ряда Ут равна у (О), пепокорреляцыонная фумщия равна: Заметим, что в случае стационарного ряда это определение соответствует нашему обычному определению простой корреляции между У, и 3~,+к. Простую корреляцию обычно определяют следующим образом: Однако, если ряд стационарный, то маг (У~) =- ~иг (У~+к) = 7 (О). Так как соч (У~, У,+к) ='- у (К), этоопределение аналогично(8.19). Автоковариационную функцию для выборки обычно определяют как а Параен в 1721 предлагает не вычитать срсднсс 'г' иа каждого значения $'~. Яы, однако, не будем менять наши определения, в которых среднее вычитается, ввиду их широкого распространения.
3 274 Заметим, что, если К = О, С (О) = Ю', т. е. С (О) представляет собой смещенную оценку о'. В качестве делителя взято значение Ф (а не Ж вЂ” К вЂ” 1), гак как во многих случаях оно дает оценку с меньшей среднеквадратической ошибкой и оказывается более удобным в связи с теоремой Парсеваля. Проиллюстрируем эти определения иа примере короткого искус- ственного ряда: 11 =--- 4, Уа = 2, Уа —— 3. Тогда У' = 3 и С(0) = Ц' ~1~+( 11 ~ 1~+~0~ '01 =0,667.
3 С(1) — ~ ~ ~+ 1~ ~ — 0,333. Э Выборочная автокорреляционная функция определяется выражением (К).= — ° СЮ) с (о> (8.21) Для рассматриваемого условного ряда г (О) = 1,0; г (1) = — 0,5 и г (2) = О,О. Выборочная автокорреляционная функция в ряде случаев оказывается полезной при интерпретации временнйх рядов. Если выборочный времепиой ряд является строго периодическим, товыборочная автокорреляционная функция также будет периодической и иметь тот же период, что и ряд, по которому она была вычислена. Читателю рекомендуется убедиться самому, что для приведенного ряда Сз~ (см.
табл. 8.2) выборочная автокорреляционная функция принимает значения +1„0; — 1,0;+1 ... нт. д., так чтоона имеет „каки рядСз„период 4. Лвтокорреляционная функция полезна также потому, что она дает нам представление о том, как временная зависимость з экономических временных рядах постепенно яисчезает» с увеличением запаздывания. Однако в общем случае автокорреляционную функцию трудно интерпретировать„поскольку соседние значения коэффициентов автокорреляции ие являются независимыми. Вполне вероятно, что для большинства временнйх рядов в экономике за одним положительным коэффициентом автокорреляции следует другой положительный коэффициент автокорреляции.
Именно.эта трудность заставляет пам предпочесть исследование строго периодических временийх рядов в частотной области, поскольку коэффициенты Фурье ортогональны (независимы), Выборочная автокорреляционная функция для искусственного ряда У, из табл. 8.2 показана на рис. 8.5; подобная диаграмма называется коррелограммой. Читателю следует затратить некоторое время, чтобы попытаться понять этот рисунок и убедиться в том, что линейный спектр Фурье на рис. 8.4 значительно более удобен для пониманияа. Другая трудность, связанная с выборочной автокорреляционной функцией, — это выбор числа запаздываний К, используемых для вычисления. Существует У вЂ” 1 возможных коэффициентов автокорре- ~ Так как козффнниснты автокорреляпии вычисляются только для дискретных запаздываний, то.
казалось бы, предпочтительнее изображать вти коэффициенты, пользуясь вертикальными ливнями, как это было сделано для линейного спектра. Однако на практикезту диаграмму почти всегда изображают так, как на па рис. 8.5„где точки соединены отрезками прямых линий. ляции 1не считая г' (О), который всегда равен И„которые можно вычислить для ряда длины Ж, По мере приближения К к Ф вЂ” 1 число наблюдений, на которых базируется каждый коэффициент автокорреляции, уменьшается, и каждый коэффициент становится менее сопоставимым с коэффициентами, базирующимися на меныппх запаздываниях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
