Серова Ф.Г., Янкина А.А. Сборник задач по термодинамике (1185092), страница 15
Текст из файла (страница 15)
225 А"=баск [т, + Т,— (2 ь~т1тз) (Т, +Т;! т) 226. Свободная энергия т (т, У) = (С, — З,) т — тС, 1п т — Кт 1п У + и„ термодинамическнй потенциал Ф = (Ср — Яз) Т вЂ” тсг 1пт — Лт 1п У + им энтальпия 7=С,т+и„. ЬТ~ 227. Р = (и — Яе) Т вЂ” ЮТ! и Т вЂ” Кт !п У вЂ” — + им ьга Ф (и — Яз — Я!и Л) Т вЂ” (О+Я) Т!и Т+ КТ1пр — — +им 228. Решение. Внутренняя энергия и энтропия для одного киломоля газа Ван-дер-Ваальса соответ.
ственно равны: и=С,т — — '+и,, 8=С,(пт+К(п(У вЂ” Ь)+З,. 119 Тогда свободную энергию можно записать в виде Р=(С,— З)т — С„т(пт — рт(п(р — Ь) — — , '+и„ а убыль ее при изотермнческих процессах У~ — Ь т! 1ч — !!Р=КТ!п ' +а ( — — — ), у,— ь ~», »). Работа же, совершаемая газом при изотермическом расширении, равна ур А= ~ ро!Г = Кт!п,' + а ( — — — ), У~ т. е.
— ЬР= А. 229. Ф = (Су — Зо) Т вЂ” С»Т 1и Т вЂ” Кт 1п (т — —— » — Рт(п(1 — — )+ — + и,, 7=С»т — — + — + и. Ь Ч йТ'»' 2а КТО у" )» — Ь ' " Т' » — Ь о' 230. Я = С 1п (и — ио+ — ) + Й 1п(» — Ь)— 3-8а Я вЂ” С»!псу+Во, и=С»е с» (1т — Ь) с» — — +ио » т т 231. Р= ~ Су (Т') о(т' — 7 ~ Су (7') 7, — )(!й 71п у о о т — Икта+ Здр„и = и! ~ ( (т') ат' + ж ро, 3 = о = ~ С» (Т') —, + ЙЖ 1п ~ + Л!йа, т! = ~ ) (Т') йт'— о о т — Т ~ !' (Т') —, + Ит! п — „+ Ит (1 — а) + оо„где а и о щ — постоянные. 232. 5(т, р, ч) =ч ~, о!Т+ Я(р, ч), Ф(Т, р, ч)= !(т! = — чТ ~ — о!Т+ ч $ ~ (Т) йт — 75(р, ч) + Ф(р, ч), (дф (Т, р, ч!) 120 233. 1=1(3, р), Я Я(У, )т).
234. Ф=С„Т (1 — !и Т)+ЙТ !п р — оТ+Уз 3-8е =С р~~е ср +Уз 235. рУ = ИТ, рУ~ = сопз1, У = С~Т + О,. 236. (р+ — „,) (Р— 3) = КТ вЂ” уравнение состояния 2а Бертло. 0=С„Т вЂ” —. ту' 23Т. (р+ — ',)(Р— Ь) =КТ, и=с,т — -'+и,. 238. У=СтР те т +(1а.
233. р! =кТ, (1=С Т+(1а. 240. 1) 8=5(1, р); 2) Р'= К(Т, Р). 241. Решение. Основное уравнение для системы с переменным числом частиц определенного сорта имеет вид: Т НЯ= Й(1+ р Лт Х Ч~ а(то Преобразуем это выражение, учитывая, что независи- мыми переменными служат Т, 1', т1,: а( (У Тс ~' з1~т') + ра(1 + с йТ + ~ т' й~у =О Отсюда с(аз= — И(11 — ТЗ вЂ” ~ а);т~~ = — ра()т — ЗМТ вЂ” ~,т~ На)„ / ! где аз=— У вЂ” Т$ — ~ аЪт;=У вЂ” ТБ — Ф = — р)т. а Функция аз= — р)' в указанных переменных является характеристической, поскольку т, ч, ' 'ч т,т 242.
рУт=-Ст(у — 1)е т =сопз1. 121 247. Решение. С цомощью соотношения и уравнения состояния получим: ('~) = — "+в+ср+ .... В результате интегрирования этого уравнения имеем: Ф (Т р) = Ф (Т ро) + А! и Р + Ро +В(Р Ро)+ о С(Р Ро)+ Отсюда 5= — ~ — ) =5(Т, ро) — А )п —— /дФх о Р дТ )р Ро — В' (р — р ) — — С' (ро — р') + 1 = 1 (Т, р ) + + (А — ТА') )п — ' + ( — ТВ') (р — ро) + — (С вЂ” ТС') Х Ро о 2 Х(р' — Р',)+ " . Здесь А = — „и т. д. Для определения Ф(Т, ро), дА ЯоТ, р,), 1(Т, р,) надо задать С как функцию температуры.
248. Решение. Для однородной изотропной системы С, — С, = [( — '„,) + РЯ вЂ” '„, ) Используя выражение У =Р+ ТВ, находим: Из тождества . гд~"~ для производной ~ — ) получим выражение'. ~дт), Следовательно, 249. 1) Ср — Сг =А', 2) Ср — Сг — — 2 У вЂ” Ь г игуз 250. Решение. Функции У, г, Ф, 1 являются характеристическими, если они выражены соответственно в переменных: С=С(~, У), Р=Р(Т, У), Ф=Ф<Т, р), Т=Т~р, о). Для равновесного излучения плотность энергии по закону Стефана — Больцмана пропорциональна четвертой степени температуры, поэтому внутренняя энергия У равна С = аТ4У. Однако это выражение ие является характеристической функцией.
Необходимо выразить Т через пара. метры 5 и У. Из выражения энтропии излучения 5 = — — атзУ 4 з находим: 1 (35)з Тогда 4 (4 У) Свободная энергия г =Ю вЂ” То = аТ4У вЂ” Т ° — аТаУ = — — аТ~У. Термодинамический потенциал Ф = Р + р У = — — а Т4У + — а Т'У = О. 1 а 1 з з Энтальпия 1=0+рУ= — аТ У=ТИХ=Я~ — )'. Отсюда видно, что для равновесного излучения термодинамический потенциал не может служить характеристической функцией; это обусловлено тем, что Т и 123 р для излучения не являются независимыми перемен. 1 ными (р= — оТ'). з ! 1 ""е ( йтр) войТУ где Твд, Фвд Еид выражения соответствующих функций для идеального газа. У к а з а н и е. См. задачу 215. 252. Р е ш е н и е.
Химический потенциал простой г аэх системы равен т1=~ — ) (т — число молей в си. ~ ат )г,р стеме), т. е. представляет собой термодинамический потенциал, приходящийся на один моль. Для идеального газа, учитывая аддитивность термодинамическнх функций, можно записать: Ф = тС Т (1 — !п Т) + тК Т !п р — т5вТ + чав (здесь величины Ср, 5в, Ув отнесены к одному молю). Тогда т! =КТ 1и р+ СрТ(1 — 1пТ) — БвТ+ Ув=КТ1п р+т1„(Т) где т)в(Т) = СрТ (1 — 1п Т) — БвТ+ Ув. Для равновесного излучения термодинамический потенциал Ф = О, значит, и химический потенциал т1=0.
253. Р е ш е н и е. Изменение температурьг при адиабатическом расширении или сжатии тел характери. гатъ зуется величиной ~ — ) . Переменные о и )г являются ~ак)з' характеристическими для внутренней энергии ьг=у(я, !г), причем 124 Тогда Используя тождество получим Х дрХ Хдт, Так как ~ †) ( О, то знак величины ~ †) противо- 1.дг )г дК з положен знаку коэффициента объемного расширения Для идеального газа ( дт ) = —, поэтому ( — ) 257. Решение. Пусть 1, г, Т, 8 — соответственно длина, натяжение, температура и энтропия жгута.
Из этих четырех величин независимыми являются только две, остальные их функции. Поэтому справедливо тождество ( — '~)Л вЂ” '!)ЛФ), =- ю Из выражения полного дифференциала свободной энергии ЫР= — БоТ+ 7Ж следует или (2) Учитывая функциональную связь Т, 1, 1 и равенство (2), получим тождество Подставляя его в выражение (1), найдем: Лддч где С,= Т ~ — ) — теплоемкость при постоянной длине. (,дТ Л гд~~ Для всех тел С, ) 0 и ~ —.) ) О, поэтому ( д()г Г д1 т Для резинового жгута по условию задачи ~ — ) ( О, ~дТ)~ поэтому (И )О. 258.
НР= — БИТ вЂ” ~г11, ~1Ф = — БЫТ+1Н~, 259. Т (Т, х) = Г (Т, О) + — багха, Б(Т, х) — Б(Т, 0) — — —, и(Т, х)=и(Т, О)+ Ца — Т ф) х', где Г(Т, 0), Б(Т, 0), (1(Т, 0) — термодинамические функции недеформированной пружины. 260. Решение. В качестве параметров системы целесообразно выбрать температуру Т и площадь по- верхности пленки Х. Тогда свободная энергия Р = = Р(Т, Х). Основное уравнение термодинамики позволяет по- лучить выражение для дифференциала свободной энергии: Т ЮБ = г(11 + ЬА, г1 (И вЂ” ТБ) = — ЬА — БЫТ, но бА = — одХ, поэтому Нг = — 5ЙТ+ооХ; отсюда Величина ~ — ) = г представляет собой скрытую где~ ~ дн )т теплоту образования единицы поверхности жидкой пленки, поэтому окончательно 261.
Решение. Основное уравнение термодинамики для магнетика, помещенного в магнитное поле, имеет вид: 7 ЫБ = дБ + р сй/ — реН АМ, где М вЂ” намагниченность магнетика; р,— магнитная проницаемость вакуума. Введем новую функцию состояния ф' = Н + р1 — р НМ вЂ” 1В, дифференциал которой равен пф'= — З 1т+У 1р — рМ 1Н. Пользуясь равенством вторых смешанных производных, получим искомую связь обоих эффектов: Г дУХ Для вычисления 1 — ) учтем выражение М=яНУ, 1.
дН)р,г где х — магнитная восприимчивость; У вЂ” объем магнетика. Тогда ( — ) = — Р,Н('~д +1' д ) Вводя коэффициент изот ермической ежи ма ем ости 1 ГдУХ р= — — ~ — ) и интегрируя в соответствующих У ~др)т, и 127 пределах, получим: ш (1 + —,) — р — (нр — — ) . М' Так как — « 1, относительное изменение объема оказывается равным ~И' Н' г днх — =р —,1 6 — — ). 262.
Р(Т, М) = Р (Т, О) + ро Е(Т, М) = Е(Т, 0) — — и М ( — — ). У к а з а н и е. Следует использовать соотношения ~ ии)т и и' 263. — = — А —. (1 — а)), 2Р 1 ~И где а= — — „— коэффициент упругости при расширении, А = сопз1. 264. Решение. Электрическое поле между пластинами конденсатора можно считать однородным и постоянным. Для диэлектрика с диэлектрической проницаемостью е в электрическом поле напряженностью Е величина электрической поляризации равна Р=(в — а,)Е. Свободная энергия поляризованного диэлектрика равна Р(Т, Р) =Р(Т, О)+ + 2(.' „) ЬХР'( где Р(Т, О) — свободная энергия всего диэлектрика в отсутствие электри- Рис. 25.
128 ческого поля; )2 — расстояние между пластинами плоского конденсатора; а и Ь вЂ” соответственно длина и ширина пластин; х — расстояние, на которое вдвинут диэлектрик в конденсатор (рис. 25). Учитывая энергию взаимодействия внешнего поля и поляризованного диэлектрика Я7„= — (е — ее) Ьх )ТЕ', для полной свободной энергии системы «диэлектрик + поле конденсатора» получим: Г" (Т, Е) = г'.(Т, О) — 2 + 2 абг!ееЕ».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
