Д.В. Георгиевский - Ответы на вопросы по курсу МСС (1183908), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Получаем: V (ρ dvdt − ρFi − σij,j )dV = 0.Отсюда дифференциальная формулировка закона (уравнения движения):σij,j + ρFi = ρdvi.dtИли в векторной форме:~ =ρdiv σ T + ρFfd~v.dtВопрос 31. Закон об изменении момента количества движения (интегральная и дифференциальная формулировки). Симметрия тензора напряжений.Интегральная формулировка закона такова:ZZZd~~x × ρ~v dV =~x × ρF dV +~x × P~ dΣdt VVΣРаспишем все по координатам:ZZZdǫijk xj ρvk dV =ǫijk xj ρFk dV +ǫijk xi Pk dΣdt VVΣRRRdvkdvkdПреобразуем левую часть: dtV ǫijk xj ρvk dV = V ǫijk ρ(xj dt +vj vk )dV = V ǫijk ρxj dt +ǫijk ρvj vk dV .Второе слагаемое равно 0, так как при суммировании по j и k возникнут слагаемые vj vk и −vk vj .Итак,ZZddvkǫijk xj ρvk dV =ǫijk ρxjdV.dt VdtVТеперь преобразуем последний интеграл:ZZZǫijk xj Pk dΣ =ǫijk xj σkm nm dΣ =ǫijk (xj σkm ),m dV =ΣZΣVZ=ǫijk (δjm σkm + xj σkm,m )dV =ǫijk (σkj + xj σkm,m )dV.VVСоберем все вместе.
Получится:Zdvkǫijk (ρxj− xj ρFk − σkj − xj σkm,m )dV = 0.dtVОтсюда дифференциальная формулировка:ρdvk− ρFk − σkm,m = 0.dtТакже как следствие получаем ǫijk σkj = 0. Это говорит, что тензор напряжений симметричен.Вопрос 32. Главные напряжения и главные площадки напряжений в точке. Максимальные касательные напряжения в точке.Главными напряжениями называются собственные значения матрицы σij .
Их обозначают σ1 , σ2 ,σ3 .111) σ1 > σ2 > σ3 . Существуют три различных собственных вектора и три ортогональных им главные площадки.2) σ1 > σ2 = σ3 . Существует двумерное множество собственных векторов и главных площадок.3) σ1 = σ2 = σ3 . Любая площадка является главной.На главных площадках касательные напряжения минимальны. Максимальны касательные напряжения на площадках, которые делят пополам углы между собственными векторами.2n1 = 0, n2 = √12 , n3 = − √12 . Тогда τmax1= 12 σ22 + 12 σ32 − ( 21 σ2 + 12 σ3 )2 = ( 12 σ2 − 12 σ3 )2 . Получилосьτmax1 = 21 (σ2 − σ3 ).Аналогично, τmax2 = 12 (σ1 − σ3 ). τmax3 = 21 (σ1 − σ2 )Вопрос 33. Круги Мора.
Нормальное и касательное напряжения на октаэдрической площадке.Известно, что τmax1 = 12 (σ2 − σ3 ), τmax2 = 12 (σ1 − σ3 ), τmax3 = 21 (σ1 − σ2 ).Глобальным максимумом будет τmax2 . Проще всего показать это с помощью кругов Мора: на оси σ отмечаются числа σ1 , σ2 , σ3 и на каждой пареточек как на диаметре строится круг. Высшие точки этих кругов показываютτmax .Октаэдрическая площадка n1 = n2 = n3 = √13 .
N = 13 (σ1 + σ2 + σ3 ) = σ == −p — среднее гидростатическое напряжение.r√1 21τ=(σ1 + σ22 + σ32 ) − (σ1 + σ2 + σ3 )2 = c τmax1 + τmax2 + τmax339τmaxσ1σ2σ3Вопрос 34. Теорема об энергии (теорема живых сил).iЗапишем закон сохранения импульса в дифференциальной форме: σij,j + ρFi = ρ dvdt . ДомножимR dviRRобе части на vi и возьмем интеграл: V ρ dt vi = V ρFi vi + V σij,j vi dV = 0. Преобразуем первую ипоследнюю часть по отдельности.ZZdvi1 ddKρvi dV =ρ|~v |2 dV =,dt2 dt VdtVRгде K = 21 V ρ|~v |2 dV .ZZZZZσij,j vi dV = (σij vi ),j dV −σij vi,j dV =σij vi nj dΣ −σij vi,j dVVVVΣVПолучим следующее равенство (теорема живых сил):(e)(e)dK = δA1 + δA2 + δA(i) ,RRR(e)(e)где δA1 = dt V ρFi , δA2 = dt Σ σij vi nj dΣ, и δA(i) = −dt V σij vi,j dVТеорема живых сил постулатом не является, но очень похожа, потому будем ее называть постулатом номер четыре.Вопрос 35.
Единая интегральная форма записи законов сохранения физических величин. Изменение, источник, поток и производство величины. Дифференциальные следствия для удельных величин.Все законы сохранения выглядят следующим образом:ZZZZd~ρ · adV =ρAdV +B · ~ndΣ +CdVdt VVΣVRdRdt V ρ · adV — изменение величины a(~x, t).V ρAdV — массовые источники величины a.12R~RΣ B · ~ndΣ — поток величины a через поверхность.V CdV — производство величины a.Распишем это для всех законов:aAB · ~nCI1~v0P~0II0F~III~x × ~v~~x × F~ · ~vF~x × P~P~ · ~v0F~ · ~v + qP~ · ~v − ~q~nIVV|v|22u+|v|220−σ : vff0qqi niqi T,i−− 2TTTДифференциальными следствиями являются:vTT~3 закона (постулата) МСС dρv = 0, ρ d~dt + ρ div ~dt = Div σ + ρF , σ = σ ;VIsfffq + σij vij , ρ dsлокальные уравнения энергии и энтропии ρ dudt = ρq − div ~dt =1T (ρq− div ~q).Вопрос 36.
Неизотермические процессы. Первый закон термодинамики (интегральная и дифференциальная формулировки). Локальное уравнение энергии.Изотермические процессы — процессы, которые происходятпри постоянной температуре.RПусть u(~x, t) — удельная внутренняя энергия, U = V ρudV — внутренняя энергия, q(~x, t) —мощность массовых источников тепла (например, экзотермическая химическая реакция).
Пусть ~q —вектор потока тепла.Имеет место следующее равенство (первый закон термодинамики):ZZZ d|~v |2~ · ~v + q dV +ρ u+dV =ρ FP~ · ~v − ~q~n dΣ.dt V2VΣЕго можно переписать в следующем виде:(e)(e)dK + dU = δA1 + δA2 + δQ,RRгде δQ = dt( V ρqdV − Σ ~q · ~ndΣ).Вычтем из этого равенства равенство из теоремы живых сил. ПолучимδU = δQ − δA(i) .RRRdРаспишем это равенство: dtq )dV + V σ : v dV, откуда вытекает равенство,V ρudV = V (ρq − div ~ffназываемое локальным уравнением энергии:ρdu= ρq − div ~q + σij vij .dtВопрос 37. Второй закон термодинамики (интегральная и дифференциальная формулировки).
Локальное уравнение энтропии.Обозначим за s(~x, t) удельную энтропию.Интегральная формулировка закона:ZZZZqi T,idρqqi niρsdV =dV −dΣ −dV.2dt VV TΣ TV TRR ρqR qiR qi T,iРаспишем ее: V ρ dsdV=dV−()dV−,idt RV TV TV T 2 dV. Объединим два последних интеграла. ПоR1лучится V ρ dsdV=(ρq−divq~)dV.Отсюдаследуетдифференциальная формулировка(локальноеdtV Tуравнение энтропии):ds1ρ = (ρq − div ~q).dtT13Вопрос 38.
Производство энтропии. Неравенство Клаузиуса. Закон теплопроводности Фурье.Тензор теплопроводности.Закон теплопроводности Фурье состоит в следующем:~q = − Λ · grad T,fгде Λ — тензор теплопроводности.fПроизводством энтропии называется следующая величина:ZZqi T,iΛij T,i T,j−dV=dV.2TT2VVНеравенство Клаузиуса состоит в том, что в изолированной системе производство энтропии неотрицательно.ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХСООТНОШЕНИЙВопрос 39. Термодинамические потенциалы. Термодинамические независимые и зависимые пары.Понятие определяющих соотношений сплошной среды. Материальные функции.1) Выпишем локальное уравнение энергии: ρ duq + σij vij и локальное уравнение энтроdt = ρq − div ~1=(ρq−divq~).Изнихследуетследующееравенство:пии: ρ dsdtTρdsdu= σij vij + T ρ .dtdtЗаметим, что vij dt = dεij . Получим:ρdu = σij dεij + T ρds.Если задача не изотермическая, то ( ε , s) — пара независимых термодинамических параметров.eЧерез них можно выразить ( σ , T ) — зависимые параметры — следующим образом:fσij = ρ∂u,∂εij∂u.∂s2) Пара независимых параметров — ( ε , T ).
f = f ( ε , T ) = u−sT — удельная энергия Гельмгольца.T =eeПродифференцируем формулу. Получим: ρdf = ρdu−ρsdT −ρT ds = σij dεij −ρsdT . Из этого равенстваможно выразить зависимые параметры:dfσij = ρ,dεij∂f.∂T3) Независимые параметры — ( σ , s). Удельная энергия Гиббса: g = g(σ, s), ρg = ρu − σij εij .s=−fПродифференцируем равенство: ρdg = ρdu − σij dεij − εij dσij .Подставим из первого пункта: T ρds = ρdu − σij dεij . Получится:ρdg = −εij dσij + T ρds.∂gОтсюда можно выразить зависимые параметры: εij = −ρ ∂σ,T =ij14∂g∂s .4) Независимые параметры — ( σ , T ). Удельная энтропия: h = h(σ, T ), ρh = ρu − σij εij − sT ρ.fПродифференцируем: ρdh = ρdu − σij dεij − εij dσij − ρsdT − ρT ds.
Из пункта 1) ρdu − σij dεij − ρT ds == 0. Получается:ρdh = −εij dσij − ρsdT.Можно выразить зависимые параметры:εij = −ρs=−∂h,∂σijdh.dTВопрос 40. Физически линейные и нелинейные среды. Принцип суперпозиции.Отныне считаем ( ε , T ) независимыми параметрами.eСреда называется физически линейной, если в этой среде зависимость σ = σ ( ε , T ) являетсяfлинейной. В такой среде выполняется принцип суперпозиции.f eВопрос 41. Однородные и неоднородные среды. Композиты и их структурная классификация.Среда называется однородной, если в выражениеσ = σ ( ε (~x, t), T (~x, t), ~x)ff eявно не входят координаты.Неоднородность бывает непрерывная и разрывная (непрерывность/разрывность функции по координатам).
Разрывно-неоднородные среды называются композитами.Композиты бывают слоистые, волокнистые и зернистые.Вопрос 42. Склерономные и реономные среды.Реономные среды: σ = σ ( ε (~x, t), T (~x, t), t). Зависимость может быть интегральной, дифференff eциальной . . .Склерономные: σ = σ ( ε (~x, t), T (~x, t)) — нет явной зависимости от времени.ff eВопрос 43.
Упругие тела и вязкие жидкости.Для упругого тела в любой момент времени независимыми параметрами являются ε и T в этотeже момент времени.Для вязкой жидкости в любой момент независимыми параметрами являются скорость тензорадеформации и температура, то есть ε̇ и T в этот момент.eЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИВопрос 44. Определяющие соотношения в линейной теории упругости.
Тензор модулей упругости.Тензор термомеханической связанности. Теплоемкость при постоянной деформации.Тело называется линейно-упругим, если зависимость σ от ε и T является линейной.Запишем закон Гука для термоупругого тела:feσij = Cijkl εkl − βij (T − T0 ).Обозначим T − T0 = ϑ.15Тензор C = Cijkl~ei ⊗~ej ⊗~ek ⊗~el называется тензором модулей упругости.
Он обладает следующимиffсимметриями: Cijkl = Cjikl , Cijkl = Cklij , Cijkl = Cijlk . В связи с этим тензор модулей упругости имееттолько 21 различную компоненту.Тензор β = βij ~ei ⊗ ~ej называется тензором термомеханической связанности. Он является симметfричным.∂fЗная, что σij = ρ ∂ε(f — удельная свободная энергия Гельмгольца), перепишем закон Гука:ijρf = 21 Cijkl εij εkl − βij εij (T − T0 ) + η(T ).∂fВоспользуемся равенством: s = − ∂Tи продифференцируем закон Гука по T : ρs = βij εij −d2 ηd2 ηdηdT .dsДифференцируя равенство, получим ρds = βij dεij − dT 2 dT , откуда ρ dT= − dT 2 .dsВведем обозначение: ρT ( dT )ε=const = Cε — теплоемкость при постоянной деформации.d2 ηdηCεTМожно заметить соотношение: ρ dsdt = T = − dT 2 , откуда − dT = Cε ln T0 .
Получим тождество(определяющее соотношение):Tρs = βij εij + Cε ln .T0Вопрос 45. Закон Гука для анизотропного термоупругого тела. Уравнение притока тепла. Замкнутая система уравнений.dsiq.Запишем уравнение движения в МСС: σij,j + ρFi = ρ dvdt и уравнение энтропии: ρT dt = ρq − div ~Подставим в них определяющие соотношения для σ и s. Получатся следующие два равенства:f(Cijkl εkl ),j − (βij ϑ),j + ρFi = ρTd2 ui,dt2ddT(βij εij ) + T Cε ln= ρq − div ~q.dtdt T0Воспользуемся законом Фурье ~q = − Λ · grad T и следующим равенством: Cijkl εkl = Cijkl 12 (uk,l +f+ ul,k ) = 21 (Cijkl uk,l + Cijkl ul,k ) = Cijkl uk,l .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
