Д.В. Георгиевский - Ответы на вопросы по курсу МСС (1183908)
Текст из файла
Ответы на вопросы по курсу«Механика сплошной среды»1Татьяна Антонова221 января 2008 г.122007/08 учебный год, 5 курс, 1 поток. Лектор — проф. Д.В. Георгиевский.TEXническую поддержку оказывал Облаков Константин.ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ ИТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗАВопрос 1. Виды произведений векторов и тензоров второго рангаВ прямоугольной системе координат базисные векторы обозначаются через ~ei . Знак суммированияот одного до трех мы будем опускать.
Запись ~a = ai~ei означает ~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 .Символом Леви–Чивиты обозначается следующая функция: ǫijk = 1, если перестановка ijk —четная, ǫijk = −1, если перестановка нечетная, ǫijk = 0, если среди чисел ijk есть повторяющиеся.Произведения векторов бывают следующие:1) Скалярное произведение.~a · ~b = ai~ei · bj ~ej = ai bj δij = ai bi2) Векторное произведение.~a × ~b = ai~ei × bj ~ej = ai bj ǫijk~ek3) Тензорное произведение (диада).~a ⊗ ~b = ~a~b = ai~ei ⊗ bj ~ej = ai bj ~ei ⊗ ~ejТензоры второго ранга будем обозначать большими латинскими буквами с тильдой внизу A =f= Aij ~ei ⊗ ~ejПроизведения тензоров второго ранга бывают следующие:1) Скалярное произведение.A · B = Aij ~ei ⊗ ~ej · Bkl~ek ⊗ ~el = Aij Bkl~ei ⊗ ~el δjk = Aij Bjl~ei ⊗ ~elffЭто произведение соответствует перемножению матриц.2) Полная свертка.A : B = Aij Bkl δjk δil = Aij BjiffЭто след произведения матриц A и B .3) Векторное произведение.ffA × B = Aij Bkl~ei ⊗ ~ej × ~ek ⊗ ~el = Aij Bkl δil ǫjkm~em = Aij Bki ǫjkm~emff~ Дивергенция, ротор, градиент и оператор Лапласа вектора и тенВопрос 2.
Оператор набла ∇.зора второго ранга.~ = ~ei ∂i , ∂i = ∂ . Такие операции какОператором набла называется следующая комбинация: ∇∂xiдивергенция, ротор и градиент получаются в результате различных произведений вектора набла нанекий вектор или тензор второго ранга.~ с вектором и тензором второго ранга:Произведения ∇1) Скалярное.~ · ~a = ~ei ∂i · aj ~ej = aj,i δij = ai,i = div(~a)∇~ · A = ~ei ∂i · Ajk~ej ⊗ ~ek = Ajk,i~ek δij = Ajk,j ~ek = Div( A )∇ff2) Векторное произведение.~ × ~a = ∂i~ei × aj ~ej = aj,i ǫijk~ek = rot(~a)∇~ × A = ~ei ∂i × Ajk~ej ⊗ ~ek = ǫijm Ajk,i~em ⊗ ~ek = Rot( A )∇ff13) Тензорное произведение.~ ⊗ ~a = ~ei ∂i ⊗ aj ~ej = aj,i~ei ⊗ ~ej = Grad(~a)∇Тензорное произведение вектора набла с тензором второго ранга не рассматривается, зато рассматривается тензорное произведение со скалярной функцией:~ ⊗ p = p,i~ei = grad(p)∇~ ∇~ = ∂ 2 +∂ 2 +∂ 2 .
РассмотримОператор Лапласа — это скалярный квадрат оператора набла: △ = ∇·12322∂ p∂2p∂ pприменение оператора Лапласа к скалярной функции: △p = ∂x++2∂x2∂x2123Вопрос 3. Разложение тензора второго ранга на девиатор и шаровую частьШаровой частью тензора называется следующее выражение:11Akk~ei ⊗ ~ei = tr A ~ei ⊗ ~ei .33 fРазность тензора и его шаровой части называется девиатором:Ā = A −ff1tr A ~ei ⊗ ~ej3 fШаровая часть девиатора равна нулю.Вопрос 4. Собственные значения и собственные векторы симметрического тензора второго ранга.Все собственные значения симметрического тензора второго ранга вещественны.
Можно найтиортогональный базис из собственных векторов.Вопрос 5. Инварианты тензора второго ранга. Теорема Гамильтона–Кэли.Построим характеристический многочлен матрицы, задающей данный тензор. Его коэффициентыбудут инвариантны относительно замен базиса. Если подставить матрицу в её характеристическиймногочлен, получится 0.Вопрос 6. Полиада. Тензоры четвертого ранга.
Единичный тензор четвертого ранга.При тензорном произведении тензоров второго ранга получается тензор четвертого ранга. Может,это произведение они называются полиадой. В общем, так:A ⊗ B = Aij Bkl~ei ⊗ ~ej ⊗ ~ek ⊗ ~el = Cijkl~ei ⊗ ~ej ⊗ ~ek ⊗ ~el = CffffЕдиничным называется следующий тензор ∆ четвертого ранга: ∆ijkl = 21 (δik δjl + δil δjk )ffВопрос 7. Потенциальные и соленоидальные векторные поля. Циркуляция вдоль контура. Потокчерез поверхность.Векторное поле ~v называется потенциальным, если существует функция ϕ, называемая потенциалом, такая что ~v = grad ϕ. В таком случае rot ~v = 0.
Поверхности, на которых ϕ = const, называютсяэквипотенциальными.Векторное поле ~v называется соленоидальным, если существует функция ψ, такая что ~v = rot ψ.В таком случае div ~v = 0.Циркуляцией векторного поля ~a вдоль контура Γ называется следующее выражение:I−→~a dlΓ.Потоком векторного поля через поверхность Σ называетсяZ~a · ~ndΣΣ2Вопрос 8. Теорема Остроградского–Гаусса. Теорема Стокса.В лекции было без доказательств. Надеюсь, на экзаменах будет так же.Теорема Гаусса–Остроградского.
Пусть V — некий объем, ограниченный поверхностью Σ, ~a —векторное поле. Имеет место равенство:ZZdiv ~adV =~a · ~ndΣVΣТеорема Стокса. Пусть Σ — поверхность, затягивающая контур Γ, ~a — векторное поле. Имеетместо равенство:IZ−→~a dl =rot ~a · ~ndΣΓΣВопрос 9.
Криволинейные координаты. Фундаментальная матрица. Символы Кристоффеля.В криволинейных координатах радиус-вектор зависит от точки не линейно. ~r = ~r(y 1 , y 2 , y 3 ). Ло∂~rкальным ковариантным базисом называется следующий набор векторов: ~ki = ∂yi~~Фундаментальной матрицей называется матрица с элементами gij = ki · kj , Обратная к ней мат-рица состоит из элементов gij .Векторы в криволинейной системе координат можно дифференцировать по координатам.
Длязаписи этих производных используются символы Кристоффеля Γijk .d~v∂v i∂~ki∂v i= k ~ki + vi k = k ~ki + vi Γjik~kj .dyk∂y∂y∂yТакое дифференцирование называется ковариантным.Вопрос 10. Ковариантное дифференцирование компонент вектора и тензора второго ранга. Физические компоненты.Про дифференцирование — см.
выше. Про тензоры напишу, когда откопаю конспекты по дифгему.Физические компоненты векторов и тензоров второго ранга определяются следующим образом:aαaΦα = √gααΦBαβ=√Bαβgαα gββВсе физические компоненты имеют одинаковую размерность (что ценно при решении задач).КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫВопрос 11. Лагранжево и Эйлерово описания движения сплошной среды. Их эквивалентность.Для каждой точки среды зададим два набора координат: эйлеровы и Лагранжевы координаты.Лагранжевы координаты обозначаются ξi и представляют собой евклидовы координаты той точки пространства, в которой данная точка среды находилась в момент t = 0. Лагранжевы координатыявляются постоянными для данной точки среды. Они в общем случае криволинейны, так как современем среда могла как угодно деформироваться.Эйлеровы координаты — координаты той точки, в которой данная точка среды находится в данный момент.
Они зависят от лагранжевых координат и времени xi = xi (ξ1 , ξ2 , ξ3 , t). Вектор, соединяющий начальное и конечное положение точки среды, называется вектором перемещения и обозначается~u.~ t). На функцию ~x накладываютЛагранжево описание состоит в задании закона движения ~x = ~x(ξ,следующие условия:31) ∂xi ~ ∂ξj (ξ, t) 6= 0— условие непрерывности среды.~ 0) — вытекает из определения Эйлеровых и Лагранжевых координат.2) ξ~ = ~x(ξ,Эйлерово описание состоит в задании поля скоростей ~v (x1 , x2 , x3 , t).iДля перехода от Лагранжева описания к Эйлерову необходимо найти производные dxdt и обратить~ а от ~x.закон движения, чтобы поле скоростей зависело не от ξ,Для перехода от Эйлерова описания к Лагранжеву необходимо решить систему дифференциальiных уравнений: dxx, t). Граничными условия будут условия xi (0) = ξidt = vi (~Так как и тот, и другой переход осуществляется единственным способом, Лагранжев и Эйлеровподходы эквивалентны.Вопрос 12.
Полная, частная и конвективная производные по времени. Установившееся и неустановившееся движение. Запись ускорения в форме Громеки-Лэмба.Движение называется установившимся, если поле скоростей ~v = ~v (x), то есть не зависит явнымобразом от времени.Ускорениеd~vd2 uw~== 2dtdtwi (~x, t) =d∂vi∂vi dx1∂vi dx2∂vi dx3vi (~x, t) =+++dt∂t∂x1 dt∂x2 dt∂x3 dt∂x, t)∂t vi (~называется частной производной по времени,производной, все вместе — полной производной.Представление ускорения в форме Громеки-Лэмбаui =∂vi dx1∂x1 dt+∂vi dx2∂x2 dt+∂vi dx3∂x3 dt— конвективнойdvi∂vi=+ vi,j vj − vj,i vj + vj,i vj ,dt∂tvi,j vj − vj,i vj = rot ~v × ~v1grad |~v |22Таким образом, получаем следующее представление:vj,i vj =w~ =∂~v1+ rot ~v × ~v + grad |~v |2∂t2Вопрос 13.
Меры деформации. Лагранжев и эйлеров тензор конечных деформаций.~ 2 = ∂xi dξk ∂xi dξl − dξi dξi =|d~x| − |dξ|∂ξk∂ξl2∂xi ∂xi~ t)dξk dξl− δkl dξk dξl = 2Lkl (ξ,∂ξk ∂ξl~ t) — лагранжев тензор конечных деформаций.Lkl (ξ,∂ξi ∂ξi∂ξi ∂ξi22~|d~x| − |dξ| = dxi dxi −dxk dxl = δkl −dxk dxl = 2Ekl (~x, t)dxk dxl∂xk ∂xl∂xk ∂xlEkl (~x, t) — эйлеров тензор конечных деформаций (тензор Альманзи).Лагранжев и эйлеров тензоры конечных деформаций связаны следующим соотношением:Lij dξi dξj = Ekl dxk dxl .Если представить xi как ui + ξi и раскрыть все скобки, тензор Лагранжа примет следующий вид:1 ∂ui ∂ui ∂uk∂ulLkl =++2 ∂ξk ∂ξl∂ξl∂ξk4Если проделать аналогичную операцию с эйлеровым тензором, считая ξi = xi − ui , получим1 ∂ul∂uk∂ui ∂uiEkl =+−2 ∂xk∂xl∂xk ∂xlВопрос 14.
Тензоры Коши и Альманзи. Их связь с тензором дисторсии.Тензор Альманзи — это то же, что эйлеров тензор конечных деформации. Представим его так:1 ∂ul∂uk∂ui ∂uiEkl =+−2 ∂xk∂xl∂xk ∂xlПусть деформации малы настолько, что можно пренебречь слагаемымконечных деформаций Коши1εkl = (uk,l + ul,k ).2Тензором дисторсии называется следующее выражение:∂ui ∂ui∂xk ∂xl .Получаем тензорu = uij ~ei ⊗ ~ej ; uij = ui,jfТензор Коши является симметричной частью тензора дисторсии.Вопрос 15. Бесконечно малые деформации. Геометрическая линейность. Соотношения Коши.Не поняла, о чем здесь нужно рассказывать.Вопрос 16. Тензор поворотов.
Вектор поворотов. Формулы Чезаро.Тензором поворотов называется антисимметричная часть тензора дисторсии. Он обозначается wijuij = εij + wij1wij = (ui,j − uj,i )2Тензор поворотов антисимметричен, потому у него только три независимые компоненты. Емуможно поставить в соответствие вектор поворотов w~ = 12 ǫijk wkj ~ei .Формулы Чезаро(1)Пусть имеются две точки p1 и p2 среды, в точке p1 известно значение перемещения ui и тензора(1)(2)поворотов wij , задан тензор малых деформаций Коши.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
