Задачи к экзамену_лин_ал (1184690)
Текст из файла
5
СТАНДАРТ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Задачи к экзамену
Составили Сливина Н.А.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
-
Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1). Найти координаты векторов
. Изобразить эти векторы.
-
Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1). Найти длины сторон треугольника.
-
Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1). B1C1 — средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне BC. Найти длину B1C1.
-
Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,2,0), C(1, 2, 1). Найти внутренние углы треугольника ABC.
-
Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1). Вычислить площадь треугольника.
-
Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,2,0), C(1, 2, 3). Найти длину медианы, проведенной из вершины A.
-
Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,2,0), C(1, 2, 3). Найти длину высоты, опущенной на строну AB.
-
Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,2,0), C(1, 2, 3). Найти длину высоты, опущенной на строну AB.
-
Вычислить объем тетраэдра OABC, O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1). Изобразить тетраэдр.
-
Вычислить объем тетраэдра OABC, O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(0, 0, 1). Изобразить тетраэдр.
-
Записать координаты какого-либо вектора, ортогонального вектору
.
-
Записать координаты какого-либо вектора, коллинеарного вектору
.
-
Записать координаты какого-либо вектора, компланарного векторам
.
-
Записать координаты какого-либо вектора, компланарного векторам
.
-
Записать координаты какого-либо вектора, образующего острый угол с вектором
.
-
Записать координаты какого-либо вектора, образующего тупой угол с вектором
.
-
Записать координаты какого-либо вектора, образующего с векторами
левую тройку.
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
-
Записать уравнения координатных плоскостей.
-
Записать параметрические уравнения координатных осей.
-
Записать канонические уравнения координатных осей.
-
Записать уравнения граней тетраэдра OABC, где O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1).
-
Записать уравнения высоты тетраэдра OABC, опущенной из вершины O. Здесь O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1).
-
Записать уравнение плоскости, проходящей через вершину O(0, 0, 0) тетраэдра OABC и перпендикулярной основанию ABC. Здесь A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1).
-
Записать уравнения прямой, проходящей через вершину A(1, 0, 0) тетраэдра OABC перпендикулярно его основанию ABC. Здесь O(0, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1).
-
Записать уравнения граней призмы OABO1A1B1, где O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), O1 (0, 0, 1), A1 (1, 0, 1), B1 (0,1,1).
-
Записать уравнения ребер призмы OABO1A1B1, где O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), O1 (0, 0, 1), A1 (1, 0, 1), B1 (0,1,1).
-
Найти расстояние между ребрами BC и OO1 призмы OABCO1A1B1C1,
где O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(1,2,0), С(0,3,0), O1 (0, 0, 1), A1 (1, 0, 1), B1 (1,2,1), C1 (0, 3, 1).
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
-
Вычислить определители, приведением к диагональной форме:
-
Как изменится определитель 3-го порядка, если знаки всех его элементов поменять на противоположные?
-
Как изменится определитель третьего порядка, если все его строки записать в обратном порядке? Сравните
и
.
-
Как изменится определитель четвертого порядка, если все его строки записать в обратном порядке? Сравните
и
.
МАТРИЦЫ
-
Вычислить:
-
Вычислить обратную матрицу, проверить умножением:
ПРОСТРАНСТВО АРИФМЕТИЧЕСКИХ ВЕКТОРОВ Rn
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В Rn
-
Векторы
заданы своими координатами в некотором базисе. Доказать, что они образуют базис в соответствующем пространстве Rn:
-
Исследовать на линейную зависимость систему векторов:
-
Доказать, что множество векторов пространства R6, компоненты которых с четными номерами равны нулю, образуют линейное подпространство в R6. Найти базис и размерность этого подпространства.
-
Доказать, что множество векторов пространства R4, первая и последняя компоненты которых равны нулю, образуют линейное подпространство в R4. Найти базис и размерность этого подпространства.
-
Привести матрицу к ступенчатому виду, указать ее ранг, указать размерность пространства строк и размерность пространства столбцов этих матриц:
-
Пусть
— произвольные векторы из R2. Показать, что скалярное произведение в R2 можно определить равенствами:
-
Вычислить скалярное произведение, длины и угол между векторами
и
в естественном (стандартном) базисе. Вычислить скалярное произведения этих векторов, их длины, угол между ними, используя скалярное произведение, определенное равенством
, где
,
— произвольные векторы из R2. Сравните результаты вычислений.
-
Вычислить скалярное произведение, длины и угол между векторами
и
в естественном (стандартном) базисе. Вычислить скалярное произведения этих векторов, их длины, угол между ними, используя скалярное произведение, определенное равенством
, где
,
— произвольные векторы из R2. Сравните результаты вычислений.
-
Доказать ортогональность системы векторов; дополнить систему до ортогонального базиса:
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
-
Решить системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера:
-
Решить системы линейных алгебраических уравнений как матричные уравнения:
-
Исследовать системы линейных алгебраических уравнений (доказать совместность, записать фундаментальную систему решений, найти и проверить общее решение):
ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
а) AB; б) A2+ B; г) A+ BA.
-
Линейный оператор A, действующий в R3, задан матрицей
. Найти координаты образа
вектора
.
-
Линейные операторы, действующие в R3, заданы своими матрицами. Найти собственные значения и собственные векторы операторов:
-
Линейные операторы, действующие в R3, заданы своими матрицами. Найти матрицы операторов в указанных базисах:
КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Определить вид поверхности. Изобразить ее схематически. Найти и изобразить линии пересечения поверхности с координатными плоскостями и с заданной плоскостью.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.