Главная » Просмотр файлов » Д.В. Георгиевский - Ответы на вопросы по курсу МСС

Д.В. Георгиевский - Ответы на вопросы по курсу МСС (1183908), страница 4

Файл №1183908 Д.В. Георгиевский - Ответы на вопросы по курсу МСС (Д.В. Георгиевский - Ответы на вопросы по курсу МСС.pdf) 4 страницаД.В. Георгиевский - Ответы на вопросы по курсу МСС (1183908) страница 42020-08-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Получатся следующие уравнения:(Cijkl ukl ),j − (βij ϑ),j + ρFi = ρd2 uidt2— уравнения движения иTddT(βij εij ) + T Cε ln− div( Λ · grad T ) = ρqdtdt T0f— уравнение притока тепла.Система уравнений называется замкнутой, если число уравнений в ней равно числу переменных.В данной системе это так.Вопрос 46. Виды анизотропии в упругом теле.

Ортотропное, трансверсально–анизотропное иизотропное упругие тела.Ортогональные преобразования задаются тензором второго ранга l таким, что lij lik = δjk , lji lki =e= δjk . Векторы при ортогональных преобразованиях изменяются так: ~ei ′ = lik~ek , a′i = lim am . Тензоры′ =l l βизменяются так: βijik jm km , Cijkl = lim ljn lkp llq Cmnpq .1) Центральная симметрия lij = −δij . Легко проверить, что свойства сохраняются.2) Ось упругой симметрии порядка n — это такая ось, при повороте вокруг которой на угол 2πnсвойства сохраняются.Пусть x3 — ось симметрии второго порядка,−1 0 0l =  0 −1 0  .00 116′′′C1112= C1112 , C1113= −C1113 , потому C1113= 0, C1123 = 0, C2223 = 0, C2213 = 0, C3323 = 0,C3331 = 0, C1223 = 0, C1231 = 0 (все, где число троек нечетно).От тензора осталось 13 констант.Если осей две, останется девять констант.Тело называется ортотропным, если у него есть три взаимно ортогональные оси упругой симметрии.3) Ось x3 — ось симметрии бесконечного порядка — свойства сохраняются при повороте на любойугол.Такое тело называется трансверсально-анизотропным.

Число независимых констант тензора модулей упругости равно пяти.4) Две оси бесконечного порядка. Упругие свойства сохраняются при любых ортогональных преобразованиях. Такое тело называется изотропным.Вопрос 47. Линейная теория упругости изотропного тела. Упругие и термические константыупругого тела и их связь. Обратный закон Гука.Если тело изотропно, тензор модулей упругости и тензор связанности имеют следующий вид: βij == γδij , Cijkl = λδij δkl + µ1 δik δjl + µ2 δil δjk . При этом µ1 = µ2 = µ, так как тензор cijkl симметричен попарам индексов. Числа λ и µ называются постоянными Ламе, γ — коэффициент термодинамическойсвязанности.Запишем закон Гука для изотропного тела σij = (λδij δkl +2µ∆ijkl )εkl −γϑδij = λθδij +2µεij −γϑδij .Лектор обозначает εkk = θ, а разницу температур за ϑ.

Ужас, правда?Итак, запишем закон Гука иначе: σαα = λθ + 2µεαα − γϑ = (λ + 2µ)εαα + λ(εββ + εγγ ) − γϑ;σαβ = 2µεαβ .Разложим тензоры σ и ε на девиатор и шаровую часть: σij = σδij + sij , εij = 31 θδij + eij .feУстановим связь между девиаторами и шаровыми частями:3σ = (3λ + 2µ)θ − 3γϑ.Обозначим λ + 23 µ = K — модуль объемного растяжения-сжатия. Получилась новая формула:σ = Kθ − γϑ.Девиаторы: sij = σij − σδij = λθδij + 2µεij − γϑδij − (λ + 23 µ)θδij + γϑδij = 2µεij − 32 µθδij = 2µeij .Еще одна форма закона Гука:(σ = Kθ − γϑ,s = 2µ e .eeИз всего этого легко выводится обратный закон Гука (типа для шаровой части и девиатора отдельно, потом сольем):1sijεij =(σ + γϑ)δij +.3K2µλНо это еще не все.

Мы введем новые константы: E = µ(3λ+2µ)— модуль Юнга, ν = 2(λ+µ)—λ+µγкоэффициент Пуассона, α = 3K — коэффициент теплового расширения. Обратный закон Гука будетвыглядеть так:1εij = [−3νσδij + (1 + ν)σij ] + αϑδij .EВопрос 48. Физический смысл упругих констант.a) Эксперимент на растяжение-сжатие стержня. Пусть F — сила, S — площадь поперечного сечения, тогда σ11 = |FS | . Все остальные σij = 0. Имеем: ε11 = E1 σ11 , ε22 = ε33 = E1 (−νσ11 ) = −νε11 . Такимобразом, ν — коэффициент пропорциональности между поперечной и продольной деформацией.σ12б) Эксперимент на сдвиг.

В этом случае только σ12 отлично от нуля, получим ε12 = 1+νE σ12 = 2µ .∂uПодставим вместо ε12 его значение. Получится ∂x= σµ12 .217Таким образом, µ — коэффициент пропорциональности между касательным напряжением и относительным перемещением — модуль сдвига.в) Эксперимент на всестороннее сжатие. σαα = −p0 . Имеем ε11 = ε22 = ε33 = E1 (3νp0 − (1 + ν)p0 ) == − 1−2νE p0 =1−2νE σ.Преобразуем коэффициент:Получилось εαα =1−2νEσ3K .=λ1− λ+µµ(3λ+2µ)λ+µ=13λ+2µ=13K .Вопрос 49. Постановки начально–краевых задач в теории упругости.

Уравнения Ламе. Статика,квазистатика и динамика.Пусть имеется некий объем V , ограниченный поверхностью Σ = Σu ∪ Σs . Задана массовая силаi~x, 0), наF , действующая на объем. На поверхности Σs заданы напряжения P~0 , а также ui (~x, 0), ∂u∂t (~Σu заданы перемещения ui (~x, t). Требуется найти ~u(~x, t), ε и σ .Итак, постановка задачи:ef∂ 2 uiσij,j + ρFi = ρ ∂t2 ,εij = 12 (ui,j + uj,i ),σij = λθδij + 2µεij .15 уравнений, 15 неизвестных.2Уравнения Ламе. Запишем уравнения движения: σij,j + ρFi = ρ ∂∂tu2i .

Подставим вместо σij его2значение из закона Гука. Получится: λθ,j δij + µεij,j + ρFi = ρ ∂∂tu2i .Воспользуемся равенствами: εij = 12 (ui,j + uj,i ), θ = ui,i = div ~u. Получится: λuk,k + µ(ui,jj + uj,ij ) +2+ ρFi = ρ ∂∂tu2i . Отсюда получаем уравнения Ламе:2~ = ρ ∂ ui .(λ + µ) grad div ~u + µ∆~u + ρF∂t2Статика. Начальных условий нет, σij,j + ρFi = 0.Квазистатика. Всеми динамическими эффектами можно пренебречь. Уравнения те же.Динамика.

Общий случай, то есть все остальное.Вопрос 50. Единственность решения квазистатической задачи теории упругости.При каких λ, µ решение изотропной упругой задачи единственно?1 }, {u2 , ε2 , σ 2 }. Рассмотрим их разность: u = u1 − u2 ,Пусть существуют два решения {u1i , ε1ij , σijii ijijii1212εij = εij − εij , σij = σij − σij . Разность будет решением однородной системы:σij,j = 0;εij = 21 (ui,j + uj,i ),σij = Kθδij + 2µeij .Запишем цепочку равенств:ZZZ0=σij,j ui dV = (σij ui ),j dV −σij ui,j dV =VVVZZZZ=σij ui nj dΣ +σij ui nj dΣ −σij εij dV = −σij εij dV.ΣuΣsVVРаспишем выражение под интегралом:1σij εij = (Kθδij + 2µeij )(eij + θδij ) = Kθ 2 + 2µeij eij .3Решение единственно, если K и µ положительны. Оба отрицательны не бывают.Вопрос 51.

Задачи теории упругости в перемещениях и напряжениях. Уравнения совместностиБельтрами-Мичелла.18Постановка в перемещениях. Следующее равенство вытекает из постановки задачи: λθ,j +2µεij,j ++ ρFi = 0. Заметим, что θ = uk,k , εij = 12 (ui,j + uj,i ). Перепишем равенство: λuk,ki + µ(ui,jj + uj,ij ) ++ ρFi = 0. После приведения подобных получим уравнения Ламе:(λ + µ)uj,ji + µui,jj + ρFi = 0.Векторный вид:~ = 0.(λ + µ) grad div ~u + µ∆~u + ρFПостановка в напряжениях.σij,j + ρFi = 0.Распишем все это: (λ + µ)uj,ij + µui,jj + ρFi = 0. Продифференцируем по xk : (λ + µ)uj,kij + µui,kjj ++ ρFi,k = 0.

Теперь поменяем местами i и k: (λ + µ)uj,ikj + µui,kjj + ρFk,i = 0. Сложим равенства.Получится вот что:2(λ + µ)θik + 2µ∆εik + ρ(Fi,k + Fk,i ) = 0.Теперь применим равенства: θ =σλ+2/3µ ,eij =sij2µ .Получится:2(λ + µ)2µσ,ik + ∆sik +∆σδik + ρ(Fi,k + Fk,i ) = 0.λ + 2/3µ3λ + 2µСвернем по i и k:6µ6(λ + µ)~ = 0.∆σ +∆σ + 2ρ div F3λ + 2µ3λ + 2µОтсюда получится постановка в напряжениях:∆σ = −3λ + 2µρ div F.3(λ + 2µ)Возьмем то, что было перед сверткой, перепишем sik как σik − σδik :2(λ + µ)2µσ,ik + ∆σik − ∆σδik +∆σδik + ρ(Fi,k + Fk,i ) = 0.λ + 2/3µ3λ + 2µВместо ∆σ подставим его значение. Получится:2(λ + µ)3λ + 2µ3λσ,ik + ∆σik +∆σδik + ρ(Fi,k + Fk,i ) = 0.λ + 2/3µ3(λ + 2µ) 3λ + 2µВоспользуемся равенством ν =∆σik +λ2(λ+µ) .Получим уравнения совместимости Бельтрами-Мичелла:ν3σ,ik +δik ρ div F~ + ρ(Fi,k + Fk,i ) = 0.1+ν1−νИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬВопрос 52.

Определение идеальной жидкости. Уравнение движения Эйлера. Форма Громеки-Лэмба.Гидростатика.Идеальная жидкость (или газ) — это среда, в которой тензор напряжений имеет вид: σij = −pδij .Это значит, что вектор напряжений всегда ортогонален площадке — нет сдвиговых деформаций.iУравнения движения. В уравнения движения σij,j + ρFi = ρ dvdt подставим значение σ.

Получатсяуравнения Эйлера:dvi−p,i + ρFi = ρ.dt19Или в векторном виде:~ =ρ− grad p + ρFd~v.dtiВместо dvdt подставим значение из записи в форме Громеки-Лэмба. Получится уравнение Эйлерав форме Громеки-Лэмба:∂~v12~− grad p + ρF = ρ+ rot ~v × ~v + grad |~v | .∂t2dρdtОно содержит 5 неизвестных: ρ, p, vi . Уравнений три. Четвертое — уравнение неразрывности.Гидростатика. Это случай, когда ~v = 0. Из уравнения неразрывности: dρv = 0 получаемdt + ρ div ~~.= 0.

Уравнение Эйлера примет вид: grad p = ρF~ ) = ρ rot F~ +grad ρ× F~.Осталось 2 неизвестных и три уравнения. Значит, сила не любая. 0 = rot(ρF~~~~Пусть F = grad U . Тогда rot F = 0, и получится grad ρ× F = 0, то есть grad ρ||F , или grad ρ|| grad p.Вопрос 53. Совершенный газ. Уравнение Клапейрона.

Связь удельной внутренней энергии и температуры.Выпишем формулу Клапейрона–Менделеева: P = ρRT .Локальное уравнение энергии:ρdu= ρq − div ~q + σij vij .dt3k— теплоемкость при постоянЗаметим, что σij vij = −pδij vij ; ~q = −Λ grad T , u = cv T , где cv = 2mном объеме, k — постоянная Больцмана, m — масса атома газа. Получится:ρcvdT= −p div ~v + ρq + div(Λ grad T ).dtВопрос 54. Баротропные среды. Местная скорость звука. Виды баротропии. Задача о высоте политропной атмосферы.Баротропная среда — это такая, для которой p = p(ρ) или, что то же самое, ρ = ρ(p). Местнойскоростью звука называется c(ρ), определяется из соотношения: c2 (ρ) = dpdρ .Виды баротропии:1) Несжимаемость.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее