Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

Бозе и Р о я [1[ ) сделан Свердрупом [1 [ (н Ф о г о и [! [ для р = 3). М э й до у [1[ использовал др)той метод, основанный на распределении коэффициента корреляции (для е' =т), полученном Хотеллингом путем рассмотрения определенных частных коэффициентов корреляции. Хсу [3[ дал индуктивное доказательство, а Раш [![ предложил метод, основанный на использовании функциональных уравнений. Другой метод состоит в получении характеристической функции, а затеи плотности распределения вероятностей, т.

е. обратного преобразования Фурье от характеристической функции, как это сделано И н г е м о м [1[ и У и ш а р т о м и. Б а р т л е т т о м [2[. Крамер [2[ проверил, что распределение Уишарта имеет характеристическую функцию матрицы А своей характеристической функцией. т.э! некотош!г гвоиствл влсппзпелгння шпплптл 221 В заключение этого параграфа мы приведем совместное распрелеление выборочных дисперсий и ковариаций. Мы показали, что:!атрица М2' [для выборки объема М из совал купности М(р, л')[ распрелелена как ~~а Е„Х„, где Մ— нее ! зависимые олипшсово распрелелепные векторы с законом распределения М(0, с), п=М вЂ” 1, ММХ !=па' и МХ=Х, тле 8 = (М/л) 2.

Теорема 7.2.2. Предположим, что Хо ..., Хн (М)~ р + 1) — независимые одинаково распределенные случайные векторы с законом распределения М(р, Х). Тогда матрица 3=(!/и) ~~~~(Х,— Х)(Х, — Х)' имеет распредеа ление )й'[(!/и) и, п1, где и = М вЂ” 1 и Ж[(1/и) л', л[ — распределение Уишарта с ковариационной матрицей (1/и) Б и п степенями свободы. Докав атель ство. Ясно, что где (1/ /л)Մ— независимые одинаково распределенные векторы с законом распрелеления М[0, (1/л) В[. Поэтому теорема 7.2.2 следует непосредственно иэ теоремы 7.2.1.

Если л ( р, то матрица А= ~~~ Х,Х, не имеет плотности в ! распределения вероятностей. Тем не менее мы будем назы-. вать это распределение распределением Уишарта. 7.3. Некоторые свойства распределения Уншарта 7.3.1. Характеристическая функция. Характеристическая функция распределения Уишарта про!це всего может быть получена из распределения наблюдений. Предположим, что векторы Е!, ..., У„(л )~ р) независимы и одинаково распределены с плотностью ! г 1 — — — ехр ! — — х'Х вЂ” и (2я) г 131 г 22) ВИБОРОчнАЯ ковАРиАциОннАЯ мАтРицА [Гл. г Пусть А =,~~~~~ У,Я,. а ! Введем матрицу (и = (6! ) порядка (р Х )!). причем 6! — — В !.

Вследствие того, что ар ЕГО =,Я е!Д„д„! = зр ГЙЕ, характеристическая функция Ап, Аем ..., Арр, 2А,а, 2АИ, ... ..., 2Ар ! „равна и М ехр 11 зр (Аа))] = М ехр 1 ар ~.", У,У„а) а 1 и а, / и =Мехр (ар ~.", л,Ю,)=Мехр~( ~~'„~~2,82, . (3) а ! а ! Из леммы 2.6.1 следует, что и Ч и М ехр ~ 1 ~~Р~ й,а!)У,)=П М ехр (Ы,йй )=[М ехр(ЮЙл))и, (4) а ! а ! где л имеет плотность распределения вероятностей (1). Для действительной матрицы () существует невырожденная матрица В такая, что ВХ 'В=1, (3) В'ЙВ=В, (6) где  — действительная диагональная матрица (теорема 3 приложения 1). Если положить У = Ву, (7) то по лемме 2 6 2 МехР(Я'()В)=Мехр(1)"ВУ) = = Майди ехр(Иду,) = Мехр(И>!У!~). (3) / ! ! ! 1-й член в произведении есть Мехр(Ы!!У~)), где г' распределена !а((0, 1).

т. е, этот член есть характеристическая функция Ха-распределения с одной степенью свободы, ! а именно (1 — 2ИВ) а (это может быть легко доказано по- тз1 някотоэыв свойства эасппидиления вишвптв 223 средством разложения ехр(!й!!у!~) в степенной ряд и почвен- ного интегрирования). Таким образом, в ! ! М ехр(Са'ЙЯ) = 1й (1 — 2гйВ) г = [! — 2!О[ з. (9) ,! [с — 2Щ =~В 2!  — 2!ВВВ~=)В (~ ' — 2!9)В(— =[В [[Х ' — 2!!д[[В[= [В[г[Х ' 2!6[, (10) [В [[Х [ [В[= [в[ = 1 н [В[ = 1/[Х ![.

Комбинируя подученные выше результаты, получаем ! М ехр [! вр (А!))[ = [х-![э [Х-! — 210[я (11) Можно показать. что этот результат остается в силе, если только матрица б((в~~ — 2!9!в) положительно определена. В частности, это справедливо дпя любой действительной матрицы Й. Теорема 7.3.!. Если векторы У!, ..., У„независимы и одинаково распределены с законом распределения Я(0, Х), то характеристическая фуккиия величии Аы, ..., А 2Анэ ..., 2А,, где в (Аб)=А = ~~'„~ 2,2„, дается формулой (! 1).

Моменты элементов А можно получить или из характеристической функции, или из первоначального нормального распределения. Математическое ожидание А, равна МА„= М Х,7„г,. Х вц (1Ф а ! а 1 поскольку ! — 2! — диагональная матрица. Из (5) и (б) видно, что аж ! = М," г,.гмг„.Р,„+ М и'„Е,.„Е,.„Р„згп = а-~ «,а «фа = и(адае, + а;вал+ ана. ) + и(и — 1) а,тат —— = пасует + иа«вар + нанета (13) где моменты четвертого порядка берутся из $ 2.6.2. Таким обРазом, коваРиациЯ междУ АЧ и Ат Равна «4 (А,у — иац) (А ~ — иае ) = и (а,.аар-)- апа)в).

(14) Если 1= й и у'=С то получается дисперсия А,1 М (А,. — а, )а= и(ат +.анас ). (15) 7.3.2. Сумма матриц Уишарта. Предположим, что матрицы А; (1 = 1, 2) независимы и распределены соответственно по законам Ю'(Х, и,). Тогда матрица А, распрелеа( и, ° а лена, как ~~Р~ Е,Е,, а матрица А — как ~ л„л„, гле Е,— а «а, 1 независимые одинаково распределенные векторы с законом распрелеления )ч'(О. Х).

Поэтому матрица (16) А = А, + Ат распрелелена как ~~~', Е„Е,', гле и=и, + им Таким образом, ! матрица А распределена по закону Ж'(Х, и). Очевидно, сумма д независимых иатриц, каждая из которых распределена по закону Уишарта с ковариационпой матрицей Х, имеет распределение Уишарта с ковариационной матрицей Е, а число степеней свободы равно сумме степеней свободы слагаемых матриц. Теорема 7.3.2.

Если матрицы А, (1=1, ..., д) независимы и распределены соответственно по законам 224 ВыБОРОчнАя кОВЛРилнионнля млтРицл 1гл; т, Чтобы получить ковариации, нам нужна формула К(Х, и,), рла лГатрица А=У,А! ! 1 Г1?) 7,3.3. Одно линейное преобразование. Мы часто делаем преобразован не А = СВС'. (18) где С вЂ” невырождснная матрица порядка р )е, р, Если А распределена по закону Ж'(Х, л), то В будет распределена по закону )Р'(Ф, п), где Ф=С 'ХС (19) Доказывается это следующим образом. Пусть и А = ~~Р ~У,У„ (20) где У, — незавнсцмые одннаково распределенные векторы с законом распределения !!Г(0, Х). Тогда вектор Р,=С 'Я, распрелелен М(0, Ф). Олнако матрица и и В= ~", );Р„=С ' У В„Х„С =С 'АС (22) а 1 а ! распределена по закону Ф'(Ф, л).

) — ~, определитель пред (А) д (В) образования (! 8), равен ! ! 2 — 'и — щод С . (28) д(А) ~ (В, Ф, и) ~ В~ ~Х!Я д(В) ~ ж(А, Х, л) — 'Ги-р-П ! и |А/ (Ф! (21) 7.3.4. Частные распределения. Если патрнца А распределена по закону ер'(Х, и), то получнть частное распределснне пронзволы<ого множества элементов А, вообще говоря, трулно. Однако можно легко получить частные распределення некоторых множеств элементов.

Мы дадим некоторые нз ннх в следующих двух теоремах. 8 т. Лилерсеи ТЗ! НЕКОТОРЫЕ СВОПСТВЛ РЛСПРЕДЕаЗВНИЯ УИЦааРТЛ 225 226 ВЫЗОРОЧНЛЯ КОВЛРИЛЦЦОН!ГАЯ МАТРИЦЛ 1гл т (25) (27) сообразно с разбиением А и Х. Теорема 7,3,'3. 7!усн!ь А и Х разбиты на )7 и р — )7 строк и столбцов А, А ' Х Х, Х Если матрица А распределена по зинону ))г(Х, и), то матрица Ац распределена ио закону (Р'(Хц, п).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Матрица А распределена как ~Я'~ У„У„где л, — независимые олппаково распределенные а ! векторы с законом расчрелеления Ф(0, Х). Разобьем век- тоР л, на )7 и (Р— !7)-меРные гаолвекаоРы Тогда л,„— независимые олинаково распределенные векторы 11) с законом распределения )))(О, Хц), и матрица Ац распрел делена как У, Е!"л~,', которая имеет распределение )р'(Хц, и). а 1 Т е о р е и а 7.3.4. 77усть А и Х разбиты на рц р, ..., р строк и столбцов (р,+ ... +р„=р) А (. » ), А=( ° ..). !26! А„" Аев! Х,! * Хв, Если Хы — — 0 для ! Ф7' и матрица А распределена по закону )а'(Х, и), то матрицы Ац, А!м .. „А независимы и А распределена по занону )Р'(Х)р п).

Доказательство. 'Матрица А распределена как л Р ,"~~ У„У„гле ӄ— независимые векторы, каждый из которых а ! распределен !к'(О, Х). Пусть вектор У, разбит на подвекторы с!!едуюшим образом: таОРемА кОАРг пи 7.41 Так как Х!1 = О, то У!н не зависит от У~/!. Тогла а а Ап — — ~~~!Я, У~'! не зависит от А. =- ~~~~ У'„7!У~г! .

Остальная а ! а 1 часть теоремы 7.3.4 следует из теоремы 7.3.3. 7.4. Теорема Кохреиа Теорема К о х р е н а (1) оказывается полезной при локазательстве того, что опрелеленные «векторные квалратичные формы» распределены как суммы «квадратов векторов», Это статистическая трактовка алгебраической теоремы. Сначала мы в виде леммы приведем слелую7цее алгебраическое утверждение относительно скалярных величин.

Лемма 7.4.1. Пусть квадратичная форма Чг= ~~ а'„чу ум '=1, ..., (1) а, З ! имеет ранг П и ~.4=Ху. (2) ! ! а — ! Для того чтобы существовало ортогональное лревбразоеание, переводящее (у„( в (е„) и такое, что - l! + .. ! Г, , ! необходимо и лос таточп о, чтобы (3) кая, что 7 0 0 (У 0 Г 0 7) Ам 0 0 0 г,+ ... +7,„=М. (4) Д о к а з а т е л ь с т в о. Необхо.тимость условия очевилна, пото!!у что сумма рангов нс может быть меньше И, если выполняется (2), и не может быть больше М, если преобразование, переводящее ун ..., у в го ..., г невырожлено.

Характеристики

Список файлов книги