Серова Ф.Г., Янкина А.А. Сборник задач по термодинамике (1185092), страница 13
Текст из файла (страница 13)
124. т!ж 17,8ОА. 125. а) Я, ж 3 ° 1Оз дж; б) От =2,2 ° !Оз дж; в) т!=26,895. 126. а) Т,=440,4'К; б) Я=3,25 ° 10' дж; в) т! = — ж0,025. А Я 128. У ка з ание. Внутренняя энергия калорически не идеального газа выражается функцией 17(Т) = = ~ Сг (Т) дТ, при изотермических процессах эта функция не изменяется. 129. — '= — ж 4,9, А» 39 А З 130. Решение. Пусть Я, — количество теплоты, полученной рабочим телом при изохорическом процессе 2 — «3 (рис. 14). Тогда Я1 =Ск(Т, — Т,). 95 Количество теплоты, отдаваемой при втором изохорическом процессе 4 в 1, определяется аналогично: Яе —— С„(Т, — Т,). Подставляя ф и Яе в фор мулу для к п д будем иметь: т1 = 1 — — = тег Я~ т, — т, т, — т, Рис. 14.
Для дальнейшего преобразования следует восаднабаты для идеального пользоваться уравнением газа в переменных Т и $': или Т,=Те" ' ТМ, '=ТК ' (= — = ) а = — , у = †). Соответственно для темпера- Р' ' С„)' туры Т, будем иметь: Т,= Т,ет '. Окончательно к. п. д. цикла Отто будет выражен только через в и у: 1 т1 ет 1З1. ц = 1 — [ ', (1 — — ) + С (1 — — „, ) ~ Х (1 — 1) -1- С (1 —, )~, где е = — ' — сте- пень сжатия, р= — — степень последующего увелиРе Рг чепия давления. 132.
т1т=0,4, т1к=0,6. 1ЗЗ. Решение. Изобразим цикл на диаграмме р, У (рис. 15). По определению к. п. д. равен т1=1 — —, 0т <й ' где Я, =Ср(Те Тт) Яе Ср(Т4 Т,) Используя уравнения процессов с идеальным газом, выразим все температуры Т, через температуру То Уравнения адиабат в переменных Т и р 1 — т Тр ' = сопя), записанные для процессов !-~2 и 3-+ 4, определяют температуры Рис. !5.
т-! 1 Тз = 7)б , 7з —— Тзб Учитывая уравнение изобарнческого процесса 2- 3 т, т, Рг Рз легко получить соотношения: тз Рз ! !1 Т = — Т =Т1 — б т и 7~=7~ —. з=! а= ь ° К, Подставляя значения Т, в выражения Я, и ф, а затем в формулу к. п. д., найдем ! т!= !в ! —— Ь где 134. Р е ш е н и е. Изобразим цикл на диаграмме р, У (рис. !6). К. п.
д. Рис. !б. 97 зак. 708т машины равен Ч=1 — —, где 92 Я, = КТ,!п — '+ Сг (Т, — Т,), У, Ое= !(Т,!п — '+ Сг(Т, — Те). У, Подставив Я, и Яе в выРажение длЯ Ч и пРеобРазо вав его„ найдем т, — т, г1 (У') т, — т, Ч = т, Сравнивая выражения (1) и (2), заключаем, что т, — т, < т, — т, т, т. е. Ч (Ч,. Отличие к п. д. рассматриваемого цикла от к. п.д.
цикла Карно тем меньше, чем меньше величина ио сравнению с единицей. Этого можно достичь увеличением — . 1'1 У, ' рт 135. т1=1— «е" (р — 1! «(ь — 1) ср ~ 136 Ч=1 8 1 («=С ) ° У 137. т( — 1 арт — 1 е' '!(8-1)+«8(р-1)! 98 140. Решение. Пользуясь уравнением состояния для идеального газа, найдем )л, = ч — ж 1,09 мз. юг, Р~ В состоянии, изображенном точкой 2 (см. рис. !4), объем К, = — ж 0,182 м'. Температура в конце е адиабатического сжатия оказывается равной Тз — — Т,ет ' ж 764'К. Давление найдем из соотношения рз=р,ет ж 1,245 10 н)мз. В состоянии, изображенном точкой 3 !рис. 14), объем 3 —— 1'з О, 182 м; величина давления определяется из условия рз = рзХ вЂ” 1,992 10з н(мз Температура Тз удовлетворяет уравнению рз) з = тлтТз поэтому Аналогичные расчеты, проведенные для состояния, изображенного точкой 4, дают Ул = У~ ж 1,09 мз, Тл = Тзе' т ж 597 К рл=рзе т= 1,62 10з н/мз.
К. п. д. рассматриваемого цикла определим по формуле: 0=1 — —,= ! — — 4=05!2. ! ! ет 141. р, 3,284 ° 10зн(лР, Тзж$376'К, У =0,083мз р,=рз, Т,ж 1675,2'К, !',=0,166 м'. рл = 2,673 10 и!мл, Тз ж В!В,! К, !'4 — — )ло Ч ж 0,$67.
142. а) ц ж О, 102; б) Яз = 290 кдж; в) Я, ж 323 кдж. 143. Я= Чпт Т ' Т вЂ” Т 144 9=138 3 ° !Ог дж. 145. 14„8 кг. 146. Решение. Изобразим цикл Карно на диаграмме р, о (рнс. 17). Для насыщенного пара р = = р(Т), поэтому изотерма будет одновременно и изобарой. Пусть при изотермнческом расширении на участке 1 — 2 в пар перешло количество жидкости массой гл = = 1 кг, тогда поглощенное тепло равно Я~ = Лт, где Л вЂ” удельная теплота испарения. При адиабатическом расширении 2 — 8 температура и давление уменьшаются соответственно на ЫТ и ор. При изотерми ческом сжатии на участке 3 — 4 холодильнику отдается тепло Яь При адиабатическом сжатии 4 — ! температура и давление повышаются вновь до значенийТир. Работа за цикл изображается площадью фигуры 1, 2, 3, 4.
С точностью до величины высшего порядка малости относительно др при вычислении этой площади фигуру 1, 2, 3, 4 можно заменить прямоугольником 1, 2, Б, б, площадь которого численно равна произведению (оз — о,)др, где (о, — о,) — разность удельных объемов пара и жидкости. Применяя к данному циклу теорему Карно, получим: А йТ т или (и, — о~! ыр дт х = г Отсюда дл х вТ Т (о~ — иб Рос. !Л Полученное соотношение называют уравнением Клапейрона в Клаузиуса. ии г 147.
— = — —, где Р ат т а ь г — скрытая теплота об. разования единицы по- В верхности пленки при изотермическом процессе. 148. д'=д+Т вЂ”, Лл' лт где д — изотермический тепловой эффект химической реакции, идущей в элементе, в расчете на единицу заряда. 149 д*=йго — ЖхТ'= Рис. !8. = 0,929 дж/к, Я = Т вЂ” „. = — В, Т + 2КТ' = 0,05 д ж/к. 150. Решение. Предположим, что две адиабаты а и Ь пересекаются в точке С (рис.
18). Так как нак. лон изотермы меньше наклона адиабаты, то всегда существует изотерма, пересекающая указанные адиабаты, например, в точках А и В. Круговой процесс А — «В-«С-«А представляет цикл, при котором система получает от нагревателя количество теплоты Я лишь в процессе А-«В. Работа А, совершаемая системой за цикл, численно равна площади фигуры АВС и положительна. Согласно первому закону термодинамики А = Я, т. е. тепло, полученное от нагревателя, полностью преобразуется в работу. Такой результат противоречит второму началу термодинамики в формулировке Томсона.
Следовательно, адиабаты не могут пересекаться. 152. Р е ш е н и е. Рассмотрим обратимый цикл Карно с водой в качестве рабочего вещества. Пусть температура нагревателя Т~ = 283' К, а темпера- Рис. Га !О! тура холодильника Тз = 277' К = 4' С. Для цикла (рнс. 19) 1аО О или 2 4 1 з Согласно первому началу термодинамики ЬЯ = С 6Т + ~~ Л~, где Для нзотермнческого процесса 3 -+4 при 4' С, когда а = О, получаем: 4 Но что противоречит второму началу.
Следовательно, температура 4'С недостижима для воды при охлаждении ее с помощью адиабатического расширения. 154. Решение. Пусть максимальная температура системы при получении ею теплоты в некотором цикле равна Т . „а минимальная температура прн отдаче тепла Т „,. К.
п. д. этого цикла А О,— О, Ч= Ф Я! Здесь Я, = ~ 6Я = ~ ~ бЯ ! — количество теплоты, получаемой системой за цикл: индекс «Р» указывает, что интеграл берется по тем участкам цикла, для которых И~ ) О. Яз= ~ ~ ОЯ!= — ~ ЬЯ вЂ” количество к 102 теплоты, отдаваемой рабочим телом за цикл: индекс «К» указывает, что интеграл берется по тем участкам, для которых б1,а ( О.
Согласно неравенству Клаузнуса к откуда !ая! (Г !М! т -) т К Но ~~за) ~м~ т = т,аа т„„„ к поэтому сса 'м'а (~ —, Тмакс Тмаи откуда — )— яа тма» Оа Гм асс т. е. Я! Яа Тмакс Тмин Ч= ( =Ч ° Яа ~ макс Таким образом, цикл Карно обладает наибольшим к. п. д. по сравнению со всеми другими циклами в тех же температурных пределах. !бб. Р е ш е н и е. Прн свободном адиабатическом расширении газ не совершает работы, при этом тепло также не поглощается. Следовательно, температура остается постоянной: Т, = Ть Работа, совершаемая газом прн переходе 2-~-3 1рис.
20), равна У~ Ам= ~ Рз")'= — Рэга — "'1) температура при этом меняется от Т, до Т„следова- тельно, газ охлаждается (Тз ( Т| = 'Тз). 103 Количество теплоты, полученной газом, выразится соотношениями: 923 = — Ср (Т2 ТЗ), Он=С„(т, — т,). Согласно первому началу термодинамики для цикла имеет место равенство Я=А, т. е. — Ср (тг — Тз) + Рис. 20. + СУ(т! — ТЗ) = Рг( Р 2 )' !) Из уравнения состояния р)! = йт для моля идеального газа имеем: р,(уг — 'р'!)=Тг(т, — т,). Подставляя это выражение в предыдущее, получаем: С,— С =)с.
156. Решение. По первому началу термодинамики работа за цикл равна ЬА=Ь1;1', + ЬЯ" ,— ЬЯ„ где ЬЯ', =С г)т, ь(); =~®) +~1( =~®) + ~~®) (т, ба,= С,3(т; при написании равенств мы учли, что изменение объема для процесса Ь -! с и а-~ с одно и то же (рис.21).
Из рисунка видно, что значит, аЬ=(дТ) ат, ас=(дт) г(т, ЬА= 2 (дт) ( т) (ггт)2 Таким образом, откуда С вЂ” С Рис. 21. 157. Решение. Рассмотрим обратимый цикл Кар. но, в котором рабочим телом является газ, подчиняющийся уравнению Ван-дер-Ваальса (рис. 22). С помощью выражения ЬЯ вЂ” С„с)Т + Т ( — ) с)У (С,,— сопз1) и уравнения Ван-дер-Ваальса РТ' а Р= у — ь у'' где Т' — температура по газовой шкале, определим количество тепла Яь полученного телом от нагревателя по нзотерме А-ьВ '1сП*=0): в = ТсТ*1 )и л Количество тепла Щ, отданного телом холодильнику при изотерми- Рис. 22. ческом сжатии, равно рс — ь с~ — кт ы р — ь Отношение этих величин р — ь !и с Е, т, '" г.„-ь т,' т',' р — ь т', в (Прн получении последнего соотношения мы использовали уравнение адиабаты газа Ван-дер-Ваальса.) Согласно второму началу термодинамики для обратимого цикла т, т, где Т вЂ” термодинамическая температура.
Таким образом, получаем: т, Т1 — тм т,' т. е. если газовые и термодинамические шкалы совместить в некоторой произвольной точке, где Т~ = Т„ то газовая шкала совпадет с абсолютной термодннамической шкалой температур т =то 158. Решение. По теореме Карно для бесконечно малого цикла имеем: ьА нт т где — 3 Ыл НУ Щ = АУ + р НУ = а й 7 + — сй/ = — <Лт. ьА ни ни дт Тогда — = —. Отсюда — = 4 —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
