А.А. Васин, В.В. Морозов - Введение в теорию игр с приложениями к экономике (1184512), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Ìàéë� [62], Ñ.Ì. Ìîâøîâè� � äð. [66]) � ðàáîòà� À.À. Âàñèí� � Å.È. Ïàíîâî� [24], À.À. Âàñèí� � Ï.À. Âàñèíî� [26], À.À. Âàñèí� � äð. [27] ïîêàçàíî, ÷ò� óêëîíåíè� î� íàëîãî� ñóùåñòâåíí� âëèÿå� í� îïòèìàëüíû� âûáî� íàëîãî� � íàëîãîâû� ñòàâîê. 21. Îñíîâíî� ðåçóëüòàò, îòíîñÿùèéñ� � îïòèìàëüíîì� àóäèò� ïðÿìû� íàëîãîâ, ïðèíàäëåæè� È. Ñàí÷å� � Äæ.
Ñîáåë� [86]. Îí� ðàññìîòðåë� ãðóïï� íàëîãîïëàòåëüùèêî� ñ� ñëó÷àéíû� ðàñïðåäåëåíèå� äîõîäà, çàäàííû� ïîëîæèòåëüíî� ïëîòíîñòü� � èíòåðâàë� [l, h]. Äë� ëþáîã� äîõîä� I íàëî� îïðåäåëÿåòñ� çàâèñèìîñòü� T (I), óñòàíàâëèâàåìî� ïðàâèòåëüñòâîì. Íàëî� ñòðîã� âîçðàñòàå� ï� I. Ðóêîâîäñòâ� èíñïåêöè� óñòàíàâëèâàå� âåðîÿòíîñò� ïðîâåðê� p(I) � çàâèñèìîñò� î� ïðîäåêëàðèðîâàííîã� äîõîä� I. � ñëó÷à� îáíàðóæåíè� íåïðîäåêëàðèðîâàííîã� äîõîä� øòðà� ïðîïîðöèîíàëå� íåäîïëà÷åííîì� íàëîã� � êîýôôèöèåíòî� 1 + π > 1 (òà� êà� øòðà� âêëþ÷àå� íåäîïëà÷åííû� íàëîã).
Äë� çàäà÷� ìàêñèìèçàöè� ÷èñòîã� íàëîãîâîã� äîõîä� ðàáîò� [86] ïîêàçûâàåò, ÷ò� îïòèìàëüíà� ñòðàòåãè� ïðîâåðî� âñåãä� îòíîñèòñ� � êëàññ� "ïîðîãîâû� ïðàâèë": � 1/(1 + π), I < I, p∗ (I) = 0,I ≥ I. äë� íåêîòîðîã� I ∈ [l, h]. Èòàê, êàæäû� ïðîäåêëàðèðîâàííû� äîõî� I < I ïðîâåðÿåòñ� � âåðîÿòíîñòü� 1/(1 + π) − ìèíèìàëüíî� âåðîÿòíîñòüþ, ïð� êîòîðî� íåâûãîäí� äåêëàðèðîâàò� I äë� ëþáîã� ðåàëüíîã� äîõîä� I � > I. Ô. Êîóýë� � Ã. Ãîðäî� [51] ñðàâíèâàþ� ðàçëè÷íû� äîñòóïíû� ñòðàòåãè� ïðîâåðî� ïð� ñáîð� êîñâåííîã� íàëîãà. Àâòîð� ìîäåëèðóþ� óêëîíåíè� î� óïëàò� íàëîãî� ñëåäóþùè� îáðàçîì.
Ôèðìà-íàëîãîïëàòåëüùè� äåëàå� âûáî� ìåæä� íàëîãîîáëàãàåìî� äåÿòåëüíîñòü� � äåÿòåëüíîñòü� � òåíåâî� ñåêòîð� ýêîíîìèêè. Åñë� ôèðì� ïîäâåðãàåòñ� ïðîâåðê� � âûÿâëÿåòñ� å� äåÿòåëüíîñò� � òåíåâî� ñåêòîðå, ò� å� îáÿçûâàþ� âûïëàòèò� íåäîñòàþùè� íàëî� � íàêàçûâàþ� øòðàôîì. Âåðîÿòíîñò� ïðîâåðê� çàâèñè� î� äåêëàðàöè� ï� ïðàâèë� "îòñå÷åíèÿ", ò.å. ôèðìû, äåêëàðèðóþùè� äîõî� ìåíüøå, ÷å� îïðåäåëåííà� âåëè÷èíà, âñåãä� ïðîâåðÿþòñÿ. Óñòàíàâëèâàþòñ� óñëîâèÿ, ïð� êîòîðû� îïòèìàëüíû� ñëó÷àéíû� àóäè� áîëå� ýôôåêòèâåí, ÷å� îïòèìàëüíî� ïðàâèë� îòñå÷åíèÿ, � íàîáîðîò.
234Ñâÿç� ìåæä� óêëîíåíèå� î� óïëàò� íàëîãî� � êîððóïöèå� èññëåäîâàëàñ� â� ìíîãè� ðàáîòà� (ñì., íàïðèìåð, Ï. ×àíäëå� � Ë. Óàéëü� [108], À.À. Âàñè� � Î.Á. Àãàïîâ� [25], Ë.Å. Ñîêîëîâñêè� [87]). ×àíäëå� � Óàéëü� [108] îïèñûâàþ� âçàèìîäåéñòâè� íàëîãîâû� èíñïåêòîðî� (àóäèòîðîâ) � íàëîãîïëàòåëüùèêî� òàê, êà� ýò� ñäåëàí� � ïîñëåäíå� 21. Îòëè÷è� î� íàøåã� ïîäõîä� ñîñòîè� � òîì, ÷ò� âåðîÿòíîñò� àóäèòîðñêî� ïðîâåðê� îïðåäåëÿåòñ� ðàâíîâåñíûì� ï� Íýø� ñòðàòåãèÿì� èãðîêîâ, � ò� âðåìÿ, êà� âåðîÿòíîñò� ïîâòîðíî� ïðîâåðê� ïðåäïîëàãàåòñ� ôèêñèðîâàííîé. � íàøå� ïîäõîä� (íàçûâàåìî� � çàïàäíî� ëèòåðàòóð� "principal-agent") âåðîÿòíîñò� ïðîâåðî� (ò.å.
ñòðàòåãè� öåíòðà) í� ôèêñèðîâàí� � îïðåäåëÿþòñ� � ðåçóëüòàò� ðåøåíè� èåðàðõè÷åñêî� èãð� Γ1 . 22. Ðåøåíè� óïðàæíåíè� 2.1. Í� ìîæåò, ïîñêîëüê� ÷èñë� 7 í� ïðåäñòàâèì� � âèä� ïðîèçâåäåíè� k · l äâó� íàòóðàëüíû� ÷èñå� k, l ≤ 3.2.2. Ïð� ôèêñèðîâàííî� x ãðàôè� ôóíêöè� F (x, y) ïðåäñòàâëÿå� ñîáî� ïàðàáîë� âåòâÿì� âíèç. Ïîýòîì� ôóíêöè� ìèíèìóì� W (x) = min F (x, y) = F (x, y(x)) = min[F (x, −1), F (x, 2)]. −1≤y≤2 Ôóíêöè� íàèëó÷øåã� îòâåò� âòîðîã� èãðîê� ((2, F (x, −1) ≥ F (x, 2)2, y(x) = = −1, F (x, −1) < F (x, 2) −1, Ôóíêöè� ìèíèìóì� (F (x, 2) = −x2 + 11x − 24, W (x) = F (x, −1) = −x2 − x − 3, −1 ≤ x ≤ 7/4, 7/4 < x ≤ 3.
−1 ≤ x ≤ 7/4,7/4 < x ≤ 3. Îòñþä� x0 = 7/4 � v = W (x0 ) = −125/16. Äàëåå, ôóíêöè� ìàêñèìóì� M (y) = max F (x, y) = F (x(y), y). Ôóíê−2≤x≤3 öè� íàèëó÷øåã� îòâåò� ïåðâîã� èãðîêà(x = (4y + 3)/2, −1 ≤ y ≤ 3/4, x(y) = 3, 3/4 < y ≤ 2, 235 22. Ðåøåíè� óïðàæíåíè�Ñëåäîâàòåëüíî,(F (x, y), −1 ≤ y ≤ 3/4,M (y) = F (3, y), 3/4 < y ≤ 2. Îòñþä� v = min M (y) = min[F (x|y=−1 , −1), F (3, 2)] = −11/4, y 0 = −1. −1≤y≤2 2.3.
Äîêàæåì, ÷ò� (x0 , y 0 ) − ε-ñåäëîâà� òî÷ê� ôóíêöè� F (x, y). Äë� ëþáîã� y ∈ Y èìåå� F (x0 , y) ≥ v =0= inf F (x , y) = v − ε = sup F (x, y 0 ) − ε ≥ F (x0 , y 0 ) − ε.y∈Y0x∈X Îòñþä� F (x , y 0 ) ≤ F (x0 , y) + ε ∀y ∈ Y. Âòîðî� íåðàâåíñòâ� è� îïðåäåëåíè� ε-ñåäëîâî� òî÷ê� äîêàçûâàåòñ� àíàëîãè÷íî. 2.4. Ïóñò� âûïîëíåí� ðàâåíñòâ� (2.4). Ïîëîæè� v = v = v. Äë� ëþáîã� ε > 0 âîçüìå� xε , y ε − ε-ìàêñèìèííó� � ε-ìèíèìàêñíó� ñòðàòåãèè, ò.å. v − ε ≤ inf F (x ε , y), sup F (x, y ε ) ≤ v + ε. y∈Yx∈X Îòñþä� v − ε ≤ F (x , y ) ≤ v + ε � ïð� ëþáî� x ∈ X εεF (x, y ε ) ≤ v + ε ≤ F (x ε , y ε ) + 2ε ⇒ F (x, y ε ) − 2ε ≤ F (x ε , y ε ).
Àíàëîãè÷í� äîêàçûâàåòñ� íåðàâåíñòâ� F (x ε , y ε ) ≤ F (x ε , y) + 2ε ∀y ∈ Y. Òàêè� îáðàçîì, ïàð� (xε , y ε ) − 2ε-ñåäëîâà� òî÷ê� ôóíêöè� F (x, y). Îáðàòíî, ïóñò� ïàð� (xε , y ε ) − ε-ñåäëîâà� òî÷ê� ôóíêöè� F (x, y). Òîãä� F (x, y ε ) − ε ≤ F (x ε , y ε ) ≤ F (x ε , y) + ε ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.
Îòñþä� ñëåäóþ� íåðàâåíñòâ� v − ε ≤ v − ε ≤ sup F (x, y ε ) − ε ≤ inf F (x ε , y) + ε ≤ v + ε ≤ v + ε y∈Y x∈X� xε , y ε − 2ε-ìàêñèìèííà� � 2ε-ìèíèìàêñíà� ñòðàòåãèè. Êðîì� òîãî, v ≤ v ≤ v + 2ε. Ïîñêîëüê� ε > 0 ïðîèçâîëüíî, ïîëó÷àåì, ÷ò� v = v.
236 22. Ðåøåíè� óïðàæíåíè�2.5. Âîçüìå� ëþáû� äâ� òî÷ê� z (1) =6 z (2) ∈ E m � ëþáî� ÷èñë� λ ∈ (0, 1). Òîãä� íåðàâåíñòâ� (1) (2) λzi + (1 − λ)zi 2 2 2 (1) (2) ≤ λ zi + (1 − λ) zi (22.1) ýêâèâàëåíòí� íåðàâåíñòâ� 2 (1) (2) 0 ≤ λ(1 − λ) zi − zi . (1) Ïîñëåäíå� âûïîëíÿåòñ� êà� ñòðîãîå, åñë� zi âåíñòâ� (22.1), ïîëó÷è� m � X(1) (2) λzi + (1 − λ)zi2 i=1 < λ m � X(1) zi (2) 6 zi .
Ñóììèðó� ï� i íåðà= 2 + (1 − λ) m Xi=1 ÷ò� � îçíà÷àå� ñòðîãó� âûïóêëîñò� ôóíêöè� (2) zi 2 ,i=1 mPzi 2 . i=1 2.6. Ïóñò� ñòðîã� âûïóêëà� ôóíêöè� h(z) äîñòèãàå� ìèíèìóì� � òî÷êà� z (1) =6 z (2) âûïóêëîã� êîìïàêò� Z ⊂ E m . Òîãä� (z (1) + z (2) )/2 ∈ Z � è� ñòðîãî� âûïóêëîñò� ôóíêöè� h(z) h((z (1) + z (2) )/2) < (h(z (1) ) + h(z (2) ))/2 = min h(z), z∈Z ÷ò� ïðîòèâîðå÷è� îïðåäåëåíè� ìèíèìóìà. 3.1. Äîêàæåì, ÷ò� p0 = q 0 = (1/2, 1/2) − îïòèìàëüíû� ñìåøàííû� ñòðàòåãè� èãðîêîâ, � v = 0 − çíà÷åíè� èãðû. Äåéñòâèòåëüíî, äë� ëþáû� p ∈ P, q ∈ Q !22XX00 A(p, q ) = aij qj pi ≡ 0 = A(p 0 , q 0 ) ≡ A(p 0 , q) i=1 j=1 � òðîéê� (p0 , q 0 , 0) − ðåøåíè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿõ.
3.2. L = (a11 , ...amn ; p1 q1 , ..., pm pn ). 3.3. Çàìåòèì, ÷ò� äë� ëþáî� ëîòåðå� L u(L) ∈ [0, 1],� è� àêñèî� V III � V âûòåêàåò, ÷ò� L ∼ (A1 , Ak ; u(L), 1 − u(L)). Âîçüìå� äâ� ïðîèçâîëüíû� ëîòåðå� L1 � L2 . Èìåå� Li ∼ (A1 , Ak ; u(Li ), 1 − u(Li )), i = 1, 2. Åñë� u(L1 ) = u(L2 ), ò� L1 ∼ L2 , � åñë� u(L1 ) > u(L2 ), ò� ï� ëåìì� 3.3 L1 � L2 . 237 22. Ðåøåíè� óïðàæíåíè�Ïóñò� v(L) − äðóãà� ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþøà� ñâîéñòâà� 1)−3), ñôîðìóëèðîâàííû� � òåîðåì� 3.4. Ïîäáåðå� êîíñòàíò� c, b, èñõîä� è� ðàâåíñò� v(A1 ) = cu(A1 ) + b, v(Ak ) = cu(Ak ) + b. Îòñþäà, èñïîëüçó� ðàâåíñòâ� u(A1 ) = 1, u(Ak ) = 0, íàõîäèì, ÷ò� c = v(A1 ) − v(Ak ) > 0, b = v(Ak ).
Äë� ëþáîã� l = 2, ..., k−1 èìåå� Al ∼ rl A1 +(1−rl )Ak . Ñëåäîâàòåëüíî, äë� ïðîèçâîëüíî� ëîòåðå� L = (A1 , ..., Ak ; x1 , ..., xk ) v(L) = kXl=1 = kXxl v(Al ) = kXxl (rl v(A1 ) + (1 − rl )v(Ak )) = l=1 xl (rl (c + b) + (1 − rl )b) = l=1 kXcxl rl + b = cu(L) + b. l=1 4.1. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñò� (p0 , q 0 , v) − ðåøåíè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿ� èãð� � ìàòðèöå� A. Òîãä� âûïîëíåí� íåðàâåíñòâ� A(p, q 0 ) ≤ A(p 0 , q 0 ) = v ≤ A(p 0 , q) ∀p ∈ P, ∀q ∈ Q. � ÷àñòíîñòè, îí� ñïðàâåäëèâ� äë� ëþáû� ÷èñòû� ñòðàòåãè� èãðîêî� A(i, q 0 ) ≤ v ≤ A(p 0 , j), i = 1, ..., m, j = 1, ..., n. (∗) Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñò� äë� òðîéê� (p0 , q 0 , v) âûïîëíåí� óñëîâè� (∗).
Âîçüìå� ëþáó� ñìåøàííó� ñòðàòåãè� p ïåðâîã� èãðîêà, äîìíîæè� íåðàâåíñòâ� A(i, q 0 ) ≤ v í� pi � ñëîæè� èõ. � ðåçóëüòàò� ïîëó÷è� mPA(p, q 0 ) ≤ vpi = v. Àíàëîãè÷íî, äë� ëþáî� ñìåøàííî� ñòðàòåãè� q i=1 âòîðîã� èãðîê� âûïîëíåí� íåðàâåíñòâ� v ≤ A(p0 , q). Èòàê, A(p, q 0 ) ≤ v ≤A(p0 , q) ∀p ∈ P, ∀q ∈ Q. Ïîëàãà� çäåñ� p = p0 , q = q 0 , ïîëó÷è� A(p0 , q 0 ) = v � (p0 , q 0 , v) −ðåøåíè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿõ. 4.2.
Ïóñò� (p0 , q 0 , v) − ðåøåíè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿ� èãð� � ìàòðèöå� A. Òîãä� ï� óñëîâè� (∗) A(i, q 0 ) ≤ v ≤ A(p 0 , j), i = 1, ..., m, j = 1, ..., n. Äàëåå, B(i, q 0 ) = A(i, q 0 ) + c, B(p0 , j) = A(p0 , j) + c. Îòñþä� B(i, q 0 ) ≤ v + c ≤ B(p 0 , j), i = 1, ..., m, j = 1, ..., n 238 22. Ðåøåíè� óïðàæíåíè�� (p0 , q 0 , v + c) − ðåøåíè� èãð� � ìàòðèöå� B. 4.3. Ï� îïðåäåëåíè� âûðàâíèâàþùå� ñòðàòåãè� ψ 0 F (x, ψ 0 ) ≡ v ⇒ F (ϕ, ψ 0 ) ≡ v = F (ϕ0 , ψ 0 ) ≤ F (ϕ0 , ψ) ∀ψ ∈ {ψ}.Îòñþä� òðîéê� (ϕ0 , ψ 0 , v) − ðåøåíè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿõ.
3 1 04.4. � èãð� � ìàòðèöå� ñìåøàííà� ñòðàòåãè� âòîðîã� èã0 1 3 ðîê� q 0 = (1/2, 0, 1/2) ÿâëÿåòñ� âûðàâíèâàþùåé, í� í� îïòèìàëüíîé. 4.5. Íàéäå� âûðàâíèâàþùó� ñìåøàííó� ñòðàòåãè� q 0 âòîðîã� èãðîêà. È� ñîîáðàæåíè� ñèììåòðè� ïîëîæè� q10 = q40 , q20 = q30 . Òîãä� ïîëó÷è� ñèñòåì� óðàâíåíè� q10 + aq20 = aq10 + q20 + aq20 = v, q10 + q20 = 1/2. Îòñþä� q10 = 0.5(2 − a)−1 , q2 0 = (1 − a)q10 , v = (1 + a − a2 )q10 . Ïîñêîëüê� ìàòðèö� A − ñèììåòðè÷íàÿ, ñìåøàííà� ñòðàòåãè� p0 = q 0 ïåðâîã� èãðîê� òàêæ� ÿâëÿåòñ� âûðàâíèâàþùåé.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñòðàòåãè� p0 � q 0 îïòèìàëüíû, � v − çíà÷åíè� èãðû. 4.6. Ïîñêîëüê� X ⊂ {ϕ} � Y ⊂ {ψ}, v = max min F (x, y) ≤ max min F (ϕ, y) = v = x∈X y∈Yϕ∈{ϕ} y∈Y = min max F (x, ψ) ≤ min max F (x, y) = v. ψ∈{ψ} x∈Xy∈Y x∈X 4.7. Âîçüìå� ëþáî� ε > 0 � îòðåçî� [a0 , b0 ] äëèíû, ìåíüøå� ε, � ñîäåðæàùè� âíóòð� ñåá� òî÷ê� x0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
