6Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1184682)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Краткий конспект лекций. Сливина Н.А.

Лекция 6. МАТРИЦЫ

Матрицы. Основные понятия. Виды матриц. Равенство матриц

Вспомним определения и обозначения из предыдущей лекции.

Прямоугольная таблица m·n чисел, расположенных в m строках и n столбцах называется прямоугольной (m,n) матрицей или просто матрицей.

Будем обозначать матрицы заглавными буквами — A, элементы матриц — , столбцы матрицы — , а строки — , транспонированная матрица — .

Некоторые часто встречающиеся виды матриц имеют собственные названия:

квадратная матрица, , матрица, у которой одинаковое число строк и столбцов;

матрица-строка, , матрица, у которой одна строка;

матрица-столбец, , матрица, у которой один столбец;

диагональная матрица, квадратная матрица, у которой все внедиагональные элементы раны нулю;

единичная матрица, диагональная матрица, у которой все диагональные элементы — единицы нулю;

нулевая матрица, , матрица, все элементы которой — нули;

верхняя треугольная матрица, , квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные ниже диагонали — нули;

нижняя треугольная матрица, , квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные выше диагонали — нули.

В дальнейшем важную роль будет играть ступенчатая матрица: ,

т.е. существует такое число r, , что для всех , и для всех при . Важно понимать, то у ступенчатой матрицы первые r диагональных элементов отличны от нуля: .

Пример. Ступенчатые матрицы:

Определение. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковую размерность и равные соответственные элементы:

Линейные операции с матрицами. Линейными операциями называются операции сложения и умножения на число.

Определение. Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых: .

Определение. Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента на число: .

Для операций сложения и умножения матрицы на число справедливо:

1. A+B = B+A,

2. A+(B+C) = (A+B)+C,

3. α(A+B) = αA+αB,

4. α(βA) = (αβ)A,

5. (α+β)A=αA+βA,

6. 1·A=A,

7. 0·A= .

Здесь A, B, C — произвольные матрицы одинаковой размерности, — нулевая матрица той же размерности (читается «тэта»), и — произвольные числа.

Умножение матриц

Операция умножения матрицы на матрицу определяется более сложным образом.

Определение. Пусть заданы две матрицы A и B, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй. Если

то произведением матриц A и B называется матрица

, элементы которой вычисляются по формуле

, ; произведение матриц A и B обозначается AB: C=AB.

Пример.

.

Для произведения матриц соответствующих порядков справедливо:

1. A·B ≠ B·A,

2. (A + B) · C = A·C + B·C,

3. C·(A + B) = C·A + C·B,

4. α(A·B) = (αA) ·B,

5. (A·B) ·C = A·(B·C),

6. (AB)^T = B ^TA ^T,

7. , A, B — квадратные матрицы одинаковой размерности.

8. AE=EA=A, A— квадратная матрица, E — единичная матрица соответствующей размерности.

Если AB = BA, то матрицы A и B называются перестановочными.

Непосредственным вычислением легко проверить основное свойство единичной матрицы

Обратная матрица

Определение. Если существует квадратная матрица X той же размерности, что и матрица A, удовлетворяющая соотношениям A·X=X·A=E, то матрица A называется обратимой, а матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A_­­^-1.

Здесь E — единичная матрица соответствующей размерности.Т.е. A·A_­­^-1= A_­­^-1·A=E.

Пример.

Теорема о существовании обратной матрицы. Если , то матрицаA обратима и

.

Здесь — алгебраическое дополнение элемента матрицы A.

Доказательство теоремы. Докажем, что для матрицы (транспонировали матрицу из алгебраических дополнений) справедливо: .

Вычислим .

Если , то — сумма произведений элементов i-й строки матрицы A на их алгебраические дополнения. Если же Если , то — сумма произведений элементов i-й строки матрицы A на алгебраические дополнения другой ( j-й строки, ). Отсюда следует, что диагональные ( ) элементы матрицы равны единице, а внедиагональные ( ) — равны нулю, т.е. .

Равенство доказывается совершенно аналогично. Докажите самостоятельно.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).

Для того, чтобы матрица A была обратима, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство теоремы. Необходимость. Дано: матрица A обратима. Докажем, что . Действительно, поскольку A — обратима, то и , и, следовательно, . Отсюда, в частности, следует, что окажем, что .

Достаточность. Дано: . Но тогда обратимость матрицы A следует из теоремы о существовании обратной матрицы. Теорема доказана.

Теорема о единственности обратной матрицы. Обратная матрица единственна.

Доказательство. Докажем «от противного». Пусть это не так, и пусть и , . Из определения обратной матрицы следует: , .

Тогда из ассоциативности умножения матриц и свойств единичной матрицы следует: Выполним некоторые вычисления: , т.е. . Противоречие с предположением доказывает утверждение теоремы.

Аналогичными вычислениями можно доказать следующие свойства обратной матрицы:

1. .

2. .

Действительно:

, и

совершенно аналогично, , т.е. .

.

Нетрудно также доказать, что матрица, обратная к диагональной матрице — диагональная, обратная к треугольной — треугольная, обратная к симметричной матрице — симметрична. Докажите эти утверждения самостоятельно.

Ниже приведен порядок операций при вычислении обратной матрицы.

Пример. Вычислим : ;

составим матрицу из алгебраических дополнений:

,

,

,

; транспонируем полученную матрицу: ;

разделив каждый элемент последней матрицы на , получим обратную матрицу:

Проверим:

Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

Обозначим: , , ,

A — матрица системы, B — правая часть, X — матрица-столбец неизвестных.

Тогда:

тогда и только тогда, когда для элементов матрицы X справедливы равенства рассмотренной системы. Т.е. система эквивалентна матричному уравнению A·X = B, в том смысле, что если числа являются решением рассмотренной системы, то соответствующая матрица X является решением матричного уравнения; и наоборот, если матрица X является решением матричного уравнения, то ее элементы являются решением рассмотренной системы.

Матричные уравнения. Рассмотрим матричное уравнение A·X = B.

Если m=n и матрица A обратима, то

,

т.е. получили выражение для решения системы матричного уравнения

A·X = B. Ясно, что по этой формуле можно вычислить решение системы n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных (см. запись системы в матричной форме).

Аналогично, если соответствующие матрицы обратимы, имеем:

X·A = B, X = B·A^-1,

A·X·B = C, X = A^-1·C· B^-1,

A·X+B = 0, A·X = - B, X = - A^-1·B.

Пример. Решим матричное уравнение :

.

Проверим:

Формулы Крамера. Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных

Обозначим: — определитель матрицы системы, и — определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой j-го столбца столбцом правых частей.

Если определитель матрицы системы отличен от нуля, , то решение системы

определяется равенствами: .

Докажем это утверждение. Пусть .

Обозначим и покажем, что Вычислим

Вычислим определитель разложением по первому столбцу, определитель — по второму, …, — по n-му:

, поскольку определитель отличается от только j-м столбцом.

Тогда

поскольку

Т.е. Формулы Крамера доказаны.

Замечание. Нетрудно, показать, что выражения и — две формы записи одного и того же равенства.

Действительно,

Пример. Решим по формулам Крамера систему:

, , ,

, , ,

Проверим:

Элементарные преобразования матриц

Помимо операций с матрицами определены операции с элементами матриц, операции со столбцами и строками матрицы — так называемые элементарные преобразования матриц.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие операции:

1. перестановка любых двух строк (столбцов) матрицы;

2. умножение любой строки (столбца) на произвольное, отличное от нуля, число;

3. сложение любой строки (столбца) с другой строкой (столбцом), умноженной (умноженным) на произвольное, отличное от нуля, число.

4. к элементарным преобразованиям иногда относят и операцию транспонирования матрицы.

Приведение матрицы к ступенчатому виду Гауссовым исключением

Утверждение. Любую прямоугольную матрицу можно с помощью элементарных преобразований привести к ступенчатой форме.

Это утверждение на лекции доказано.

Пример. Приведем к ступенчатой форме матрицу .

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатой форме с помощью элементарных преобразований называют Гауссовым исключением или методом Гаусса.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)