Д.В. Георгиевский - Ответы на вопросы по курсу МСС (1183908), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Получатся следующие уравнения:(Cijkl ukl ),j − (βij ϑ),j + ρFi = ρd2 uidt2— уравнения движения иTddT(βij εij ) + T Cε ln− div( Λ · grad T ) = ρqdtdt T0f— уравнение притока тепла.Система уравнений называется замкнутой, если число уравнений в ней равно числу переменных.В данной системе это так.Вопрос 46. Виды анизотропии в упругом теле.
Ортотропное, трансверсально–анизотропное иизотропное упругие тела.Ортогональные преобразования задаются тензором второго ранга l таким, что lij lik = δjk , lji lki =e= δjk . Векторы при ортогональных преобразованиях изменяются так: ~ei ′ = lik~ek , a′i = lim am . Тензоры′ =l l βизменяются так: βijik jm km , Cijkl = lim ljn lkp llq Cmnpq .1) Центральная симметрия lij = −δij . Легко проверить, что свойства сохраняются.2) Ось упругой симметрии порядка n — это такая ось, при повороте вокруг которой на угол 2πnсвойства сохраняются.Пусть x3 — ось симметрии второго порядка,−1 0 0l = 0 −1 0 .00 116′′′C1112= C1112 , C1113= −C1113 , потому C1113= 0, C1123 = 0, C2223 = 0, C2213 = 0, C3323 = 0,C3331 = 0, C1223 = 0, C1231 = 0 (все, где число троек нечетно).От тензора осталось 13 констант.Если осей две, останется девять констант.Тело называется ортотропным, если у него есть три взаимно ортогональные оси упругой симметрии.3) Ось x3 — ось симметрии бесконечного порядка — свойства сохраняются при повороте на любойугол.Такое тело называется трансверсально-анизотропным.
Число независимых констант тензора модулей упругости равно пяти.4) Две оси бесконечного порядка. Упругие свойства сохраняются при любых ортогональных преобразованиях. Такое тело называется изотропным.Вопрос 47. Линейная теория упругости изотропного тела. Упругие и термические константыупругого тела и их связь. Обратный закон Гука.Если тело изотропно, тензор модулей упругости и тензор связанности имеют следующий вид: βij == γδij , Cijkl = λδij δkl + µ1 δik δjl + µ2 δil δjk . При этом µ1 = µ2 = µ, так как тензор cijkl симметричен попарам индексов. Числа λ и µ называются постоянными Ламе, γ — коэффициент термодинамическойсвязанности.Запишем закон Гука для изотропного тела σij = (λδij δkl +2µ∆ijkl )εkl −γϑδij = λθδij +2µεij −γϑδij .Лектор обозначает εkk = θ, а разницу температур за ϑ.
Ужас, правда?Итак, запишем закон Гука иначе: σαα = λθ + 2µεαα − γϑ = (λ + 2µ)εαα + λ(εββ + εγγ ) − γϑ;σαβ = 2µεαβ .Разложим тензоры σ и ε на девиатор и шаровую часть: σij = σδij + sij , εij = 31 θδij + eij .feУстановим связь между девиаторами и шаровыми частями:3σ = (3λ + 2µ)θ − 3γϑ.Обозначим λ + 23 µ = K — модуль объемного растяжения-сжатия. Получилась новая формула:σ = Kθ − γϑ.Девиаторы: sij = σij − σδij = λθδij + 2µεij − γϑδij − (λ + 23 µ)θδij + γϑδij = 2µεij − 32 µθδij = 2µeij .Еще одна форма закона Гука:(σ = Kθ − γϑ,s = 2µ e .eeИз всего этого легко выводится обратный закон Гука (типа для шаровой части и девиатора отдельно, потом сольем):1sijεij =(σ + γϑ)δij +.3K2µλНо это еще не все.
Мы введем новые константы: E = µ(3λ+2µ)— модуль Юнга, ν = 2(λ+µ)—λ+µγкоэффициент Пуассона, α = 3K — коэффициент теплового расширения. Обратный закон Гука будетвыглядеть так:1εij = [−3νσδij + (1 + ν)σij ] + αϑδij .EВопрос 48. Физический смысл упругих констант.a) Эксперимент на растяжение-сжатие стержня. Пусть F — сила, S — площадь поперечного сечения, тогда σ11 = |FS | . Все остальные σij = 0. Имеем: ε11 = E1 σ11 , ε22 = ε33 = E1 (−νσ11 ) = −νε11 . Такимобразом, ν — коэффициент пропорциональности между поперечной и продольной деформацией.σ12б) Эксперимент на сдвиг.
В этом случае только σ12 отлично от нуля, получим ε12 = 1+νE σ12 = 2µ .∂uПодставим вместо ε12 его значение. Получится ∂x= σµ12 .217Таким образом, µ — коэффициент пропорциональности между касательным напряжением и относительным перемещением — модуль сдвига.в) Эксперимент на всестороннее сжатие. σαα = −p0 . Имеем ε11 = ε22 = ε33 = E1 (3νp0 − (1 + ν)p0 ) == − 1−2νE p0 =1−2νE σ.Преобразуем коэффициент:Получилось εαα =1−2νEσ3K .=λ1− λ+µµ(3λ+2µ)λ+µ=13λ+2µ=13K .Вопрос 49. Постановки начально–краевых задач в теории упругости.
Уравнения Ламе. Статика,квазистатика и динамика.Пусть имеется некий объем V , ограниченный поверхностью Σ = Σu ∪ Σs . Задана массовая силаi~x, 0), наF , действующая на объем. На поверхности Σs заданы напряжения P~0 , а также ui (~x, 0), ∂u∂t (~Σu заданы перемещения ui (~x, t). Требуется найти ~u(~x, t), ε и σ .Итак, постановка задачи:ef∂ 2 uiσij,j + ρFi = ρ ∂t2 ,εij = 12 (ui,j + uj,i ),σij = λθδij + 2µεij .15 уравнений, 15 неизвестных.2Уравнения Ламе. Запишем уравнения движения: σij,j + ρFi = ρ ∂∂tu2i .
Подставим вместо σij его2значение из закона Гука. Получится: λθ,j δij + µεij,j + ρFi = ρ ∂∂tu2i .Воспользуемся равенствами: εij = 12 (ui,j + uj,i ), θ = ui,i = div ~u. Получится: λuk,k + µ(ui,jj + uj,ij ) +2+ ρFi = ρ ∂∂tu2i . Отсюда получаем уравнения Ламе:2~ = ρ ∂ ui .(λ + µ) grad div ~u + µ∆~u + ρF∂t2Статика. Начальных условий нет, σij,j + ρFi = 0.Квазистатика. Всеми динамическими эффектами можно пренебречь. Уравнения те же.Динамика.
Общий случай, то есть все остальное.Вопрос 50. Единственность решения квазистатической задачи теории упругости.При каких λ, µ решение изотропной упругой задачи единственно?1 }, {u2 , ε2 , σ 2 }. Рассмотрим их разность: u = u1 − u2 ,Пусть существуют два решения {u1i , ε1ij , σijii ijijii1212εij = εij − εij , σij = σij − σij . Разность будет решением однородной системы:σij,j = 0;εij = 21 (ui,j + uj,i ),σij = Kθδij + 2µeij .Запишем цепочку равенств:ZZZ0=σij,j ui dV = (σij ui ),j dV −σij ui,j dV =VVVZZZZ=σij ui nj dΣ +σij ui nj dΣ −σij εij dV = −σij εij dV.ΣuΣsVVРаспишем выражение под интегралом:1σij εij = (Kθδij + 2µeij )(eij + θδij ) = Kθ 2 + 2µeij eij .3Решение единственно, если K и µ положительны. Оба отрицательны не бывают.Вопрос 51.
Задачи теории упругости в перемещениях и напряжениях. Уравнения совместностиБельтрами-Мичелла.18Постановка в перемещениях. Следующее равенство вытекает из постановки задачи: λθ,j +2µεij,j ++ ρFi = 0. Заметим, что θ = uk,k , εij = 12 (ui,j + uj,i ). Перепишем равенство: λuk,ki + µ(ui,jj + uj,ij ) ++ ρFi = 0. После приведения подобных получим уравнения Ламе:(λ + µ)uj,ji + µui,jj + ρFi = 0.Векторный вид:~ = 0.(λ + µ) grad div ~u + µ∆~u + ρFПостановка в напряжениях.σij,j + ρFi = 0.Распишем все это: (λ + µ)uj,ij + µui,jj + ρFi = 0. Продифференцируем по xk : (λ + µ)uj,kij + µui,kjj ++ ρFi,k = 0.
Теперь поменяем местами i и k: (λ + µ)uj,ikj + µui,kjj + ρFk,i = 0. Сложим равенства.Получится вот что:2(λ + µ)θik + 2µ∆εik + ρ(Fi,k + Fk,i ) = 0.Теперь применим равенства: θ =σλ+2/3µ ,eij =sij2µ .Получится:2(λ + µ)2µσ,ik + ∆sik +∆σδik + ρ(Fi,k + Fk,i ) = 0.λ + 2/3µ3λ + 2µСвернем по i и k:6µ6(λ + µ)~ = 0.∆σ +∆σ + 2ρ div F3λ + 2µ3λ + 2µОтсюда получится постановка в напряжениях:∆σ = −3λ + 2µρ div F.3(λ + 2µ)Возьмем то, что было перед сверткой, перепишем sik как σik − σδik :2(λ + µ)2µσ,ik + ∆σik − ∆σδik +∆σδik + ρ(Fi,k + Fk,i ) = 0.λ + 2/3µ3λ + 2µВместо ∆σ подставим его значение. Получится:2(λ + µ)3λ + 2µ3λσ,ik + ∆σik +∆σδik + ρ(Fi,k + Fk,i ) = 0.λ + 2/3µ3(λ + 2µ) 3λ + 2µВоспользуемся равенством ν =∆σik +λ2(λ+µ) .Получим уравнения совместимости Бельтрами-Мичелла:ν3σ,ik +δik ρ div F~ + ρ(Fi,k + Fk,i ) = 0.1+ν1−νИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬВопрос 52.
Определение идеальной жидкости. Уравнение движения Эйлера. Форма Громеки-Лэмба.Гидростатика.Идеальная жидкость (или газ) — это среда, в которой тензор напряжений имеет вид: σij = −pδij .Это значит, что вектор напряжений всегда ортогонален площадке — нет сдвиговых деформаций.iУравнения движения. В уравнения движения σij,j + ρFi = ρ dvdt подставим значение σ.
Получатсяуравнения Эйлера:dvi−p,i + ρFi = ρ.dt19Или в векторном виде:~ =ρ− grad p + ρFd~v.dtiВместо dvdt подставим значение из записи в форме Громеки-Лэмба. Получится уравнение Эйлерав форме Громеки-Лэмба:∂~v12~− grad p + ρF = ρ+ rot ~v × ~v + grad |~v | .∂t2dρdtОно содержит 5 неизвестных: ρ, p, vi . Уравнений три. Четвертое — уравнение неразрывности.Гидростатика. Это случай, когда ~v = 0. Из уравнения неразрывности: dρv = 0 получаемdt + ρ div ~~.= 0.
Уравнение Эйлера примет вид: grad p = ρF~ ) = ρ rot F~ +grad ρ× F~.Осталось 2 неизвестных и три уравнения. Значит, сила не любая. 0 = rot(ρF~~~~Пусть F = grad U . Тогда rot F = 0, и получится grad ρ× F = 0, то есть grad ρ||F , или grad ρ|| grad p.Вопрос 53. Совершенный газ. Уравнение Клапейрона.
Связь удельной внутренней энергии и температуры.Выпишем формулу Клапейрона–Менделеева: P = ρRT .Локальное уравнение энергии:ρdu= ρq − div ~q + σij vij .dt3k— теплоемкость при постоянЗаметим, что σij vij = −pδij vij ; ~q = −Λ grad T , u = cv T , где cv = 2mном объеме, k — постоянная Больцмана, m — масса атома газа. Получится:ρcvdT= −p div ~v + ρq + div(Λ grad T ).dtВопрос 54. Баротропные среды. Местная скорость звука. Виды баротропии. Задача о высоте политропной атмосферы.Баротропная среда — это такая, для которой p = p(ρ) или, что то же самое, ρ = ρ(p). Местнойскоростью звука называется c(ρ), определяется из соотношения: c2 (ρ) = dpdρ .Виды баротропии:1) Несжимаемость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
