Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 37
Текст из файла (страница 37)
так как ~ )/а!! ~/а;г! ~ = Щ а„) ! г,~, (7) где ги — — 1. В 1-и члене произведения в правой части (б) положим аи/(2аи) = и;, тогда интеграл от этого члена по определению гамма-функнии (или в силу того, что аи/аи имеет ут-распределение с и степенями свободы) будет равен 1 1 аи1 а ан ехр 11 — — — ~ Г "'! !1ам —— ~ и' в "!2(в ж2'~~)н). (6) а 22 а2 а Так как каждый отдельный индекс, скажем а, встречается в множестве г, (1~ у) р — 1 раз, то определитель преобразования равен р 1 — 1р-1! 2=Да2, (5) 1-1 242 ВыпОРОчнля кОВАРил!лиОннля ылтРи1!А !Гл. т Следовательно, плотность распределения вероятностей вели- чины г)) равна (9) Теорема 7.6.1. Если случайные векторы Х), ..., Аи неэивисимы и одинаково распределены с законом распределения А[([л, [оийу) ), то плотность распределения вероятностей выборочных коэффициентов корреляции дается формулой (9), аде и =А[ — 1.
ЛИТЕРАТУРА й 72. А. Т. Лжеймс [Ц; И нгем [Ц; Кендалл [4), стр. ЗЗΠ— 335; Крамер [21; Махалапобис, Бозе и Рой [Ц; Моллон [!); Мзйлоу [Ц; Огана [3); Раш [Ц; Свердруп [Ц; Стейн [Ц; Уплкс [1О[, стр. 226 — 232; У и шар т [Ц, [31; Уишарт н Бартлстт [Ц, [2); Фог [Ц; Хсу [3); Эйткен [5). б 73. У и ш арт и Барт лет т [2).
0 74. Г. С. Лжей мс !Ц; Кохрен [Ц; Крейг [Ц; Мату- сита [1); Отава [Ц, [2); Огасавара и Такахаски [1); Эй тк си [5). й 75. Беннет [Ц; Каллбек !Ц; 7!еви [Ц; Никаист, Р а й с и Р и о р д а н [1); К. Р. Р а о ~ Ц; У и л к . [1); Ф р и ш [ ! 1; Хоуп [Ц; Шохат н Тамаркип [Ц. ЗАЛАЧИ 1. (ф 7.2) Преобразование перехода от прямоугольной системы координат к полярной записывается следую!пим образом: У, = ги 5!и Оь ут ю со5 О! 51п 05, Ув= юсов 0, со50зяп О, Уп — ! = ш соа О, сов О, ... сов 0„5 в!п 0„ У„= тисов О, соз О, ...
сов О„, сов 0„ 1 1 где — — к<01~ —,к()=1, ..., л 2) н к<0 2 ЗЛЛЛЧИ О ... О О сока», . О О соз О, О О ... соз О» ~ О ю зьз От ... ю Мп О» , 1 х х те 5!п 01 те х О юсов 01 О О ... ге соз О, ... соз 0„ х О О О соз 0~ соз Ок тле х означает ваемент, точное значение которого несущественно.) 2. (0 7.2) Доказать, что 1" -' г ~-- л) ! ( ) соь» '0М0 = — 2 — 2 Г~,! (а+!)~ [У к а з а к и е.
По»ожить соз'0 = и и испааьзовать определение В(р, 0).) 3. (9 7.2) Используя задачи 1 и 2, показать, по площадь поверхности н-мерной сферы единичного радиуса равна ! —,, л 2к -' С (л) .= —" — —. Г (-. н) 4, (й 7.2) Использун калачи ), 2 и 3, коказать, что осли плотность распределения вероятностей с»учайного вектора у' =- (уь ..., У„) равна у(у'у), то плотность распредоасння всрояпюстей случайнон 1 ! — » — г величины и =*у'у равна —, С(п)т'(и) н 2 б. (О 7.2) Используя задачу 4, показать, что есан величины у, независимы и олинаково распределены с законом распредсаения Ф (О, !), то (у =у'у имеет тт-распределение с л степенямн снобе,~ы.
(а) Доказать, что ыт=- ~ь'у-„. [Указание. Вычисаить послеч довательно ут„+>"„о (утк-[-)~,)+у~ н т. Л[ (б) )(оказать, что оирсяетпсаь »того преобразования равен ге» ' соз" »0, сока 'О,... соз 0„». [У казанке. Доказать, что 244 выногочмля ковлиилииош~ая млтгипх !гп т 6. (6 7.3) Найти карактерцстичсскую функцию А, исходя из В'(Х, и).[ Указание. Из ~ Ф(А !Х, н)с(А=1 следует, что 1 — (л-и-!) 1 !А! ехр(- — арФ 'А)АА =)Ф! ул елФ-НП ЦР~ (Н+ 1;)1 (2 тождественно относительно Ф.) Заметим, что из сравнения этого езультата с результатом 9 7.3.1 получается вывод распределения кварта. 7.
(6 7.6) Доказать, что если Х =-7, то совместная плотность распределения вероятйостей г;>.р, 6 7'=1, ..., р — 1 н гня ... ..„г... равна ! ! и (а-р-11 1'и 1~ —, (н — 1)~ ))7п, Х р-~ кФ-11!Я-тн П ! ~' (Н ! —.! 1' (о и) 1л Зт '=' -,.'р~ — '( — !)~ где )7п и =(г,, ). (У к а з а н н е.' =(г, — .
г )/ф! — г;„У~) — ) Испольэовать (9).) 8. (9 7.6) Доказать, что совместная плотность распределения вероятностеи г~з 3 р г13 4 р гтз т р . г, ..., г 8АДАЧН равна 1 1 Г( — [л — (р — 2)) ~ г —,, (л-(р+ц) — 1! — г)т з, ..., р) х (1 итГ[, [, (р 1))1 1 \ Г ~ — [л — (р — 3)[) (л- р) хЦ (1 — "(з.(, ...,р) Х ... Т ( 1 л Г ( — [л — (р — 2)! ~ г! ! ( Р з Г~ — (л !)~ Ч (и-4) к 1' ~- - (л — 2)~ р' 1(1) — з( з) .тг[! ( — !)~ [У к а з а н и е. Использовать индуктивно результат задачи 7.). 9. (ф 7.6) Доказать (ие используя задачу 8), что если И= А то г,р, ..., гр ьр являются независимыми.
[Указание. г;р —— а р/( ал тгарр). Доказать, что если (л,р, ..., л„р) фиксированы, то пары (а,р, а„), ... ,,р, ар ьр Д независимы, а также заметить, что из б 4.2.1 следует, что частное распределение г)р при фиксированном л,р не зависит от л„р.] 19. (й 7.6) Доказать ие используя задач 7 и 8), что если 2 =8 то множество г,р, ..., гр ьр не зависит от множества гП (,7= 1, ..., р — 1.
[Указание. В силу результатов й 3.2 а „,(а;„) не зависят от (а(, ). Показать, что арр, (а(р) и ал(( = 1, ..., р — !) пе зависят от (г . ), доказав, что а)) не зависят от (г,. ). См. задачу 36 главы 4.~ 11. (ф 7.6) Доказать утверждение задачи 8, используя задачи 9 и 10. !2. (ф 7,6) Обращая последовательность дейс)внй в задаче 8, вывести формулу (9) ф 7.6. !3. ($7.2) Используя (9) 8 7.6, получить распределение А. 14. (9 7.3.2) Доказать теорему 7.3.2, используя характеристические функции. 16.
(9 7.3.!) Найти первые два момента злементов матрицы А, дифференцирув характеристическую функцию (11). 246 ныБОРОч1!ля кОВЛРИЛ1!Ионная млтРи1!л !Г.ч. т 16. (6 7.4) Пусть х„— наблюленнс над сонокупностью, распре- лелсннойФ(й»„, х),» = 1, ..., )л1,гд廄— скаляр иь = ~»„х,7' !ч»т. Используя теорему 7.4.1, показать, что чих„х,— ЬЬ ~~»я и йо' а независимы. !7, (й 7.5) Найти М!А~ непосрслствсино нз %(Хл и). (Указание е. Из того, что ы(А! Х, и) !!АЙЂ = 1, слелует 1 1 !"-Р-'1 т 1 1 !А! скр~ — --зрХ 'А) А4 = Р(Р-1Ь! ! т "$Г т, Ру $Г,Г! Ц,г (2 1=1 как тожлество относительно и.
!6. (6 7.5) Рассмотрим довсрятслькую область лля р, опреле. ленную неравенством — (л — 1) р !л! (х — Р*)' з' (х — р*) < .. ~-. (,) Л! — р и 1т-Р гяе х и 3 получены но выборке объема )т' из совокуппости Ф(Р, Х). Найти математическое ожнлание объема доверительной области. !9. Пусть плотность распрсичлсння вероятностей случайного вектора Г букет т(у) =-К нри у'у~(р+2 и нуль и ос!альных 1 случаях. Доказать, что К=у~ —,р+1у)((р+2)с) 1 и показать, = (2 МУ= О, Ми" = — Х ГЛАВА 8 ПРОВЕРКА ОБЩИХ ЛИНЕЙНЫХ ГИПОТЕЗ.. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ВЛ. Введение В этой главе мы обобщим одномерную теорию наименьших квадратов (т. е.
«регрессионный анализ») н дпсперсионный анализ на случай векторных случайных величин. Алгебра в чногочерном случае в сущности такая же, как и в одномерном случае. Это приводит к теории распределений, аналогичной той, которая используется в одномерном случае, и к построению критериев, аналогичных гч-критериям.
Фактически, если задан критерий лля одномерного случая, то мы можем немедленно написать соответствующий критерий для многомерного случая. так как дисперсчонный анализ, основанный на модели неизменных эффектов, может быть получен из теории наименьших квадратов, то мы непосредственно построим теорию многомерного дисперсионного анализа. В многомерном случае имеется, однако, больше свободы в выборе критериев значимости. В одномерной теории наименьших квадратов мы рассматривали скалярные зависимые величины хн ..., хгг, взятые из генеральных совокупностей с математическими ожиданиями рл!... „ !зал!соответственно, где р — д-мерный вектор-строка, а каждый из векторов з.
является иавестным д-мерным век. тором-столбцом. В предположении, что дисперсии всех совокупностей равны мегкду собой, оценка компонент р, получающаяся по методу наименьших квадратов, равна 248 пРОВЯРкА Овгпих линейных гиплтРз лгл в Если генеральные совокупности являются нормально распределенныии, то этот вектор является оценкой наибольшего правдоподобия для р. Несмещенной оценкой полной дисперсии ат является (2) и в предположении нормальности генеральных совокупностей оценка наибольшего правдоподобия для аз равна аз= = (И вЂ” л/) гт//л/.
В иногоиернои случае х„является вектором, р заменяется иатрицей В, а аа — коварнационпой ллатрллцей Е. Оценки В и Е, приведенные в ф 7.2, являются матричными аналогацн (1) и (2). Чтобы проверить какую-нибудь гипотезу относительно В, скажем гипотезу Р = О, ллы используелл Р-критерий.
Величина, эквивалентная Р-отношению, будет 1 , + —— ат/аао, (3) где ат — оценка аа, построенная при условии, что справедо лиза нулевая гипотеза. Мы получим, что отношение правдоподобия для соответствующей многомерной гипотезы, скажем В =й, равно приведенной выше величине, если в последнем выражении дисперсии заменить на обобщенные дисперсии. Это дает общий метод для установления многомерного аналога любого Р-критерия.
Мы рассмотрим также другие аналоги Р-критерия. 8,2. Оценки параметров многомерной линейной регрессии 8.2.1. Оценки наибольшего правдоподобия. Предположилк что х,, .... х,д образуют лшожество, состоящее из /л/ наблюдений, х, — наблюдение над совокупностью /л/(Вл„, Е). Обычно векторы л, (д-ллерпые) известны, а ллатрицы Е и В порядков рХ гл и р)( т соответственно неизвестны. Будем считать, что /л/)~ р+ у и ранг матрицы г=(лп .... (1) 249 Оценки РлРлмгтРОВ а 11 равен ру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
