Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Если теперь разложить этот определитель таким же образом, как и 1А(, то получим 1'ар »К ..., а = Х / зла,а, а, ! (8) где суммирование ведется по всем рр прннимающил! значения из множества (ан ...„а ). Суммируя (8) по всем различным л!ножествам (ан..., я ), получаем (6). ((я!а «!2 ~= О, если два или больше р равны между собой,) Таким обрззом, !А! есть сумма квадратов объемов всех параллелепи- 1А~= ~~.', (г!ая, ~. !6) По теореме 7.5.1 квадрат объема параллелепипеда, построенного на векторах я....., я,, равен 7л! огогпгяннли лнспГРспя Р !Х Х Х ~т»(а)~ 1 а (9) т.
е. вероятность того, что Х попадает внутрь вллипсоида хХ х=у„(а), (10) равна ! — а. Об.ьеи этого эллипсоида равен ! ! С(рПХР(уг (а)3' /'р где С (р) определена в задаче 3. 7.6.2. Распределение выборочной обоби(епиой дисперсии. Величина 1$! распределена так же, каи' и 141/(М вЂ” 1)», где А= ~~,' 2,Е„, а — ! (И) вектор У„не зависит от Ув (а чь 'р) и распределен М(0, Х), и =-М вЂ” 1.
Пусть Ю„= Сг„, (12) где С айййФИа так, что СХС' = ». Тогда )т', не зависит От 1»В (ц+ф И рацирвдглси М(0, )), а 1В( = !А!/!Х(, (1З) педов, построенных на всевозможных р векторах из совокупности з,. Если заменить и, на х,— х, то можно утверждать следующее. Теорема 7.5.2. Пусть 18) определен формулой (1), где хн ..., хы представлтот собой М векторов выборки. Тогда !Я~ пропорционален сумме квадратов обаемов всех параллелепипедов, образованных следуюи(ил! образом. В качестве образую!пик каждого параллелепипеда берутся всевозможные р векторов, одними концами которых являются р точек из числа х„..., х а другими концами — точка х.
Коэффициент пропорциональности равен 1/(М вЂ” 1)», Аналогом !Я( для генеральной совокупности является )Х~, которому также можно дать геометрическую интерпретацию. Из 2 З.З нам известно, что если Х распределен М(0, Х), то 255 ВЫБОРОЧНАЯ КОВАРИА!!ИОННАЯ МАТРИ11А !ГЛ. 1 где В = ~~~~ )(г.)(г. = ~ Сг.г,'С = САС'. (14) а ! Это следует из того, что 1С11Х11С) =1. Как и в ф 7.2, положим ви=(ь,,),,7, 5=в ..., Р, 51,> — (ь, „,, ь,,+,, ..., ь,,), -1 ь.
„... =ь — ьв, Ь>. Тогда )В( =Ьц.з, ..., РЬ2.2, ..., р ° ° ° Ьрр. (15) Как показано в ф 7.2, Ьц,з,. „р. Ь22.з... р, ..., Ьрр независимы и Ьц.!1.1, „„р имеет уз-распределение с и — (р — 1) степенями свободы. Таким образом, >В( распределен как 2 2 2 )(лlв-! ' ' Хе-р,1' Т е о р е и а 7.5.3.
Обобщенная дисперсия 15), полученная по выборке Х>, ..., Х, из совокупности Иф, Х), имеет такое оке распределение, как величина>Х>>(И вЂ” 1)Р, умноженная на произведение р независимых величин, 1-я из которых имеет у'-распределение с И вЂ” ! степенями свободы. Можно дать геометрическую интерпретацию этой теоремы. 11усть Г1 — — ((е'и, ..., (Р'1„) — вектор в и-мерном пространстве.
р векторов У>, ..., У независимы; каждая компонента вектора г'1 распределена И ((>, 1). 1В> есть квадрат обьема параллелепипеда, построенного на векторах $'1, ..., К . Пусть 6'1 — вектор из совокупности У>, ортогональный к Уье!... „ )' . Тогда квадРат объема паРаллслепипеда, построенного на векторах Г1. )'1+1, .... )'Р, равен произведению квадрата обьема параллелепипеда, построенного на векторах У>,.1,..., Ур, на (71()1 =ац.> 1,.„, р, т. е. иа квадрат длины У! (см. доказательство теоремы 7.5.1).
Отсюда следует, что 1В( =У!(1! ° 0202 ... г>рУР. теперь 01 ортогонален к 1>1+1, ..., 0; следовательно, условное рас- Р' пределение (l! является нормальным в и — (р — 1)-мерном пространстве и и — (р — г) координат распределены И((>, 1). т.й 237 ОВОВП1НННАЯ ЛИСПВРСИЯ Таким образом, У;17! имеет ут-распределение с л — (р — !) степенямн свободы (и не зависит от других (7). При р=! или 2 можно получить точное распределение )В(, при ббльшпх же значениях р получаются интегралы, которые не могут быть просто вычислены. Однако легко получить моменты 13), если воспользоваться тем, что )о) может быть записан в виде )Я! = (А!/(Лг — 1)", (16) а )А) в свою очередь — в виде (А! = !Х(!В! = !Х( г,'-'„,уз,,, тт, (17) и * 12 ! ,г1 (АП 2* й ! 1 1 ~-.(Дà — 1)~ Р Д г~ —,', (Аг — !)+ л~ 2АР )Х)1 ! 1 П Г [ — (дг — !)~ ! 1 (18) Гаким образом, М ) А) = ! Х ! П (Лг — !'), (19) 1-1 Р Г Р г ! ! я!! = ~ г г !! 1гг — г ( П г 1и — г-г г! — П г 1и — А~ .
1 ! ) 1 1-1 (20) где 1)()А!) — дисперсия (А) Для случая, когда р = 1 или р = 2, кожно привести распределение Ъ'= )А!/)Х!. При р=! Ъ' имеет ут-распределение с М вЂ” 1 степенями свободы. При р = 2 из (18) Так как Л-И момент величины, распределенной по аакону уа с т степенями свободы, раасн 2 Р ~ — лг + 711!! Р ~- л!), а момент произведения независимых величин равен произведению моментов этих величин, то 11-И момент (А) равен 238 ВЫГОРОчнАя КОВАРИА!!ИО1Н1Ая МАТРИ!!А [ГЛ.
7 находим момент Я/2 порядка величины У .Г~ —,. (Аг — 1+Я)~ Г~ —,', (Ф вЂ” 2+Я)~ МР™=2' (2!) Г ~ — (И вЂ” 1)~ Г ~ ' ( Ч 2)~ так как (18) выполняется для любого положительного числа й (это следует из теоремы 7.5.3 и интегрального представления гамма-функции). Теперь в 12! ) использусм формулу удвоения для гамма-функции 27"Г(а) Г~~+ — ) = ф~яГ(2 ). (22) Тогда получим следующее выражение для Я)2-го момента Ъ'1 х (м — 2+ я) = — Р(А 2) (23) Это я-й момент половины случайной величины, имеющей ут-распределение с 2М вЂ” 4 степенями свободы.
Наы потребуется следующая теорема. Теорема Карлеманз. Если последовательность чисел !р1) (1= 1, 2, ...) такова, что ряд с 1 (24) (Рьь ) >Ч вЂ” 3+ 2А А' (25) для соответствующего С() (>) и достаточно большого и, можно проверить, что моменты ус)г удовлетворяют условиям приведенной выше теоремы. Таким образом, 2 ус))с имеет уе-распределение с 2М вЂ” 4 степенями свободы.
расходится, то са.иое болыиее, одно распределение имеет в качестве своих жо.иентов последовательность (р1). Доказательство этой теоремы содержится, например, у Ш ока та и Та маркина (!). Используя критерий рас- ходиыостн Озозигемная диспнвсия г.а! Х о у л 1 1 1 предложил в качестве приближения для плотности распределен и я вероятностей ) ! !!Р величину ! — и !и- Р! — л (и- п! — ! сз у! е пл (26) где р 1' (р — 1)(р — 2))р 21 2йг (27) р — ! пр! (и) (и — р+ !) т!! (и) — 1+— и ='= 1/п У'2(п-р+!) / р (28) распределена асимптотически нормально с параметрамн (О, 1). Тогда величина у'п 1)~!(п) — 11 будет асимптотически нормальна с параметрамн (О, 2). Теперь применим теорему 4.2.5.
Имеем 6'(п) = ° ° °, Ь = ..., (29) 1Втпп=тв=~(и„.. „и )=и,и ...и, у=2г, — ~ =! д Дм! п.=а н !рзТщ =2р. Таким образом„величина (ЗО) айимптотически нормальна с параметрами:(О .2)я)„ т.6.3. Асимптотическое распределение выборочной обобиаеиной дисперсии. Пусть ~В~/п~=!г!(и) У (п)... ... У (и), где г! — независимые случайные величины н пЪ'!(п)=у~ „. Так как ('„! распределена так же, как и — ф <- ! 1 ! Ф'„, где Ж',— независимые одинаково распределенные а ! случайные величины с законом распределения Лl(О, 1), то пентральная предельная теорема (примененная к 1гф утверждает, что величина Теор е ма 7.5.4. Пусьнь Я вЂ” выборочная коаариамионная матрийа нарядна р Х р с и степенями свобода.
Тогда случайная величина 1 н()о)/)Х) — 1) асимптотически нормальна с мательатическим ожиданием нулв и дислерсией 2р. 7.6, Распределение множества коэффициемтов корреляции в случае диагональной ковариационной матрицы совокупности В $ 4.2.1 мы нашли распределение выборочного коэффициента корреляции для случая, когда соответствующий коэффициент корреляции совокупности равен нулю. Здесь мы найдем плотность распределения вероятностей множества гьр 1 чь у, ь, 1 = 1, ....
р для случая, когда р, = О, 1 -.р ~. Мы начнем с распределения матрицы А при условии, что матрица Х диагоиалытя, т. е. распределена )е'((аи3, ), л). и ь)' Плотность распределения А равна 1 — ьл-р-!) 1 аьь! евр — лр — р (р-1) — л р 2! я Ца!. Ц Ц ь! ! 1 1 поскольку ац 0 О 0 а„ ... 0 = Цои. 1~1= (2) 0 0 ...ар Сделаем преобразование а, =.
))/аьь 1)~а г,, аи — — ан (3) (4) Определитель этого преобразования равен произведению определителя преобразования (4) на определитель преобразования (3) при фиксированном аи. Определитель преобразования (3) является определителем диагональной матрицы Р(Р— 1)/2-го поРЯдка с диагональными элементами Р'аь! Уса р 240 выгорочнля ковлрнлционнля матрица 1гл. г 2.6! случАЙ лилГОнхльнОЙ кОВАРНАиионнои мАтРины 241 Если подставить выражения для а!7 из (3) и (4) в тв(А)(анй!1), н) и результат умножить на (5), то получится следуюшая совместная плотность распределения вероятностей (ан) и (г!1): 2 1л-Р-11 Г ! Ъч аи ~ !31аи Ггадг!7~ ехр — —,, 7~— 2 л Д а;2! Д Г~ —,(и+1 — Г)~ 1=1 1=1 1 1л - р - Н 1г!! (- )( П'Ь " '-'1 1=! — л-1 2 ! аи1 а1, ехр ( — —, 2 аи) Хп (б) ! 1 — л —,, л 2' а!',.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
