Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 36
Текст из файла (страница 36)
При К вЂ” сс главный максимум в точке х=О беспредельно возрастает, а побочными максимумами можно пренебречь. Записав кратко соотношение (А.8) в виде Обратим внимание на то, что 6-функцию можно интерпретировать как обобщение символа Кронекера (единичной матрицы) / 0 для 1Ф7г, 1 для )=й па случай непрерывных индексов 1, й, если записать ее в виде 0 для х Фх„, 6(х; — хе) = с оо для х;=хм (А.
12) Это соотношение является аналогом следующего свойства символа Кронекера: Хб,м) =6. (А.!4) Учитывая эту аналогию, можно записать соотношения (А.11)— (А.14) единым образом: 1. 6(1, й)= для дискретных 1, н, (А.!5) ( 6(х; — хе) для непрерывных 1, й. 2. ~я~б(1, и)1(й)=1(1), Для случая непрерывных аргументов у функции 6(1, й) и )(й) суммирование в (А.15) нужно понимать как интегрирование. Интегрирование по непрерывному аргументу у произведения двух функций можно интерпретировать как обобщение операции свертывания матричного (тензорного) индекса у двух матриц (тензоров), а 6-функцию (А.12) — как обобщение единичной матрицы (тензора) на случай непрерывных индексов 1, й.
Дельта-функция тесно связана с единичной ступенчатой функцией 1 для х)0, введенной О. Хевисайдом при разработке операционного (символического)метода вычисления электромагнитных колебаний в Рис. 56. проводниках. !98 Два разных значения непрерывной переменной х (1-е и й-е значения) играют роль индексов в (А.12). Второе соотношение в (А.1) можно в более общем виде записать так: ) 6 (х; — хе) 1 (х ) йхе = 1 (х,.). (А.13) и.
еиищия гаиш Рассмотрим общий метод решения дифференциальных уравнений типа Е Ч" (г) = ~ (г), (Б.1) где д д д дг 7 =а,+а, — +а,— +а,— +а„—,,+ '(Б. 2) — некоторый линейный дифференциальный оператор, а ~(г)— известная функция. Решение уравнения (Б.1) имеет вид: Ч' (г) = Ф (г) + Е-' ~ (г) Здесь Ф(г) — общее решение однородного уравнения ЕФ(г) =О, (Б.4) 1 (г) = ) 1(г') б (г — г') г(г" и учтя, что оператор Ь ' действует только на переменные г, получим вместо (Б.З): Чг(г) = Ф (г) + ) 6 (г, г') ~ (г') г((г', (Б.б) где 6(г, г')= Е 'Ь(г — г').
(Б.б) Функцию (Б.б) называют функцией Грина рассматриваемогодифференциального уравнения. Она удовлетворяет уравнению Е6(г, г') =б(г — г'), (Б.7) которое получается умножением (Б.б) на оператор Е. Найдем удобное интегральное представление для функции Грина. Для этого подставим в (Б.б) и (Б.7) выражение (А.22) и учтем, что действие оператора Е ' на показательную функцию можно записать следующим образом: м~ -го Е-г егь (г-г') а + гага„+ гага„+ гага, + агг (И„)'+.
Отсюда получаем; 1 аг (г-гог ага 6 (г, г') (йа)т,) аг+1ага г+ гагат-(- газгг + ° ° (Б.8) а дополнительное слагаемое †частн решение неоднородного уравнения, записанное символически с помощью обратного оператора Е '. Сделав' подстановку Учитывая свойства собственных функций (13.5) и (!3.7) ЕЧ"„(г) = Е„Ч„(г), ~я~', Ч'„(г) Ч"„' (г') = 6 (г — г') и действуя на правую и левую части оператором Е, легко проверить справедливость равенства (Б.9).
Выполним интегрирование в формуле (Б.8) для частного случая оператора Š— йо+ й. (Б.10) После интегрирования по направлениям вектора к приходим к выражению: м ~ г-с ~ ,,) — ~ е и й 4л' ! г — г' 1,> ь) — аз (Б.11) Правила интегрирования около особых точек й = ~ й, мы зададим путем небольшого 'смещения точки й, в верхнюю комплексную полуплоскость, т. е. путем замены й, на я,+1е, где з ) О.
Как будет видно ниже, получаемое решение описывает расходящиеся сферические волны. После этого легко вычислить интеграл в формуле (Б. 11) методом теории вычетов. Дополнив интегрирование по действительной оси интегрированием по дуге бесконечно большого радиуса, мы приходим к замкнутому контуру С интегрирования на комплексной плоскости (рис. 58).
Согласно теории вычетов имеем: ем~г-~-1 м! г-г'! м ! г-гп . Йсй=ф '... й~й =2т Вез —, А = Р с ыг-и ~ 2п1 11ш ~ й (па1ц| г-г'1 й ы ьо — а 201 Знаменатель в подыитегральном выражении может в некоторых точках равняться нулю.' Поэтому для однозначного вычисления интеграла необходимо задать правило интегрирования около таких особых точек. Эти правила интегрирования однозначно вытекают из граничных условий для исходного дифференциального уравнения, что будет показано ниже на конкретном примере. Интегральное представление (Б.8) является частным случаем следующего разложения функции Грина по любой полной ортонормированной системе собственных функций оператора Е: о (г г,) з~~» Ч'„(г) Ч'л(гЧ (Б.9) Ф и и Окончательно получаем следующее явное выражение для функции Грина: Ейй''г г ' 6 (г, г') = —, . (Б.!2) Полученная функция Грина приводит к решению в виде супер- -к„-и о Рис.
88 я д позиции сферических волн, расходящихся от каждой точки пространства, где г(г') ~ О. При этом функция ~ играет роль плотности источника расходящихся волн. Если бы мы сместили точку йй в нижнюю комплексную полу- плоскость, т. е. заменили йй на й,— гз, то получили бы другую функцию Грина: и-мй ~ г-гп 4 (Б.13) В этом случае решением неоднородного уравнения (Б.1) была бы суперпозиция сходящихся волн. Частным случаем оператора (Б.10) является оператор Лапласа (й,— О), для которого 6 (г, г') =— 1 4п1г — г ! Подстановка (Б.14) в (Б.5) приводит к хорошо известному ре- шейию в виде суперпозиции кулоновых потенциалов от непре- рывно распределенного источника.
В. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ Вычислим собственные значения квадрата момента количества движения 2й и его проекции 1„исходя из перестановочных соот- ношений йй (гй 1х1- = (Ы„. (В.1) операторов )а и в единицах Й; Обозначим через 1гп> общий собственный вектор ,г„где и — собственное значение оператора 2, .(, ~ пг> = Ьл ) лг >. (В. 2) Заметим прежде всего, что число т ограничено сверху и снизу.
Это следует из того факта, что разность дй /й ~2+ гй 202 является оператором положительной величины и для соответствующего собственного значения можно записать соотношение: 3' — у, ') О. Отсюда (В.З) Введем операторы (В.4) и рассмотрим их действие на вектор 1т>. Из соотношений (В.1) можно получить коммутатор (В.5) и равенство (В.б) Действуя коммутатором (В.5) на вектор !т> и учитывая (В.2), получим: У, Хь ) т> = хл (п1 -~ 1) У~ ) т>. (В.7) Это означает, что вектор Х„) т> с точностью до нормировочной постоянной совпадает с собственным вектором оператора /„ которому соответствует собственное значение /,=Ь(тЪ 1).
Следовательно, значения и образуют последовательность чисел, отличающихся на единицу. Обозначив через 1 максимальное значение числа и, получим: Оператор Х~ (или уу ) преобразует собственный вектор ) т> в собственный вектор с более высоким (или более низким) значением числа т: l„!т>=!т+1>а, (В.9) у' (и>=) т — 1> р. (В.10) си+1),)+ )т> =а, Си — 1)У )т> Коэффициенты а, 5 имеют смысл матричных элементов (В.11) (В 12) 203 причем матричные элементы другого вида от операторов 7+,,7 равны нулю. При )=т равенство (В.9) имеет вид: (В.13) так как по определению не существует состояний с т=)+1.
Действуя на (В.13) оператором У и учитывая (В.б), получим; (В.14) Отсюда после подстановки 2,' — пп'-!', У, — $! приходим к равенству (В.15) Значит, собственные значения оператора квадрата момента равны: (В.16) Этот же результат можно получить из равенства (В.10), если обозначить через — 1 минимальное значение числа т и рассмотреть равенство при т= — 1. Итак, собственные значения проекции Х, в единицах Ь равны: (В.17) т=), ! — 1, Поскольку разность 21 между наибольшим и наименьшим значениями должна быть целым числом, квантовое число 1 может принимать только целые или полуцелые значения. Найдем теперь общее выражение для матричных элементов <т' ! У„! т> и <т' ! Уэ ! т>.
для этого вычислим диагональный матричный элемент равенства (В.б), учитывая соотношение <т !Х ! т+ 1> = <т+ 1 (У+ !п1>', (В.18) которое является следствием самосопряженности операторов 7„,,7„ и определения (В.4): <т!Х !т+1><т+1(У !т>=(<т+1)У (т>!'= =и (! ()+1) — п1' — т)=Й'(!+т+1)(! — т). (В.19) Отсюда следует (с точностью до произвольного множителя ед); <и+ 1 ~У ) и> = <гл ! У ! т+ 1> = Й г' (1 + т+ 1) (1' — т) (В.20) Выбирая значение фазы 6=-0 у матричного элемента (В.11), получаем из (В.4) и (В.20): <т+1~1„~и>= <и!Х ~т+1>= — $' (1+т+1)(1' — п0, (В.21) <и+ 1 ~ Уэ ( гл> = — <и ~ Х„! т+ 1 > = — ю' —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
