Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Ь Теперь запишем распределение случайной величлны У„а в виде Р (У < и) =7„(2 и — 1. — )+ Г (л+ 2) Г [- (л + 1)) 1'(л — 1) Г ! — л — 1) Ргл 12 1 — (л-11 лг 1. 1 + — [агсз1п (2и — 1) — — я~ » †< 2 1 < -»-1 2иг 'Г' 1 — и л (л — !) Таблица 8 дает значения и, для которых Р <У ( и) = = 0,05 и 0,01. Значения вычислены не точно (верны, возможно, лишь две значащие цифры).
Для больших значений л метод нахождения вероятностей, предложенный в 9 8.6, приводит к тем же результатам. Таблица 8 Значения и, для которых Р (Уь, л < и) =0,05 и 0,01 ЬМ 1М 4,09Х 10 6,6Х 10-4 0,00626 0,0979 В следующем параграфе будет показано, что для л(=4 1 (л + 2) (л+ 1) лг (л — 1) (л — 2) — г (л-г! З,4, л ~(Л)— 48 и'" Х < 1 8~й 12 6 8 — 1 Х вЂ” — — — + — — и — — и!пи -)- — и' — —, иг . (л — 2 л-1 л' л л+1 л+2 (26) 3 4 5 6 7 8 9 10 8,59Х ГО З,ЗО Х 10 0,0183 0,0447 0,0794 0,105 0,131 0,162 1 2„г " 1+)à — „ 1 з г л 1 (25) 3(л+ 1) С л у ч а и 4. р = 4.
Здесь (/ = л.1л.2, где совместная 2 2 плотность распределения случайных величин л.1 и лз равна л л Г (л + т — 1) Г (» + т — 3) Г (и — 1) Г (т) Г (л — 3) !' (т) Х Х лл-2(! л ) лл-4(! л ) (27) Чтобы напти вероятность того, что (/ Си, проинтегрируем вту плотность по топ области, которая заштрихована на рис. 15.
Интеграл по части / этой области равен /1 й(л — 1, т). Интеграл по части // равен 1 Уй/л, / / (ЕР лз) «гз «г1 = Рй т-1 1'л/т Х лл '(1 — л)" '«г = т-1 л-В+1 (т — !)1( — !)1 ~)/и-) ) ~Й 1! (т — 1 — 1)1(л — 3+1) ( л, / Х с ~1ъ Рй Х ал-2(1 — Л )т ф~— ю-1 — 1л-3+11 1 1 С ~ ( — 1)1( — 1)1" / ~а/1(т — 1 — 1)1(л — 3+/),/ Л1 1(! Л1) «гт= 1-О Уй т-1 1+/ — 1л-з+О 1 1 ~С (л1 — 1)1( — 1) (т — 1)! л 2 с,')', г ь/ «л 1! (т — ~ 1)!/1(т — 1 — /)1(п — 3-! 1),/ 1,/ о Ул (28) Г(л+т — !) Г(» ! „, 3) г( -!) Г(л 3)(Г(т)11 (28) вл) некотОРые Рлспледеления Величин и 275 276 пгопегкл овщих линейных гипотез (гл.
в Интегрирование, указанное в (28), может быть выполнено отдельно для любого данного л(. Функция распределения величины (! равна сумме !уй (и — 1, л)) и (28). Рис. !5. Рассмотрим частный случай «2=3. Интегрирование по «2 дает — (л -2) 1 2 «)г 1 („ — (и-з) ! 1 с ° 2 л — 3 1 ,/' «, (! — «,)2 ()(«1 — 2 Уй 1 )'й 1 — (и-1) ия +. 1 (1 — «,)2(!«,— 1 1 — (л -2) — (и-и (1 — р й)т л — 2 3 и — 1 1 — / (1 — «,)'(!», Уй х[ / — ' — 2 ~(й(+ / «(с)«1 Уй 1 '" " (1 Уи)з (1 У;,)41 2 тгл '(! Уй)з (' — (л-1) ! ( лУ;-~(1 у)., — ' —,")[. (за некотОР(лг РлспРелглгнии Величин' тг И7 з.з! где Г(п+2) Г(л) (Э1) 4Г (л — 1) 1'(л — 3) Таким образом, 3 ! — (и-(! + ~ — 1пи+ 4 1(и — и — З~ (32) Это можно записать следующим образом: (и+1)п(п — 1)2(п — 2)(л — 3) т,(и-з) ! 1 8Р~й 48 (л — 3 п — 2 12 6 8 2 ! з + — и — — ц!и и+ — ц' — — аз[.
(ЗЗ) (п — 1)! и — 1 л а+1 Рассмотрим также случай гп=4. Интегрирование по и в (28) дает —, (л-2! ! л 2 ( ~!) (((Е(+ — (и-з! ! ! 2 Фе а — 3 Уи — (и-! л — 1,/ л! ! Уй ! — и ~! Уи ! ! е )з,)е Уй (, ! Зц (1 — )! й)) Зц 2 х и — 2 + и — 1 ! ! (,. ! — "" -з !'ии.иу ) *,иГ,— /*',и,1— Уй йй Уй х[ Р [((' (и) =!уй(п — 1, ! аз ~ (1 — Уц) Г(а+ 2) Г(л) ')+ 4Г(. 1) Г(л — 3) — (и-и ! (1 Уй)(1 2ц 2 '" ' (1 )!"й)з 4 1 3(л — 2) 278 пРОВеРкА ОБщих линейп!ях Гипотез 1Гл.
а -4 1 ! 1 1 / — — ' — 3 / — '-'; 3 / ши — /,л,~ 1и Уи 1'и У'и 1 — -2 л — 3 с 4 5 ) 4(л — 2) 1 з'1 — (л — и + " 1 ~ — 1п 11/и — 3/11 — ЧУи)+ 2 (! — и) — 3 1 — л — — 1= — ! ' 3! ° 1/ -У9(~ — У ) —:"/), ии л ! У'и 2 где Г(и+3) Г( +1) = збг( — Вг( — 3) ' (зб) 8.6. Асимптотическое разложение распределения отношения правдоподобия 8.6.!. Общая теория аснмптотических разложений. В этом параграфе мы разработаем теорию распределения отношения, изучаемого в этой главе, при большом обьече выборки. Сначала мы рассмотрим асимптотическое разложе- Функция распределения величины (7 равна сумме (34) н 1 — (л — 1, 4), В а л ь д и Б р у к н е р (1) предложили метод нахождения распределения величины (/ для случая, когда или р, или и1, или оба этп числа четныс.
Эти распределения могут быть также получены посредством интегрирования плотностей, приведенных в Э 8.5,2 (прелположение о четности р или и1 приводит к тому, что величина 0 в этом случае оказывается У распределенной так же, как и Ц У1, причем плотность рас- 1 пределения вероятностей величин Уп ..., У, может быть разложена в степенной ряд). У илкс [6! получил в явном виле распределение (7 для р = 1, р =- 2, р = 3 прн т = 3; для р = 3 при т = 4, для р = 4 при т = 4. Формула Уилкса для р = 3 при т = 4 отличается от полученной нами и оказывается неверной.
Асимптотичгскос Р»вложении а.а! » » а у у Д Г [х» (1+ л) + 4»! 'МИ»в К Й-"," йг!»(1+л)+ ) »-1 т 1 где»А — константа (такая, что й!Ю'е=1) и ,~'„х» = ~, у »=! » ! (2) 1 Легко видеть, что л-и момент величины ).= Уа имеет Ра,а 1 1 вид (1) с л» = 2 М=ур !»= — ( — д+! — Ф), 1 2 = — ( — рт+ 1 —,/), а = в =. р. Здесь мы рассматриваем более общий случай, поскольку это наи потребуется в дальнеИшем. Если положить »И = — 21п В', то характеристическая функция величины рМ (О ~( р ( 1) будет рЩ=Ме ' =МУ'' ''= =К -2нр П«1' ПУ(л»(1 — 2тр)+с»! (4) П.„'»1 Пу(у)(1-2ир)+ч!) Здесь р — произвольная константа, которая будет определена позднее. Если а = К х» = у», Е» «('б», то (1) является й-м ') Во всех случаях, когда чы применяем этот результат, параметры х», !», уу н Чт предполагаются такими, что существует распределение с этими моментамн.
н не распределения с лу ча Ин ой величины, моменты к отороИ являются определенными функциями гамма-функций (Б о к с! 1!). Затем мы приченнч это разложение к случаю отношения правдоподобия для лпнеИных гипотез. Рассмотрим случайную величину 1»Р (0~(В' <1) с Ь-м моментом ') 2Е0 ПРОВЕРКА ОВШИХ ЛИНЕПНЫХ ГИПОТЕЗ !ГЛ 8 моментом произведения степеней величин с бэта-распределениями и тогда (1) выполняется для всех й, для которых существуют гамма-функции. В этом случае (4) имеет место для всех действительных значений 1. Здесь мы предположим, что (4) выполняется для всех действительных значений и в каждом случае, когда мы применяем этот результат, мы будем проверять, выполняется ли это предположение. Пусть Ф (1) = 1п ~ (1) = В (Т) — д' (0), (б) где В (С) = 2Юр [~~г, х ! п ха — ~чз„уг ! п у7) + + ]р~ ! п Г [рх„(1 — 2И) + ~ + с„]— — ~~р~!пГ[оуг (1 — 2И)+е + и ], ра =(1 — р) ха и е; = (1 — о)уп Из выражения для е(1) — Аг(0) получается Ф(0) = О, Это согласуется с тем, что константа К такова, что р(0) = 1.
Используем формулу разложения гамма- функции (Б ар не с [1] стр. 64), которая является асимптотической по х при фиксированном Ь: 1т 1п Г (х + й) = 1п '] Г2к+ ~х + Ь вЂ” — ) 1п х — х— 2) ы В„, (й) — ( — 1) — (-+ 1), + йо,+, (х), (6) г 1 где') йы„,(х)=0(х !"'+О) и В,(Ь) — полином Бернулли степени г и порядка единицы, определяемый следующим образом т).' ", =',~~ — ', в,(й). (7) г=о ') )1„„, (х) =0(х !оге11) означает, что ]хы+%ы+, (х) ! ограничен при !х]-ьоо.
') Это определение несколько отличается от опрелеления У н ттекера и Ватсона ([1], стр. 126), которые раскладывают в ряд ч(ел — 1)/(е — 1). Если В,(а) — этот второй тнп полиномов, то В, (а) = В, (а) — —, Ва, (Ь) = В',(а) + ( — 1)' Ы В„где „— г е число Бернулли и Вт,+г (Ь) = Вт +г (Ь).
АСИМПТОТИг!ГСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 1 1ервые три полннона таковы (В» (й) = ! ) ! В,(й)= Ь вЂ” т, 1 2' В, (й) = й' — Ь+ —, 1 В, (Ь) = Ьз — — Ь»+ — й. Полагая поочередно х = рх» (! — 2В). руЬ(Х Ж) . н Ь =3 +1», а +т), получаем Ф (!) = (,! — гг (О) — — 1п (1 — 2В) + У 2 -)-~ ег,(! — 2и) '-(-~~ 0(х»! гн)+ ~ 0(Р-аи !1), (9) г ! где У= 2Д',1,.— У', 1,— — , '( — Ь))(, ( !)+',~, В„,Р»+;,) ж, В„,(,+ч)) ! »г, = 7~ г 1!) г(г+1) ~.ыя (рх»)' Лй (рУ!) » 1 Я = — (а — Ь) !н 2я — — !п р+ 7 ~х»+ $» — 2 ) !и х»вЂ” 1 Гг — ~ (у + т! — ~) !н у .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
