Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Г!ОКаэатси Чтп ДЛЯ всех конкурирующих гипотез и = сп*, с > О, этот критерий является равномерно наиболее мощным. Локазать, что пе существует равномерно наиболее мощного критерия при конкурирующих гипотезах р= и! ! и и= и' ', если не выполняется и! ! = сп ' для некоторого (!! !з! ! ~з! с > О. 16. (й 6.6) Локазать, что функция !у! (Д), как утверждалось в подстрочном примечании к доказательству теоремы 6.6.4, является непрерывной. ГЛЛВЛ 7 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ КОВЛРИАЦИОННОЙ МАТРИПЫ И ВЫБОРОЧНОЙ ОБОБЩЕННОЙ ДИСПЕРСИИ 7.1.
Введение Выборочная ковариационная матрица $ = 11((Лг — 1)1,~~ (х„— х) (х. — х)' является оценкой ковариационной матрицы генеральной совокупности. В Я 4.2 была получена плотность распределения вероятностей матрицы А = (Л( — 1) $ в случае матрицы порядка 2 у( 2. В 3 7.2 этот результат будет обобшсн иа случай матрицы А любого порядка. Если Е = 7, то это распределение является в известном смысле обобщением )(а-распределения, Распределение матрицы А (или Ю), часто называемое распределением Уишарта, является основным распределением в многомерном статистическом анализе.
В Я 7.3 н 7.4 будут рассмотрены некоторые свойства распределения Уишарта. Обобшснная дисперсия определяется в 3 7.3 как, :$!. Эта величина является некоторой мерой разброса выборки. Ее распределение охарактеризовано ниже. 7.2. Распределение Уишарта В этом параграфе будет получено распределение матрицы А= ~ (Х,— Х)(Х, — Х)', где Х,— независимые одинаков 1 во распределенные случайные векторы с законом распределения Л((Р, Е).
Как было показано в й 3.3, матрица А распределена так же, как и А ° ~.с,л„где и *И вЂ” 1 и «1 У,— независимые одинаково распределенные случайные векторы с законом распределения И(0, Х). Покажем, что для положительно определенной матрицы А плотность распределения вероятностей равна 1 — (а-р-н 1 1А1 р ( — — зрХ сд) 21 рср ин1т12 ПГ~ 1( +1 ~2 1-1 Сначала выведем (1) для Х = с'.
Мы неолнократно используем здесь следующий частный случай теоремы 4.3.2. Если скалярные величины (с', независимы и У„распределена И (1 тпа, сс«), то ~л~~ Уа ~«~с (сати« ~Х тп«4тса) ~ (сати« распре а а 1 а / а л 4 делена, как ~ 1~„ где р — число компонент вектора тиар а 1 (р,— независимые олинаково распределенные случайные велйчнны с законом распределения И(О, са) и не завнсягцие от Х У,тп,<~ тп„чп,) . В частности, если су = 1, то ~Р~ (сев -1 — ~ (с',тп„<~ тп,тп„),?„0„тп, имеет)(т-расвределение с и — су степенями свободы, плотность которого равна 1 1 1 — 1«-41-1 -- с е (2) 2т Г[2 (л р) Далее, ~ У,стс, нормально распределена; если 2« = О, то М ~чР~ (с',тп, = О, а ковариационная матрица равна М ~~~„0„фс, ~ Уатпз = ~~ тп„тпзЬ а = ~~~~ тп тп . (3) «,а а Пусть а1,1 = (а,,+„а,,+т, ..., аср) и Аа — — (ауа), /, сс = с Ф, ..., р.
Тогда ац а1,1 Ац —— а(11 Ас+1.сот (4) 214 вывосочнля ковл илиионнля млтрицл (гл. т 21$ влспвядвлвнип тишлвтл 7.2! а<(> =лйл( ~»+ ) и Из частного случая теоремы 4.3.2 находим, что при условии ла = л, ам.<+>, „„ Р имеет у -распределение с и— л 1 — (р — 1) степенями свободы и не зависит от вектора а<п, условное распределение которого есть М(0, А,+,, „,). Отметим, что условное распределение зависит от л~, ((+ !) только через А,+и (+н т. е. плотность зтого распределения имеет вид Д((пп.(+>,, р, а<)>)А,+,,+,).
Таким образом, совместная плотность распределения вероятностей ап.т,..,р, (2<>>, аы.з...„р, а<2>, ..., аР ! р, а<р (>, а Равна /<(пп.2 „, Р,и(!))А22).../Р <(пР ! !.Р,п<Р,)(пРР)/Р(пРР) ! ! 2 (Р ) 2 (!'!'! "° Р л(( (+!...„р Х ! ! — л-1 — — а 2 2 РР р-! 22 Г(2 л) 2(Р <Р П 1 ! 2 ~ — (л — (Р— ())~ 2 (!) (+>, (+! ((> Х (2 )2 ~А ~2 Подставляя в (5) произведение ! Ф ом.(+>, ..., р = ап — ип>А<+>,(2<а<(> на определитель преобразования, равиъ>й единице, и упро>цая полученное выражение, получим плотность распределения — ! г ПУсть апче, — ап — а<м А(., >2, а(о.
й(ножество (Л(>, ..., л.<Р) НЕ ЗаВИСИт От (Лу! ..., Я1Р), /Ф1 (ВСЛЕдСтвие того, что Х = У) и, следовательно, при условии 2~,—— г1, (у чь(, а=1, ..., и) элементы множества (лп, ..., Е„) независимы и одинаково распределены с законом распределения >><(О, 1), который имеет вид М(Г22>,, р) при Г=0 и <у=1. Пусть ж,) =(Л~,, Е1+>„, .... Лр„). Тогда (/)' 2!6 ВыБОРОчнАЯ кОВАРНАииОннАЯ мАТРНИА [ГЛ 1 вероятностей ац, а<,1...., а . Показатель п[ги е в (5) будет р — ! р-1 ЪЧ 1 — — а р+ р анч+, + р а<!Ад,ь< !2<а<!3 ! ! ! ! р — ! -! — — арр+ 2 (аи — а<;[А<+1, 1,<а !!)+ ! 3 р- ! Р + р а<<,А<,1 <,а;1, = — — т ап — — — — зрА, (6) ! 3 ! ! Используя то, что (теорема 5 приложения 1) Значит, 3 — [р-<р-<Н-3 2 л!! !+1...
р р-1 — а-1 ч-в. аг д~ рр 1 ! 1 ! — <и-р — 1) — <р — 31 [А<2 аг рр 3 [А+3,1-33 < 2 — <1-и Хд ! "и! —.— [А[г'" ' ". ! ! 2 1 [А! ь!+31 (9) Степень и в знаменателе (5) равна — [(Р— 1) + (Р— 2) + ° ° 1 2 1[ — [(Р 1)Р/2[. Так как ! р — ! р . г(~ п).дг~.' [. (,— !![( — Пг~-;(и — !+!)~ ! ! ! 3 П ь П ап а<1 а<и А! „<з< [Ап[ находим (арр — — Арр) р — 1 р — 1 [Ап! а Па< 1 1, ...,Р=а РД У ! 1.
! ''4И[ [А[ (6) , ! '"' 1 13 !+' 217 РАСПРРДГЛРНИР УмнгАРТА тгй то плотность распределения вероятностей ап, ага... , арр равна (10) ~г) = лй саоися ь,! Частные производные равны (11) да! — = с,„сро даьь (12) даг, — =с,„с,+с„си, 1чь й. (1З) ! — !»- Р- П вЂ” — вР Л ~А!г е 20"'. -""П г~ — '(и+ — 1)) ! 1 Это совпадает с (!) при Е=у. Теперь выведем (1) для произвольной матрицы Е.
Пусть А = ~~~', Е„Е„где Я, — независимые одинаково распределена ! ные векторы с законом распределения М(0, Е) и А'= е \ = ~ д Я.", где Е,— независимые одинаково распределена ! ные векторы с законом распределения М(0, 7). Тогда А' имеет плотность (10). Допустим, что С вЂ” такая треугольная матрица (с0 —— О, г > Я, что СЕС'=! (теорема 4 приложее ния 1). Распределение САС=,~ ~(СЕ,)(СЕ„)' совпадает с и 1 распределением А*, поскольку распределение Сл„ совпадает с распределением Я,. Следовательно, плотность А получается посредством подстановки А* = САС' в (!О) и умножения на определитель етого преобразования.
Л е и и а 7.2.1. 7(усть симмеаричетсия матрица А' преобразована в симметрическую матрицу А посредством невырожденной треугольной матрицы С (с, =О, 1 Р /), аан что А*= САС'. Тогда определсопель этого р преобразования равен модулю (С(Р' Доказательство. Выполнено следуюшее преобразование: 21[) ВНБОРОчнАЯ кОВАРиАционнАЯ мАтРиЦА [гл. т Вылижем элементы матрицы А в линейном порадке: аи, апв ..., аце аю, .... а . В матрице частных производных да!) элемент — — расположен в а0-и строке и ат-м столбце. даь! Получим треугольную матрицу си 2сис,г ...
2сцс, с, ... с, 2 2 2 0 С!!С22 С!!Сгр С!2С22 С[РСге 0 0 С11СРР 0 С[РС Р 1Р РР 2Р (14) 0 0 ... 0 0 ... сг РР $ея полозгтапаеяаю!и определенных А и нулю в остальных Случаях. Ее определитель равен произведению диагональных элемеи- Р тов, т. е. П с~!у+' = ~ С[~ . Это и показывает лемму. / ! Теперь заменим А в (10) на САС'. Из СХС'=1 получаем 1 =~ СХС'~ = ( С~! В [[С'~ =[Х [[СС'~. Таким образом, ~ СС' ( = 1[ [2 ) и и[о[[) С~ = — 1/ 2! [ Х ! .
Далее Е = С (С) = (С'С) '. Поэтому зр САС' = зр АС'С = ар АХ ' и ~ САС'(= = ! С ! ! А ! ) С' ! = ! А ! ! С'С ) = ! А [/', Е !. Эти подстановки з (10) и умножение на определитель дают (1). Теорема Т.2.1. Предположим, что р-мерные векторы к[, ..., Ул (п)~ р) независимы и одинаково распределены с законом распределения !1[(О, Х). Тогда плотл ность распределения вероятностей А=~ ЯьУ, равна л 1 1 1 — [л- р - Н вЂ” зр Аг [А[ е (15) 2Т"в [Р-1»1[Х[2 "ТТГЕ(п+1 — 1)~ П 12 1-1 2.2! РАСПРЕДРЛЕНИЕ УИП1АРТА 219 С л е л с т в и е 7.2.1, Предположим, что р-мерные векторы ХР ..., Х, (М р) независимы и одинаково распределены с законом распределения М(р, Х). Тогда плотность распределения вероятностей н А =,,~~ (Х, — Х) (Х, — Х)' а ! даетсн формулой (15) при л =М вЂ” 1.
Обозначим плотность распределения вероятностей (1б) через ог(А ) Х, «), а распределение, которому соответствует эта плотность, — через Ю'(Х, и). Первый вы вол етого распределения ]У и ш а р т ]! ] ] был сделан с помощью геометрических преобразований, которые очень близки к привеленному здесь локазательству. Пусть (х!и ..., хг„)=ч, '— вектор в и-мерном пространстве. Диагональные элементы матрицы А являются квалратами длин этих векторов, аы —— ч,'чи а недиагональные элементы соответствуют длинам и углаи межлу векторами, так как г, = = а!г! ]/а;!а 2 есть косинус угла между ч, и ч .
Матрица А описывает длины и конфигурацию векторов. Элемент вероятности для У ч,'чп ч,ч„,...., ч',ч при данных ч!+Р ..., ч приближенно равен вероятности того, что ч, лежит в области, для которой 'Рга!! < ]!гч!ч! < 'Уг а!1 + д ~он, а„,, < ч,'ч,, < а... +да.. и ..., а, <чч,<и, +дане Первзя пара неравенств определяет сферический тор внутреннего радиуса ]!~пи, кажлая из других пар неравенств определяет область между двумя гиперплоскостями.
В этой области плотность распределения вероятностей 1 (2я) ' ехр( — -2 ч!ч!) является приближенно постоянной. Пересечение областей является сферическим тором в и†(р †!)-мерном пространстве 22е вывояочнля ковлвилционнля млтшнгл тгл т с (р — 1)-мерной областью пересечения. Объем области пересечения приближенно равен ч е( гт ан г(а, тчт ... с(а, ([А,+,,+, [ '. Квадрат радиуса сферического тора равен анч+т -т ! = аы — а!пАтчн т,таьч (см.
з 4.4.1). Поверхность его (или объем) равна произведению [л — (р — 1) — 1[-й степени радиуса на поверхность [л — (р — ()[-мерной сферы единичного радиуса. Поверхность сферы единичного радиуса равна т —.! -(е-тят ~ ! С[в — (р — 1)[ = 2к' / Г[ — [л — (р — 1)[~. Таким [2 обРазом, элемент веРоЯтности дла У'ч,'.ч,. ч,'ч, н .., ч,'ч равен 3 ' т чтчт — !л-~е- гй е ' йи з !е-ш-Н-г! и' ттап Маяте, ... ттлт 3 и тек...,л .. че а [Ат еь;+~ ! (йк) з й [ —, [л — (р — т)[ ~ (1б) Этот элемент вероятности для ч',чт ч',.ч,,, ..., ч,'ч предусматривает подстановку Ф утаи — — е(ац/(2 [тал). Это приводит к 1-му члену произведения в (5). Анализ, полностью параллельный геометрическому выводу Уишарта (и затем выводам Махаланобиса,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
