Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 40
Текст из файла (страница 40)
ковариация будет о!!А!ьз (см. задачу 18 главы 2). Пусть Š— любая матрица, удовлетворяющая условгио ЕА!,,Еа=У и зл1 моменты отношения пеавдоподовия 285 и дб=дй'! ... дй, Н)г=ду ! ... ду . Момент может вр !! '' лг быть записан слелующнм образом: ""=,-;,,". "~.,У У ' " ! ХК(д, л+2и)~6(а ехр( — 2 зрд! 6) Х ! ! Х (2л) г ~ л ~ г екр ~ — 2 ~л~ругХ у!) дбдГ. (8) Ту часть подынтегрального выражения, которая вклю- чает 6, можно рассматривать как плотность распределения Ф'(Х, и+2/!).
Так как Р= 6+я'„'у!у,'., то интеграл можно рассматривать как математическое ожидание величины ( Р( где Р имеет распределение (Гг(Х, л+ 2И+(у!). Таким обра- зом, (8) может быть записано в виде МУ"= ., („'4+2)л)~.../)РГ". (Р~Х,л+2и+ у,)йР= 'К(Е, л) К(Х, л+ 2И + й!) К(2, л+ 2Л) К(Х, л+ й) в силу формулы (18) 2 7.5. Это эквивалентно следующему: г — (лу — и,— и,+1 — )+л 1 — (лу и,+1 — )~ !=! Г Г--(лу — у,— !у +1 — !) ! à à — (лу —,у,+1 — !) )-и~ е Г~ (л+ у)+Ит~г у( — (л+4,+1 — )~ Г ! - (л -)-1 — !)1 Г 1 — (л+ !у, + 1 — !) + уг~ [2 12 Обозначим случайную величину У при условии, что гипотеза УУ верна, через У е, „. Это является аналогом 1 величины „, для р = 1.
1 + (й!ул) Рел л Теорема 8.4.1. В случае, когда гилослези У!' верна, г И-й лгомент величины ),л!, олределенной в 2 8.3, даеглся формулой (10), Так как значения У заключены между О и 1, то моменты однозначно определяют распределение. 28В пРОВеРкА Овших линяиных ГипОтзз [Гл. а дегко покачать, что в приведенном выше выражении р и могут меняться ролями, когда М вЂ” аут Остается постоян'у! ным, т. е. Г ~ — (Ау — ау+1 — [)[ Г ~ — (Ау — ау,— р+1 — !)+ Ь~ г1 г1 (2 а ~ (2 а=! Г ~ — ([А — в!+1 — ~)+[а~ Г Ь! — (Лу —,уа — р+1 — !)1 (11) Предположим, что ау! ( р. Тогда (!О) может быть записано в виде г~ — (А[ — е,+1 — [)1 г[2 (Аг — е,+1 — !)1 г1 Г! а=! 1 — (И вЂ” [[!+1 —,)+а а=т-а! Г [-(М вЂ” па+1 — )+ Л~ 12 Р ШГ~ — ([а[ — у[1 — !))а~ Р Г~ — (АУ вЂ” в+1 1 1 хП', П а=! 1' à — (М вЂ” ау+ 1 — !)~ а=р-д, 1 Г ~--(Ау — а+ 1 — !)~ (2 ю Г ~~ — (д[ — оа -1-1 — !)~ Р-а[ Г ~~ — (АУ е+1 — !)~ —.
Х а=! г — (Ау — е,+1 — !)+д~ ! ! Г~ — (лу — е+1 !)+л~ [2 Р-т Г ~ 2 (у!у ч.а-[ — !)+Ь~ ю Г ! 2 (Ау — ауа — р-'1 — !)+й~ а=! 1' — ([ау — ау+ 1 !) [ а=! Г ! — (Ау — ау! — р+ 1 — !)~ ~2 [2 (12) Так как величина, заключенная в фигурные скобки, равна единице, то (12) равносильно (11). Если ау, ) р, то мы, конечно, можем провести доказательство в обратном порядке. Это доказывает следующую теорему. Т е о р е м а 8.4.2.
Если гипотеза Н верна, то УРОВ н а, ц, илаеет такое васе РаспРеделение, нан и (Уа„р, н „-е, (т. е. РаспРеделение Ур ю „совпадает с РиспРеделением (Уан Р, лаа,-Р). ».51 НЕКОТОРЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗЕЛИЧИН ГГ 2бт 8.б. Некоторые распределения величин У 8.б.1. Введение. Чтобы получить точки знзчимостн для критериев, использующих отношение правдоподобия, желательно воспольаоваться распрелеленнем величины ()р В этом параграфе мы покажем, что это распределение совпадает с распределением произведения независимых величин. В некоторых частных случаях это приводит к явному выражению для распределений. В других случаях распределения лягут быть получены лишь в виде интегралов. Принимая во внимание теорему 8.4.2, мы предположим здесь, что р~(!)!.
Обозначим !)! через лг. 8.8.2. У как произведение независимых случайных величин. Используем то, что Г[2 (а+Ь)1Г(2'+И) г [ — (а + ь) + «) г ( — а) ! 1 Г 2 (а+ )1 -а+»-! ь-! (1 — ) ' !(х. (1) Г[ — а Ь г( — а) г( — ь) Пусть , !" 1 Га — а) Г ( — Ь) в единичном интервале и равно нулю вне этого интервала. 1 1 Если Х имеет плотность распределения р(х; — а, — Ь), то 2 ' 2 «-и момент Х определяется по формуле (1). Из формулы (10) предыдущего параграфа следует, что Г [ — (л+ 1 — !) + «) 1 [ — (л+ т+ 1 — !)1 1 1 ».(()» Ц 1 Г [ — (л+ 1 — !)) Г [ — (а + т + 1 — !) + «1 ~ Р =П (мх!" ~, (з) г=! 268 прОВеРкА Овших линейных ГипОтез !ГЛ.
» Дх, (и. (4) Предположим. что р четно. т. е. р=2Г. Воспользуемся тем. что Г«+ !АГ( + !) Т'пГ(2«+1) 2) 2ы Тогда «г-й момент величины («будет равен Г[ — (т+ и+2) — «) [2 (™+и+1) «) М(«» П 2 ) 11 Х «=! 1' ) — (т-»-п-1-2) — «-! »1! Г ! — (т.(-и+ 1) — «+А~ [2 (2 Г [ — (и+2) — «+д Г[ — (п-1-1) — «-1-д~ [ 2 " + ) «л [ 2 ( + ) «1 » -П1: ! 1" (т + п + 1 — 2«) Г (п + 1 — 2«+ 2Л) ! 1 1' (и + и+ 1 — 2«+ 2») Г (п+! — 2«) ! ' «! где Хп ..., Х независимы н Х, имеет плотность распр,- 1 ! деления вероятностей р [х; — (п+ 1 — !), —, т~~.
Таким обра- 2 2 зоч, М(«~ = Д1МХ~!) =М!!П(Х~!)! !=М!!(ПХ!)"). Так как распределение (« конечного порядка и, следовательно, определяется однозначно своимн моментами, то мы получаем следующую теорему: Теорема 8.5.!. Величина («и и „ил»еет такое же распределение. Нак и И !Х!), где Хи ..., Х вЂ” незаеисилгые случайные величины, и плотность распределения 1 1 вероятностей величина Х! равна р[х; 2 (и+1 — !), 2 т~~. Функпня распределения величины («л»ожет быть найдена посредством интегрирования совместной плотности распределения вероятностей величины ХО ..., Х по области 2.51 некОТОРые РАспяеделения величии о 269 Из (1) ясно, что (6) равно п~ )'г 1 Г(т+ и+ 1 — /) ыь!-2Д+2В-! (1 )В! ! д ,) Г(п+1 — 2!)Г( ) У У «/ ~,/ тле У) — независимые случайные величины, причем Уг имеет плотность распрелеления вероятностей р (у; и + 1 — 2у, т).
Предположим, что р нечетно, т. е. р = 2в+ 1. Тогда ,!И(2'" = !Ы П 22~,ь! ъ,2=! (8) 1 à —,(и+т)1 .Вл 2 1 1 да (1- )7 Г (2- л) Г ~ — !и) где л! — независкмые случайные величины и л! имеет плотность распределения вероятностей р(г; и+! — 21, т) для 1 = 1, ..., в, а л,+! имеет плотность р (г; (и + 1 — )2)(2, т/21.
Теорема 8.5.2. Случайная величина (У2, „распре! делени тан же, нии и ВВ УВ, где У,— независимые вели- 'В ° 2 =! чины и У, имеет плотность риспределения вероятностей р(у; и+1 — 21, 2п); случийния величина (У2,~!,ы,„ распределена тин же, кои и уа В Л2Е,+!, где Е! тт -2 =! (1=1, ..., з) — незивисбл2ые случайные величины и л! имеет плотность распределения вероятностей р (г; и+1 — 21, т), а не зивисящия от них случайная вели- 1 1 чина 2,+! имеет пло2пнасть р ~г; — (и+ 1 — )2), — т) . 8 8.3. Некоторые особые распределения. С л у ч а й 1. р = 1. Из результатов предшествующего параграфа следует, что плотность распределения вероятностей величины с!! „равна пяовеяка Общих линейных ГипОтез [ГЛ а 27О А[ругим способом величину щим образом: 1 и! л ! ! и, л „можно записать следую- (!о) 1+ (т[л) Рл, „' у'!й! Где и[! — один из элементов матрицы 6=Ийя, а Р-статистика.
Таким образом, 1 — и„,„л и,, т л л (! 1) '(л+т=' лл-2(! я) 1'(л — 1) 1'(т) (!2) и, таким образом, плотность распределения вероятностей случайной величины иа „, „равна 1'(л -[- т — 1) — [л-з)( г — )т-! :и ! — й 21'(л — 1) Т(гл) Из (12) следует, что (13) ! — уи,,„,„ = = Рат, а[в-[! (14) )сй,,„,„ Теорема 8.5.4.Распределение величины и'"'л)( л — 1 К вЂ” есть Р-риспределение с 2т и 2(п — 1) степенями 1 — У ил,ь,л л+1 — р свободы; распределение величины )!йв, „' Р есть Р-распределение с 2р и 2(п+1 — р) степенями свободы. Р-распределение хорошо известно. Те о р ем а 8.5.3.
Рислределение случайной величины — — ° — есть Р-распределение с т и л степенями сео! — и,, „л иьт л 1 — и, л+1 — р боди; риспределение случийной величины— и,,„' р есть Р-распределение с р и и +! — р степенями свободы. С л у ч а й 2. р = 2. Из теоремы 8.5.2 следует, что плотность распределения вероятностей случайной величины равна а.з1 НЕКОТОРЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЛИЧИН О 271 С л у ч а й 3. р = 3. Здесь У = Л',Ла, где совместная плотность распределения вероятностей 2, и и,а равна 1 г! + 1) "Ь!"+ ~)) '< я"-~!1 «1)"'- яг '" '!1 е)у " 113) Мы хотим найти вероятность того, что У ( и ! (1). Для етого мы проинтегрируем плотность по той области, которая г, Рис.
14. на рис. 14 заштрихована. Интеграл по части ! этой обйаптй равен и 1 (18) о о где функция У„(а, Ь)=В 1а, Ь) / хи-'<1 — х)~ ~г1м 0 была табулирована К. Пирсоном [8!. Интеграл по части П этой области равен $ Ийи, / ) ~(гм яа)г1л,дев, и 0 272 пРОВеРкА ОВших линРИных Гипотез (Г.П 3 Чтобы вычислить этот интеграл, разложим у(«!) в ряд по степеням «Р Тогда интеграл по части !!' втой области будет равен 1 Уст~ уи о 1-о 1 1 1 и-! и ! о 1 1 и-1 — (и-1 !" !) 1 (Ги 1)1( 1)! и р — — (!.1.3),, 2 (и-2) яюа И (т — 1 — !)! (и — 1 -1-!) / 2 ( 2) 2Ф 1-о и (19) где Г (л -1- т — 1) Г ~ — (и -1- т — 2)~ Г1 (2 С Г (л — 1) Г (т) Г ~ — (л — 2)~ Г ~ — т) ! 12 (19) 2 (И-1) 3 1 1 — и 1 с~", /*,Г У| —,и,— — '" / У(Г:",сь!.
я и (20) — (и-2) 1 Если т четно, то выражение (1 — «)' можно разложить в ряд по степеням «2, после чего интегрирование вы! 2 (и-3) полняется немедленно. Если же т нечетно, то (1 — «2)2 можно разложить в ряд по степеням « . Тогда подынтегральное выражение будет представлено в виде суммы степеней «2, умноженной на )! 1 — «2.
В качестве примера рассмотрим случай т =3 (случай т = 4 будет подробно рассмотрен позже). В этом случае интеграл по части 1! области, представленной на рис. 14. будет равен никотопыи васппздилиния величин и 273 где г( +2)г~ — ( +1)~ 1 Г(л — 1) Г1 — (л — 2)1Г(3) Г1 — 1 1 -1л-П и2 Первый член равен произведению С 1 на — л 2и Второй член равен произведению — С иа л ! 1 У'~- Р1 — ~1 1 (' Н и 1и и вгТ вЂ” и 11=агссоа т'й + (п (вес О + 1а О) ( и 6-0 — 1п ° (23) и -1л+11 1 и2 Третий член равен произведению С +1 иа У рТ вЂ” г 2У1 — г1' 1 (' г1« гт« = —— ггп 3 «У« ~и 3 ~ г)г г — «а 2 )Г1 — и 2 Риг — г' ~1 3 и)ги 3 г г(~~ Г:и) г(г— (И) сад= — 2 ~/ — ~ — / и и / 1 — и = 2 у — — — + агсв1п (2и — 1), (22) и 2 274 пРОВеРкА Овших линег(ных Гипотез (ГЧ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
