Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 35
Текст из файла (страница 35)
О 26). Задачи к главе 7 7.1. Получить общее выражение дифференциального сечения рассеяния иеполяризованных тождественных Частпц со спином з=!/2 через амплитуду рассеяния 1(В), вычисленную без учета тождественности частиц. Решение. Рассеяние происходит равновероятно в любом состоянии с полным спинам 5 и проекцией 5,. В синглетном состоянии (5=0) координатная часть волновой функции должна быть симметричной относительно перестановки частиц, что соответствует амплитуде рассеяния 7,,(о) =7(о)+7( — О).
В триплетном состоянии (5=1) амплитуда рассеяния антисим- метрична и не зависит от 5,: 7,,(о) =1(О)-7( —.О). егсредняя по различным спнновым состояниям, получаем: „— — — ) 7 (0) + 1 (и — О) ~ + — ( 7 (О) — 7 (я — О) Г- 7.2. Определить приближенно знергию основного состояния атома гелия, аппроксимируя волновую функцию в виде произведения двух водородоподобиых функций с некоторым эффективным зарядом ядра лева. Величину леэь подобрать из условия максимальной близости среднего значении энергии с к истинному значению Ее.
Решение. Записав волновую функцию Чг(1, 2) =Ч',(1) Ч',(2) в виде (35.7) с дополнительной заменой 2 — 2, э, вычислим среднее значение энергии: Е= ~ Ч'*(1, 2) ЙЧг(1, 2)г(Р,Ме= = ) Ч" (1, 2) ~ — — (Лт+ Ле) — — — — + — 1 Ч'(1, 2) г(1~, с(1гт. Интегралы от членов Л, и Ь, можно свести к интегралам от 1 1 — и †, принимая во внимание одночастичные уравнения Шреэт гэ дингера: (; г г') ~а4п1Ф ~ — — Ьг — ) Чге (1) = — Е,'эбЕлЧг, (1); 1= 1, 2. 2т, ' гг Интеграл от члена е'7г„задается формулами (35.9) — (35.11) после замены 2- 2,44. В результате получаем следующее выражение для Е как функции от Еейо.' Е = 2 (Е 44 — 2#Я Фй+ з 2 ьь) Усреднение гамильтониана по любому состоянию, не совпадающему с истинным основным состоянием, приводит к значению Е '> Е, (см.
задачу 2.5). Значит, наиболее близкое к Е, значение Е находится из условия минимальности среднего значения энергии как функции 2, . Минимальное значение Е„„„= — 2 (2 — — ) Ел — — — 5,7Елж Е, й 27 осуществляется при Я оо — — Я вЂ” = —. Оно отличается всего на э44' щ Гй Зо/о от экспериментального значения энергии (35.13). Заметим, что функции тз з(г (1, 2) = — 4~ е ~ йй 1 '+ '1~ в 1 "в 27 в которой е., о — — —,, является наилучшим приближением из всех функций, учитывающих эффект самосогласованного поля и зависящих только от суммы (г,+г,). 7.3.
Вычислить магнитную восприимчивость Х грамм-атома парагелив, использун волновую функцию из задачи 7.2. Решен ие. Магнитная восприимчивость грамм-атома получается умножением величины (39.13) на число Авогадро А7л: етул —, —, езйгл —, 7= — (г'+г') = — — г'.
бгп,ез ' Зт,сз Среднее значение г' для водорода вычислено в задаче 2.6. Чтобы получить аналогичное значение для гелия, нужно лишь сделать замену гз. гв/Лэоь.. Этот результат хорошо согласуется с экспериментальным значе- нием магнитной восприимчивости уо" и>= — 1,90 10- . 7.4. Указать нормальный терм атома с электронной конфагурацней (оо1з в незаполненной оболочке. Решение. По правилу Хунда нормальный терм имеетмаксимальное значение спина, т. е.
является, в данном случае трип- 193 летом. Кроме того, полный орбитальный момент Е должен иметь максимальное возможное значение. По правилу сложения моментов два б-электрона могут находиться в состояниях с = 4, 3, 2, 1, О. При 1 = 4 координатная функция симметрична, поэтому она запрещена принципом Паули для триплетных состояний (симметричная спиновая функция). Максимальное возможное значение Е, совместимое с принципом Паули, равно 3.
Оболочка с двумя г(-электронами заполнена менее чем наполовину, поэтому для полного момента имеем".7 = Š— Я = 2. Значит, нормальным термом атома является эЕ,. Рассмотренный случай имеет место, например, у титана, циркония, гафния (Е= 22, 40, 72). 7.6. Определить закон взаимодействия двух атомов () Я) на больших расстояниях )с, когда атомы находятся в нормальных состояниях с с =0 (вандер-ваальсово притяжение). Решение. Энергия взаимодействия атомов может быть получена как поправка к полной энергии двух изолированных атомов Е~" методом теории возмущений. На больших расстояниях оператор взаимодействия принимает вид: б,б, З (б,й) (б,й) )7з )(6 где д, и де — днпольные моменты атомов.
В первом порядке теории возмущений изменение энергии' Еп =1'=0 из-за исчезновения средних значений дг=д,=О. Согласно формуле (23.16) поправка второго порядка Е<э1 к основному состоянию отрицательна и квадратична по недиагональным матричным элементам возмущения (г. Отсюда получаем: (7 (Е) = Еп' = — у при )7 — оо, где а — некоторая положительная константа. Указанной энергии взаимодействия соответствуют силы притяжения Ван-дер-Ваальса д() бм Е= — — = —.
д)7 )ст 7.6. Определить внергию диссоциации молекулы дейтерия Оэ по внергии лиссоциации и энергии нулевых колебаний молекулы Нэ (см. 37.16). Решение. Электронная энергия обоих молекул одинакова, поэтому различие имеется только в энергии нулевых колебаний из-за разных приведенных масс в соответствии с формулами т При таком способе вычисления мы не учитываем обменных эффектов и энергию валентиой связи (ср.
4 37), которые экспоненциально малы иэ больших расстояниях и ие могут быть записаны в виде разложения по степе- 1 ням —. )7 ' 194 (37.14), (37.15). Ядра молекулы 1), в два раза тяжелее ядер молекулы водорода, откуда для энергии диссоциации получаем: хх=(4,73 — 0,27ф 2) эв=4,34 зв. 7.7. В результате перехода зэР— ь зэк у атома натрия излучаетсв дублет с длинами волн Л=5896 и 5890А. Используя формулу аномального эффекта Зеемаиа (39.7), вычислить величину магнитяого поля, при котором яимняя компонента расщепленного уровня зРз~з сливается с верхней компонентой Расщепленного УРовнЯ вРмв. Ответ: трв1 ' Здесь ЛХ=6А — величина расндепления дублета.
ЛИТЕРАТУРА 1. А. С. Ла вы доз. Квантовая механика. М., Физматгиз, 1963. 2. Л. Д. Л а нда у, Е. М.. Лифшиц. Квантовая механика. М., Физматгиз, 1963. 3. Г. Б ете, Квантовая механика. М., «Мир», 1965. 4. Г. Бете. Э. Соли нте р. Квантовая механика атомов с одним в двумя электронами.
М., Физматгиз, 1960. 5. В. Н. Кондратьев. Структура атомов н молекул. М., Физматгиз, !959. 6. П. Г о и б а ш. Проблема многих частиц в квантовой механп .с М., ИЛ, 1952. Приложение д. дкльтд еипсции В современной теоретической физике широко используется 6-функция (дельта-функция), которая была введена П. Дираком в 1926 г. Ее можно определить с помощью равенств: 0 для хне О, 1. 6(х) = ~ оо для х=О.
2. ) 6(х)1(х)йх=1(0), (А.1) где 1(х) — произвольная функция, непрерывная в точке х=О. Из равенств (А.1) вытекают следующие свойства 6-функции: 6 (х) =6( — х), (А.2) 6 (д ( )) ~ч~~~ (»»и) (А.З) л Дельта-функция принадлежит к классу обобщенных функций, которые можно рассматривать как предельный случай некоторых непрерывных функций, зависящих от вспомогательного параметра.
Простейший пример предельного перехода можно получить с помощью функции 6(х, а) =— (А.5) При сс- 0 график функции (А.5) сжимается возле точки х=О и становится похожим на бесконечно узкий выброс с бесконечно большим максимумом (рис. 54). Площадь под графиком, совпадающая с интегралом от функции (А.5), равна единице при любых и, что обеспечивает выполнение условий (А.1) в пределе при а — 0: 6 (х) = Ип1 6 (х, а). а ь (А.б) Аналогичным примером является соотношение 6 (х) = !пп 6 (х, А) = Иш —,. ь!и» А» яА» (А.
7) 196 Здесь х„— простые корни уравнения 1'(х) =О. Если Г (х) = ах (а †произвольн константа), то 6(ах) = —. 6 (») (а( (А.4) "г 4 аз~ О З~ Рис. 55. Рис. 54. При А — со график функции 6(х, А) сжимается около точки х=О, причем главный максимум становится все более высоким и узким (рис. 55). С помощью функции б(х, а) или 6(х, А) удобно проводить все вычисления, используя методы математического анализа. Затем предельным переходом при а — О или А — со мы получим такой же результат, какой дает вычисление с использованием б-функции.
Дельта-функция может быть введена также с помощью несобственного интеграла к )1щ — ~ е""сй=б(х). ! и „2,) -к (А.8) Вспомогательной гладкой функцией в этом случае является осциллирующая функция к 2л З лх (А. 9) -к 1 ежись 6 (х) 2л Ф Ф (А А О) получим удобное представление 6-функции как интеграла Фурье. При этом нужно считать, что фурье-компонента 6-функции является постоянной величиной, не зависящей от волнового числа й. 197 график которой показан на рисунке 56.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
