Д.В. Георгиевский - Ответы на вопросы по курсу МСС (1183908), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Идеально пластические тела.Упрочнение.OA — участок линейной упругости. σM = Eε11 .AB — участок нелинейной упругости. Упругость — это отсутствие остаточных деформаций. A — предел пропорциональности, B — предел упругости.BC — участок текучести (пластичности). Если на этом участке снятьнагрузку, материал пойдет по кривой, параллельной OA.Есть материалы, где текучесть так и идет до разрыва. Это — идеальнопластические. А есть те, где есть CD — участок упрочнения. Если на этомучастке снять нагрузку, а потом снова нагрузить, участок упругости будетбольше — материал упрочнился.σ11DBCAOε11Вопрос 70. Критерии пластичности Мизеса–Генки и Треска–Кулона–Сен-Венана. Их графическаяинтерпретация.√1) Критерий Мизеса–Генки (квадратичный критерий).
σs = sij sij ; σu = σs — поверхность текучести, σu < σs — упругость.qσu = s211 + s222 + s233 + 2(s212 + s213 + s223 ).222(σ11 − σ22 )2 + (σ22 − σ33 )2 + (σ33 − σ11 )2 + 6(σ12+ σ23+ σ13) = 3σs2 .(Чтобы понять, откуда взялась разность, см. билет 32)В главных осях:(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 = 3σs .Это будет эллипсоид, а если σ3 = 0 — эллипс.2) Критерий Треска–Кулона–Сен-Венана.2|3|2|τ12 = |σ1 −σ; τ13 = |σ1 −σ; τ23 = |σ3 −σ.
Критерий, насколько я поняла, состоит в том, что σu222должно быть меньше минимума из них. Положим σ3 = 0 и изобразим все это в плоскости σ1 Oσ2 .25Получится шестиугольник. Он не вписан и не описан около эллипса Мизеса-Генки, просто лежитблизко.Вопрос 71. Упруго-пластическое тело. Теория малых упруго-пластических деформаций Ильюшина. Постановки задач.Нагрузку и разгрузку упруго-пластического тела удобнее всегопредставлять так:σk = Φ(εk ).Функция Ильюшина:ω(εu )1Φ(εk ) = 2µεu (1 − w(εu )).εuε3Вопрос 72. Вязкоупругие тела. Ползучесть и релаксация.Ползучесть — явление нарастания деформации при постоянном напряжении.
Ползучесть бываетограниченная и неограниченная.Релаксация — уменьшение напряжения при постоянной деформации.Вопрос 73. Гуковский и ньютоновский элементы. Модели Фойгта и Максвелла. Модель Кельвина.Гуковский элемент — "пружинка" — характеризуется соотношением σ = Eε. Ньютоновский элеˇмент — "поршенек модель вязкой жидкости — соотношением σ = µdε.Ступеньки Хевисайдаа) σ = σ0 h(t). Какая будет деформация?б) ε(t) = ε0 h(t). Какой будет отклик напряжения?Для поршенька:а) ε(t) = µ1 σ0 th(t),б) σ(t) = µε0 δ(t).Модель Фойгта — параллельное соединение поршенька и пружинки. ε1 = ε2 = ε; σ1 = Eε1 ; σ2 = µďε2 .
Как зависит деформация отˇ = σ. Решая дифференцальное уравнение, поεнапряжения? (E + µd)εлучим:Zσ01 t − Eµ (t−τ )ε(t) =eσ(τ )dτ.Eµ 0tR t − E (t−τ )−Eta) σ = σ0 h(t). В таком случае ε(t) = σµ0 0 e µdτ = σE0 (1− e µ ).µ= tp — время релаксации. Тогда ε(t) = σE0 (1 −Введем обозначение E− tt). Мы имеем дело с ограниченной ползучестью.б) ε(t) = ε0 h(t). В таком случае σ(t) = Eε0 h(t) + µε0 δ(t).Модель Максвелла — последовательное соединение поршенька ипружинки.
ε = ε1 + ε2 ; σ1 = σ2 = σ. Запишем выражение для ε.−epσ˙1 σ2dˇ 1ε̇ = ε˙1 + ε˙2 =+= ( + )σ;EµEµE + µdˇEε=σ; σ = E 1 −ε;EµdˇE + µdˇZE 2 t − Eµ (t−τ )σ(t) = Eε(t) −eε(τ )dτ.µ 0a) σ = σ0 h(t). Тогда ε(t) =σ0E h(t)+σEε0tσ0µ th(t).Rt EE2б) ε(t) = ε0 h(t). В таком случае σ(t) = Eε0 h(t) − E µε0 0 e− µ (t−τ ) dτ = Eε0 h(t) − Eε0 (1 − e− µ t ) == Eε0 e−t/tp h(t). Мы имеем дело с релаксацией — уменьшением напряжения при постоянной деформации.26Модель Кельвина — пружинка и поршенек соединены параллельно, к ним последовательно подсо11ˇединена еще одна пружинка.
ε = ε1 +ε2 = E σ+µ+ σ2 = ( E +µ+ 1 )σ, E2 (E1 +µď)ε = (E1 +E2 +µd)σ,dˇ E2dˇ E211E1 E2 ε + E2 µε̇ = (E1 + E2 ) + µσ̇σε2ε1ttа) σ = σ0 h(t)б) ε = ε0 h(t)Вопрос 74. Определяющие соотношения линейной вязкоупругости в виде многочленов от оператора дифференцирования по времени.В общем случае зависимость между деформацией и напряжением выражается следующим выражением:ˇ = Qm (d)ε.ˇPn (d)σВыполнено одно из следующих равенств: n = m, либо n = m − 1.
Максимальная степень многочленаопределяется числом поршеньков в модели.Вопрос 75. Интегральные определяющие соотношения линейной вязкоупругости. Интегральныеядра и функции ползучести и релаксации.Определяющие соотношения в интегральной форме выглядят так:Z tσ(t) =Γ(t, τ )ε(τ )dτ,0где Γ — ядро релаксации. Обратное соотношение:Z tε(t) =K(t, τ )σ(τ )dτ,0где K — ядро ползучести.Если Γ(t, τ ) = Γ(t − τ ) и K(t, τ )hm = K(t − τ ), материал называется нестареющим. Тогда пишут:σ(t) =ε(t) =ZZt0R(t − τ )dε(τ ),t0Π(t − τ )dσ(τ ),где R(t) — функция релаксации, Π — функция ползучести.
Они определяются экспериментально.27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
