Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1. Теория равновесных систем. Термодинамика (1185126), страница 17
Текст из файла (страница 17)
и.), то с точки зрения дела безразлично, в какой форме это будет сделано, в категорической (как это любят делать математики) или в завуалированной и требующей дополнительных разъяснений. Ведь помимо всем нам известных законов сохранения в физике есть еще и общий исходящий из требований логики (если, конечно, она не «женская») закон сохранения идей исходных положений, и если какое-нибудь научное направление, отображающее определенный круг явлений природы, основывается на конкретных вложенных в него исходных положениях, то «незаметно» протащить хотя бы часть из них просто нельзя: можно обмануть людей, но не природу. Предпринималось много попыток вывести И начало из более общих представлений.
Еще в прошлом веке упоминавшийся нами Ренкин потратт!л много сил, чтобы из ! начала и своих представлений о природе теплового движения получить (11). В дальнейшем предпринимались попытки микроскопического подхода к зто- 1 му вопросу (речь идет пока о равновесной теории и квазистатических переходах), но их действительная стоимость, пожалуй, эквивалентна стоимости попыток микроскопического объяснения, что такое температура. И не случайно поэтому в 51 а качестве одного из основных признаков термо- ,ф динамических систем мы поставили их свойство удовлетворять всем трем началам термодинамики.
Первая группа таких «литературных» выражений 1! начала восходит к формулировке Вильяма Рис. 23. Цикл вечного двигателя Томсона (он же лорд Кельвин, %. Т1тошзоп, 1851): невозможно посюроитнь периодически дейсгпвуюитую .пашину, когпорал совершала бы радашу за счет охлаждения некоторого источника шелла. Эта формулировка означает, что в нашем распоряжении имеется только олин термастат, с которым рассматриваемая система может находиться в тепловом контакте, совершая, например, переход из состояния 1 в 2, как это показано на рис.
23 (система типа газа). Все процессы предполаптются, конечно, квазистатическими. Чтобы получился цикл ненулевой площади (т. е, чтобы система действительно работала, и т."тЖ ~ 0), из состояния 2 надо вернуться в состояние 1 уже не по изотерме д = сопят, но так как с другими системами наше рабочее тело в контакт не вступает, то зта замыкающая линия может быть только адиабатой, вдоль которой 6() = О. Если бы зто было возможно хотя бы в каком-нибудь частном случае, то чы получили бы машину, которая работала бы на нас, черпая энергию от одного 54 Глава 1. Аксиоматике макроскапичвскай термодинамики термостата (так сказать, «выкачивала» бы из него энергию).
Подобный двигатель был назван Вильгельмом Оствальдом (ъУ. Р. Озгтта!6, 1851) вечным двигателем и рода. Формулировка Томсона запрещает их существование (как 1 начало запрещает вечные двигатели 1 рода, черпающие энергию ниоткуда).
Так как подобных двигателей никогда никто не создавал и не наблюдал, то формулировка Томсона приобретает характер обобщения экспериментальных данных. С точки зрения формулировки Клаузиуса !865 г. она является ее непосредственным следствием: энтропия, сохраняющаяся вдоль линии бЯ = О, как однозначная функция термодинамического состояния не может дважды пересечь одну и ту же изотерму, иначе было бы У5С3» = В Ьбд = д(б(д, (гз, йг) — Я(В, К, 2тГ)) = 0 и изотерма д Ф 0 совпала бы с адиабатой. Это свойство изотерм и адиабат позволило нам использовать их в качестве координатной сетки при построении диаграмм в ВЯ-переменных (см.
Рис. 20-22). Обратное рассуждение несколько слолснее: из утверждения, что адиабаты (т. е. линии, вдоль которых бД = 0) пересекают каждую изотерму только по одному разу, необходимо показать, что интеграл дифференци-. ального уравнения бг;т = 0 является однозначной функцией термодинамического состояния (т. е. уровни этой функции составляют семейство непересекающихся друг с другом кривых), Доказательство этого положения предоставляется читателю. Вторая группа формулировок связана с ис- 4 пользованием уже двух термостатов: «Тепла не может само па себе перейти ат тела мелт2з«< 0 нее нагретого к ймее нагретому» (Клаузиус„ 1850).
Выражение «само по себе» потребовало 3 сразу же уточнения, которое сделал Томсонь з,((51((~ 0( невозможна перевести тепло ат йиее холод-. ц б =0 1пгт'=О(!) ного тела к ймее нагретому без компенсации $$1(11 т (т.е. не изменив при этом самого рабочего тела лг212 > О бг2= 0 и окружающих его систем). Остается, правдзь еше договориться, как связать степень нагретости тела с его температурой, что мы сделаем не« !т сколько позже, определив понятие абсолютной температуры. И опять, формулировка предста- Рмс 24.
Цикл, совершаемый системой, имеющей контакты с двумя термоствтвмм вляется как обобщение огРомного числа на к не производящей рабаты блюдений нвд термодинамическими система« ми: действительно, никто и никогда не наблюдал указанного в этих формулировках явления (в отличие от обратных). Итак, два термостате с температурами В~ и Вз (рис. 24, в качестве модели рабочего тела опять выбран газ), а значит, два отрезка изотерм 1 — 2 и 3 — 4, замыкающие же точки 2-3 и 1-4 линии — адиабаты, бег = О.
Придадим теперь конкретный математический смысл (как бы «материализуем») выражению без компенсации». Оно означает, что д б)4' = зз!»' = О, т.е. система за цикл перекачивает из термостата дз в В, (причем В, > дз) энергию 25912 — з39м > О, не изменяя своего состояния и не требуя, чтобы над ней производилась работа.
Это могло бы случиться, если адиабаты 2-.3 и ! — 4 пересекались'бы, как это изображено на рис. 24, что сразу привело бы к выводу о неоднозначности энтропии и рассуждениям, фактически повторяющим те, которые мы только что проводили (если же адиабаты не пересекаются, то ЬЗР ( О, и цикл, перекачивающий энергию из Вз в В~ будет представлять обычный тепловой насос„функционирующий только то. гда, когда внешние системы производят над нашим газом положительную работу. а следовательно, и изменяют свое состояние).
94. Начала термодонамоко Ограничимся приведенными двумя, так сказать, «базовыми» историческими формулировками П начала и не будем разбирать различных их вариантов. Остановимся только еще а~- Я, на одной (и то, довольно коротко), уже послеклаузиевской, формулировке П начала, данной греческим математиком Константином Каратеодори (С, Сатат(теодоту, 1909) и считающейся многими авторами наиболее совершенной: вблизи каждого термодиномического состояния всегда есть Я состояния, перейти в которые с помощью адиаба- 1 тического квазистатического яроцесса невозможно Ят (так называемый принцип адиабатической недостижимости Каратеодори). Итак, полагается, что 1 в пространстве, точки которого фиксируют равновесные состояния термодинамической аисте Рис.25.
Поверхности ааяьбьтячески мы (например, (д, а„аг) при Я = сопят), авиа- лостижиных состояний батически достижимые состояния (естественно, только с помощью квазистатического процесса бЯ = О) образуют непересекающиеся множества. Если изобразить каждое из них в виде поверхности в трехмерном пространстве (рис. 25), то адиабатически достижимые состояния образуют множество таких поверхностей, непересекающихся друг с другом и являющихся решением дифференциального уравнения й„т = 0 с разными значениями сохраняющегося на каждой поверхности интеграла этого уравнения Я(В, оп аг) = солж (это соотношение представляет уравнение адиабаты в переменных (У,х), где х = (он аз)) Нетрудно видеть, что приведенная Формулировка сводится к утверждению существования интегрирующего множителя у дифференциальной формы (1) лля б1в: бЯ = д(Ю, х, гтт) бб.
(1!'н) С формальной точки зрения дифференциальная форма (Г) представляет так называемую пфаффову форму бт'„г = Р(х, у, л,...) дх + О(х, у, с,...) ду + ж(х, у, г,...) дг +.... Если она определяется только двумя переменными, например х и у, то ин~е~рирующий множитель у нее существует всегда, и в принципе Каратеодори нет аксиоматического утверждения (см. задачу 3).
Для трех (и тем более при еще большем числе) переменных дело меняется кардинально: существование интегрдруюшего множителя возможно не при любых функциях Р, О и й„а лишь при выполнении определенных достаточно жестких накладываемых на ннх условий (см. более подробно задачу 5). Именно поэтому, поясняя формулировку принципа адиабатической недостижимости на рис. 25, мы нарисовали адиабатические поверхности Я(д,а„аг) = сопзт в трехмерном пространстве. Поэтому и «вывод» П начала на плоскости состояний (т.е. для случая, когда термодинамическое состояние характеризуется только двумя переменными, например (б, т') илн (р, е)), предпринимаемый иногда в руководствах облегченного типа, не составляет проблемы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
