Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Докажем достаточность. Из следствия 7 приложения 1 мы знаем, что существует (певырожденпая) матрица г) та- 228 выБОРОчнля кОвлвилциосгиля млтпиил !Гл, т где Ас =(а,'З). Пусть сс„! =0",1', а=1, ..., г,; р=!... „Ас. тогда г,= ~~Р~биз'уз (я=1, ..., г,) образует множество из с г, линейных функций [уа), таких, что ') Г~ с7, = Х с ет, (6) где с, = 1 или — 1. Вообпсе суьхествует множество из гс линейных функций а = гс +...
+ гс, + 1, ..., г, +... + го (7) таких, что с с. "° +/с д. = ~, с,лз. к е ° ° ° есс с+с (8) Таким образом, м сч У, л,. = ~ с г'. с-с к=с (9) Поскольку квадратичная форма ~~~с)с является положительно с с определенной, все с,=1. Поэтому (8) эквивалентно (3). Записав (7) лля всех ! в виде г„= ~~'., Ь„,у, в=!, ..., М, (! О) 1 получаем из (2) и (9) Лс Л' ~~с', лз а 1 а с (11) ') Сумма порядков 1 и — 1 в (5) равна гн Таким образолс. прсобразование (!О) является ортогональным (т. е. 1 = В'1В = В'В).
Альтернативное утверждение леммы состоит в следующеас. Пусть ранг квадратной матрицы Ас порядка Ф)~М ТЕОРЕМА КОХРЕНА раасн г, (г = 1, ..., г)) и ~я~~ А, = Е Необходимое и достаточ- ! иое условие того, что существует ортогональная матрица в, такая, что А! = В!Вг, состоит в том, что , г! = М. ! ! Тсперь мы сформулируем теорему Кохрепа. Теорема 7.4,1. Предположим.
что вектор У„распределен М(0, Х) и не зависит от У (а ~ р). Пусть матрица (аг!)= Аи используемая при образовании матриц 9!= У, а,'ьУ„У', (1=1, ..., л!), (13) а,в ! имеет ранг П и ьг н Ха,=~ У,У,'. (14) г=! Тогда, длп того чтобы матрица !',г! (1 =1, ..., т) была распределена, кан Г +...+г г.г„', (16) гг+" Фг! гь! где й, распределен М(0, Х) и не зависит от ЕВ (айаг!), а (В! не зависит от (с) (1чь/), необходимо и достагпочн о, ч тобы (16) г,+ ...+г =М. Следствие 7.4.1. Если г!)~р, то д(! распределена по закону (У(м, г). Доказательство.
Если (!6) выполняется, то су!це- ствует такая ортогональная матрица В, определяемая по 230 ВЫБОРОч!!ля кОБАРнАцпОнпля млтРнцл 1ГЛ 1 формуле (12), что А! =В!В!. Так как матрица В ортогональ- на, то векторы ~.= У, б,У, (17) ;! =1 независимы и каждый из них распределен М(0, Х) (см.
теорему 3.3.1). Мы видим, что л! а! 1.. ° . Ра! ()1= ~~ п«зУ УР=ХХб» бтаУ.УР= Х ~1~!. (18) Необходимость (16) показывается так же, как и в лемме 7.4,!. Эта теорема полезна для обобщения результатов одномерного лисперсионпого анализа (см.
главу 8), В качестве примера на использование этой теоремы докажем, что произведение вектора срелнего значения выборки объема М па трапспонированный к нему вектор и выборочная ковариационная матрица пезависимй! и имеют соответственно вырожденное и невырожленное распрелеление Уишарта. Пусть УР .... Ул, независимы и одинаково распрелелены с законом распределения М(0, Х).
Используем матрицы (а!11) =(1(М) и (а!Я!) = [3 — (1/М)). Тогда О,= Ъ вЂ” „' У„У,1,=-МЛ", а, 1=! р,= (3,,— — ') У,У; = ~~ У.У.' — МУР'= а, ! —.1 а 1 =~~(У,— У)(У,— У). (20) Очевилпо, (14) выполнено. Ранг первой матрицы равен единице; ранг второй матрицы равен М вЂ” 1 (так как ранг суммы лвух матриц меньше или равен сумме рангов матриц, а ранг второй матрицы меньше М). Условия теоремы выполняются; слеловательно, (е! распределена как лГ, где вектор д распределен М(0, Х), а матрица ф распределена по закону )Р'(Х, М вЂ” 1) н не зависит от 41. 7.5! ОБОБП!ЕННАЯ ПИСПЕРСНЯ 7.5.
Обобщенная дисперсия 7.6.1. Определение обобщенной дисперсии. Одним пз многомерных аналогов дисперсии е' одномерного распределения является ковариационная матрица Х. Другим многомерным аналогом является скаляр !З'(, который называется обобщенной дисперсией многомерного распределения (Уилкс 1!); см. также Фриш 111). Аналогично обобщенная дисперсия, полученная по выборке, состоящей из векторов хн ..., 2АР равна 1$~ = — У (Մ— Х)(2„— 2)' а ! В некотором смысле каждая из этих характеристик является мерой разброса. Мы рассмотрим здесь эти характеристики, поскольку выборочная обобщенная дисперсия часто будет встречаться в критериях отношения правдоподобия для проверки гипотез.
Дадим геометрическую интерпретацию выборочной обобщенной дисперсии в терминах р точек в Ж-мерно» пространстве выборок. Пусть 2. =х, — х п У', = (2Р ..., 2м), (2) Ур АГ компонент вектора У, состоят из 1-х компонент 2Р ..., 2„. Поэтому ан =у,'.у, — квадрат длины 1-го вектора и а, =у!у!†произведение длин у,иуГ на косинус угла между нйми. Теперь рассмотрич изображенную на рис. !2 геометрическую фигуру, построенную по этим р векторам.
Прз р = 2 мы имеем параллелограмм, построенный на вектоРах У, и Уа; пРи Р = 3 полУчаетсЯ паРаллелепипед, построеннйй на векторах у,, у, и уа. При произвольном р параллелепипед будет фигурой в р-мерной гиперплоскостн, содержащей векторы УР ..., УР. Этот параллелепипед ограничен парами параллельных (р — !)-мерных гиперплоскостей, одна из которых содержит р — 1 векторов (из числа 232 выворочная ковлрихпионнхя матрипх 1гл, т «о ..., «), а другая проходит через второй конек оставшегося вектора. Определитель 1А~ =1(И вЂ” 1) 5/ =(Дà — 1)Р151 равен квадрату об.ьема етого параллелепипеда. Теорема 7.5.1. Пусть 1'=(«и .. „«), где «,— М.
мерный вектор. Тогда квадрат обяема р-мерного параллелепипеда, построенного на векторах «, ° ., «т равен ~ У'У ~ = )А~ =()ч' — 1)р 1о1, Рис. 12. Доказательство. Лемма верна для р=1, так как ~ У'е'~ =«,'«, есть квадрат длины уо Предположим, что лемма верна для р =)г — 1, и докажем ее справедливость для р=)г. Сначала заметим, что если два й-мериых параллелепипеда имеют в качестве оснований (и — 1)-мерные параллелепипеды с равными (и — 1)-мерными обьемами, а также равные высоты, то их )г-мерные объемы равны (так как й-мерный объем равен интегралу по ()ь — 1)-мерному объему).
Поскольку зто справедливо для прямоугольного параллелепипеда, )г-мерный обьем равен произведению высоты на (й — 1)-мерный обьем основания. Линейная комбинапия векторов «и ..., «,, скажем с,«, +... + с»,«» есть вектор, лежащий в основании параллелепипеда, а минимум длины вектора ч = «» — (с,«, + ... + с»,«»,) равен высоте параллелепипеда, построенного на векторах «и ..., «», Длина вектора ч будет минимальной при таких значениях с,, ..., с» н которые удовлетворяют условиям О = «ч = =«7«» — (с ««г+ ° ° + „««„,),,7 = 1, ° ° ° П вЂ” 1. 7.61 ОБОБЩЕННАЯ ППСПЕРСИЯ Пусть Ув » — — (уо ..., и» г), У» = (ун ..., фф 1 0...0 — с, 1 01...0 — са 00...1 — с» 00...01 Тогда )С) =1 и (У», ч) = У»С. Улы получаем 1У„'У,~=(С') ~ У,'У,(1С~ =1С'У,'У,С!= 1»-1, 1'» ~У»-1 0 =~ У» 1У» 1~я т.
(4) 1 Так как мы предположили, что ) У» 1У» ~ ~ есть квадрат (77 — 1)-мерного объема параллелепипеда, являющегося основанием, а т'т — квадрат высоты, то произведение является обьемом 77-мерного параллелепипеда. В силу принципа индукпии теорема доказана. В дальнейшем мы увидим, что многие многомерные статистики можно интерпретировать в терминах этих обьемов. Эти объемы являются аналогами расстояний, с которыми мы пчеем дело в частном случае, когда р = 1. Теперь мы рассмотрим геометрическую интерпретацию )А~ в терминах М точек в р-мерном пространстве.
Пусть, как ОПРЕДЕЛЕНО ВЫШЕ, ВН .... Ллг — Ф ТОЧЕК Р-МЕРНОГО ПРО- странства. Когда р = 1, )А~ = ~г»ы, т. е. сумме квадратов расстояний точек от начала координат. В общем случае 1А~ есть сумма об.ьемов всех параллелепипедов, которые получаются, если з качестве их образующих векторов выбрать р векторов из множества го ..., влР 234 ВЫБОРОЧНАЯ КОВАРИАЦИОННАЯ МАТРИНА !Гл.
г 12(ы вид, что Хзл.з, . Ха!за, З с~~~ зр-л, вар-З 2 '~~~ ~а 2 Х Лр-!, аа!» а ~ гр.г1. а Х " а2 р-1,а !А! = 1 ар»ар-1, а а . Ха'„ь, Х 2. ра р-1, а рл 'к» гр 1.»31» а Ъ х з р» 1» (б) р-12 р, по правилу разложения определителей (см. (24) приложения 11. Матрица А в (б) разбита на матрицы с р — 1 и ! столбцами. 11оследовательно приченяя это правило к столбцам, находич 1 .. . = 1 Х л! з!2 ~, (7) где сумма распространяется на все значения р иэ множества (ан ..., х ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
