Главная » Просмотр файлов » Д.В. Георгиевский - Ответы на вопросы по курсу МСС

Д.В. Георгиевский - Ответы на вопросы по курсу МСС (1183908), страница 2

Файл №1183908 Д.В. Георгиевский - Ответы на вопросы по курсу МСС (Д.В. Георгиевский - Ответы на вопросы по курсу МСС.pdf) 2 страницаД.В. Георгиевский - Ответы на вопросы по курсу МСС (1183908) страница 22020-08-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Требуется найти ui — значение перемещенияв точке p2 .Соединим точки кривой, полностью лежащей внутри среды. Верно следующее соотношение:Z p2Z p2Z p2(1)(2)(1)ui = ui +ui,k dxk = ui +εik dxk +wik dxkp1p1p1Из трех слагаемых неизвестным является только последнее.Выпишем следующее соотношение:Z p2Z p2Z p2Zwik xk dxl=wik δkl dxl +wik,l xk dxl =p1,lp1C другой стороны,Zp1p2wik xk dxlp1(2) (2),lp2wik dxk +p1(1) (1)= wik xk − wik xk .5Zp2wik,l xk dxlp1Отсюда получаем следующее:Z p2Z(2) (2)(1) (1)wik dxk = wik xk − wik xk −p2wik,l xk dxl =Z p2(2) (2)(1) (2)(1) (2)(1) (1)= wik xk − wik xk + wik xk − wik xk −wik,l xk dxl =p1Z p2Z p2(1) (2)(1)(2)= wik (xk − xk ) +xk wik,l dxl −xk wik,l dxl =p1p1Z p2(1) (2)(1)(2)= wik (xk − xk ) −(xk − xk )wik,l dxl .p1p1p11wik,l = (ui,kl − uk,il ) = εil,k − εkl,i2Объединяя результаты, получаем:Z p2(2)(1)(1) (2)(1)(2)ui = ui + wik (xk − xk ) −[(xk − xk ) · (εil,k − εkl,i ) − εil ]dxl .p1Эти формулы носят название формул Чезаро.Вопрос 17.

Условия совместности деформаций в интегральной и дифференциальной формах. Тождества Сен-Венана(2)Введем новое обозначение: Ail = (xk − xk ) · (εil,k − εkl,i ) − εil .Рассмотрим некий замкнутый контур Γ, полностью лежащий в среде, и применим к нему формулыH(2)(1)Чезаро. Так как начало пути совпадает с концом, ясно, что ui = ui . Отсюда получаем Γ Ail dxl = 0.По теореме СтоксаIZZ−→~a dl =rot~a · ~ndΣ =ǫijk ak,j · ni dΣ,ΓΣΣа значит,0=IAil dxl =Γ==ZΣZΣZΣ(2)ǫnjl Ail,j · ~nn dΣ =ǫnjl [(xk − xk ) · (εil,k − εkl,i ) − εil ],j · ~nn dΣ =(2)ǫnjl [δjk (εil,k − εkl,i ) + (xk − xk ) · (εil,kj − εkl,ij ) − εil,j ]nn dΣОтсюда получаем интегральную форму условия совместности деформаций (куда Георгиевскийдел εjl,i , я поняла c трудом: ǫnjl εjl,i = 0 в силу симметричности ε):Z(2)ǫnjl (xk − xk ) · (εil,kj − εkl,ij )nn dΣ = 0ΣДифференциальная форма условия выглядит так: ǫnjl (εil,kj − εkl,ij ) = 0.

Такое условие являетсядостаточным.Положим n = 1. Получим ǫ1jl (εil,kj − εkl,ij ) = 0. Индексы jl равны либо 23, либо 32. Получимεi3,k2 − εk3,i2 − εi2,k3 + εk2,i3 = 0.Для индексов i и k только два варианта их значений имеют принципиальное различие.1) i = 2, k = 3. Получаемε23,32 − ε33,22 − ε22,33 + ε32,23 = 0;ε22,33 + ε33,22 = 2ε23,32 .2) i = 1, k = 2. Получаемε13,22 − ε23,12 − ε12,23 + ε22,13 = 0;ε13,22 + ε22,13 = ε12,23 + ε23,12 .6Обобщим на случай произвольных индексов. Получим два условияεαα,ββ + εββ,αα = 2εαβ,αβ ;εαα,βγ + εβγ,αα = εβα,αγ + εγα,αβЭти условия называются условиями Сен-Венана.Вопрос 18.

Физический смысл компонент тензора деформации. Главные деформации.Введем обозначение li =dξi|dξ| .В таком случае верны следующие равенства:|d~x|2= 1 + 2εij li lj~2|dξ||d~x| =p~1 + 2εij li lj |dξ|Рассмотрим различные случаи:1) Деформации происходили только в направлении x1 , то есть li = δ1i . В таком случаеp~ ≈ (1 + ε11 )|dξ|,~|d~x| = 1 + 2εij li lj |dξ|ε11 =.~|d~x| − |dξ|~|dξ|Таким образом, ε11 — относительное изменение длины волокна, которое до деформации лежалов направлении x1 .2) Рассмотрим изменение объема среды.dV0 = dξ1 dξ2 dξ3 ;dV = dx1 dx2 dx3 ;dV = (1 + ε11 )dξ1 (1 + ε22 )dξ2 (1 + ε33 )dξ3 ≈ (1 + ε11 + ε22 + ε33 )dV0 .Таким образом,tr ε = εii = div ~u =edV − dV0−dV0относительное изменение объема.3) Рассмотрим волокна dξ~{2} , dξ~{3} , лежащие вдоль осей ξ2 и ξ3 соответственно.

При деформацииони перешли в волокна d~x{2} , d~x{3} . Найдем косинус угла между ними:\cos(dx{2}, dx{3} )≈{2}{3}ui,j dξj dξi{2}{2}{3}{3}(dξi + dui )(dξi + dui )dx{2} · dx{3}==≈{2}{3}|dx ||dx |(1 + ε22 )|dξ {2} |(1 + ε33 )|dξ {3} |{3}{2}+ ui,j dξj dξi|dξ {2} ||dξ {3} |= ui,j δj2 δi3 + ui,j δj3 δi2 = 2ε23 .Таким образом, ε23 — половина косинуса угла между волокнами, лежащими в направлениях ξ2 и ξ3 .Вопрос 19. Линии уровня. Векторные линии.

Линии тока и траектории частиц.Изолиниями, или линиями уровня данной функции называются кривые, на которых данная функция постоянна. Векторными линиями данного векторного поля называются линии, которых векторноеполе касается в каждой точке.Пусть имеется поле скоростей ~v = vi~ei . Линиями тока называются векторные линии этого поля.Уравнения линий тока:dx1dx2dx3==v1 (~x, t0 )v2 (~x, t0 )v3 (~x, t0 )7Траекторией частицы называется ГМТ, заметаемых радиус-вектором частицы.

Уравнения траекторий:dx1dx2dx3=== dtv1 (~x, t)v2 (~x, t)v3 (~x, t)Линии тока совпадают с траекториями частиц только тогда, когда~v|~v|не меняется со временем.Вопрос 20. Трубки тока и струи. Элементарные трубки тока. Тензор скоростей деформации.Тензор вихря. Вектор вихря.Трубка тока — это объединение линий тока, проходящих через все точки данного контура. Струя —то же самое, только с траекториями.Элементарная трубка тока — это, вроде, когда маленький отрезок контура взяли. Но я не уверена.Рассмотрим дифференциал dvi = vi,j dxj . Получился тензор. Разложим его на симметричную иантисимметричную часть: vi,j = vij + Ωij .vij = 12 (vi,j + vj,i ) — тензор скоростей деформаций;Ωij = 12 (vi,j − vj,i) — тензор вихря.

Он имеет три различных ненулевых компоненты, и потому ему~ = Ωi~ei ; Ωi = 1 ǫijk Ωkjможно поставить в соответствие вектор: Ω2Вопрос 21. Первая теорема Гельмгольца.Заметим некоторые связи между тензорами v , Ω , ε , w . Запишем производную перемещения:ffefdui = vi dt. Разлагая обе части на симметричную и антисимметричную часть, получим: dεij = vij dt;dwij = Ωij dt.Выразим тензор вихря через вектор вихря: ǫimn Ωi = 12 ǫimn ǫijk Ωkj = 21 (δmj δnk − δmk δnj )Ωkj == 21 (Ωnm − Ωmn ) = ΩnmТеперь подставим все это в выражение для dvi :dvi = vij dxj + Ωij dxj = ǫkjiΩk dxj + vij dxj .Получим равенство:~ × d~x] + v d~x.d~v = [ΩfМы доказали первую теорему Гельмгольца.Вопрос 22.

Вихревые линии. Вихревые трубки. Интенсивность вихревой трубки. Вторая теоремаГельмгольца.~ Векторные линии этого поля называются вихревыми линиями,Рассмотрим векторное поле Ω.векторные трубки — вихревыми трубками.~ через ~v :Выразим вектор ΩΩi =111111ǫijk Ωkj =ǫijk (vk,j − vj,k ) = (ǫijk vk,j + ǫikj vj,k ) = ǫijk vk,j = rot ~v222422~ соленоидально, значит, его дивергенция рана нулю.Получается, поле ΩРассмотрим объем, заключенный между двумя сечениями Σ1 и Σ2 некой вихревой трубки, изапишем для него теорему Гаусса-Остроградского:ZZZZ~~~~ · ~ndΣ0=div ΩdV =Ω · ~ndΣ +Ω · ~ndΣ −ΩVSδokΣ1Σ2Первое слагаемое равно нулю, так как поток через боковую поверхность отсутствует.

Отсюдаполучаем вторую теорему Гельмгольца: поток вектора вихря через любое сечение вихревой трубкиравен одной и той же величине, называемой интенсивностью вихревой трубки.Z~ · ~ndΣi=ΩΣВопрос 23. Кинематическая теорема Кельвина8Пусть γ — некий путь, соединяющий точки A и B. Имеет место следующее:ZZZZZZdd~vd1~v d~x =d~x + ~v (d~x) = wd~~ x + ~v d~v = wd~~ x + (|vB |2 − |vA |2 )dt γ2γ dtγ dtγγγРАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАСС И СИЛ ВСПЛОШНОЙ СРЕДЕВопрос 24. Плотность.

Закон сохранения массы (интегральная формулировка). Производная повремени от интеграла по движущемуся "жидкому" объему.Плотностью в точке будем называть следующую величину:lim△V →0△m= ρ(~x, t).△VБудем рассматривать только те случаи, когда предел существует. Массой называется интеграл плотности:Zρ(~x, t)dV = MV"Жидким объемом" будем называть объем, который состоит из одних и тех же точек среды. Для"жидкого объема" постулируем закон сохранения массы:Zdρ(~x, t)dV = 0dt VВопрос 25. Уравнение неразрывности в эйлеровых и лагранжевых координатах.

Условие несжимаемости. Несжимаемые среды. Лемма "об игнорировании плотности".Распишем интегральную форму закона сохранения массы:ZZZZdddρd(dV )0=ρ(x, t)dV =(ρdV ) =dV +ρdt VdtdtdtVVVdV = dx1 dx2 dx3d(dxα )= vαα dxαdtd(dV )= tr( v )dV = div ~v dVdtfZ dρ0=+ ρ div ~v dVdtVОтсюда получаем дифференциальную форму закона сохранения масс — уравнение неразрывности вэйлеровых координатах:dρ+ ρ div ~v = 0.dt−dV0Запишем равенство: ρdV = ρ0 dV0 . Заметим, что dVdV= tr ε = θ — дилатация.

Получим закон0eсохранения массы в лагранжевых координатах ρ(1 + θ) = ρ0Несжимаемой называется среда, для которой dρdt = 0. Из уравнения неразрывности следует условиенесжимаемости: div ~v = 0Лемма об игнорировании плотностиZZdda(ρa)(x, t)dV =ρ dVdt VdtVДоказательство: ZZZ ZZZdda dρd(dV )dρdada(ρa)(x, t)dV =ρ + a dV + aρ=a+ ρ div ~v + ρ dV =ρ dVdt VdtdtdtdtdtdtVVVVV9Вопрос 26. Количество движения (импульс), момент количества движения (момент импульса)и кинетическая энергия в сплошной среде.RИмпульс: Σγ △mν ~v (xR ν ) → V (ρ~v )(~x, t)dV .Момент импульса: V ~x × (ρ~v )dVR .1Кинетическая энергия: K = 2 V ρ|~v |2 dV .Вопрос 27.

Объемные и массовые силы. Поверхностные силы. Вектор напряжения в точке наплощадке.К массовым силам относятся силы гравитации и инерции. Они приложены в центре масс. Силаобозначается [R] = M LT −2 .~ x, t) = lim△V →0 △R ; [X] = M L−2 T −2 .Объемная сила X(~△V~ (~x, t) = lim△V →0 △R = 1 X;~ [F ] = LT −2Массовая сила F△mρВсе прочие силы относятся к поверхностным. Они вычисляются на единице площади: P~ =~R−1 −2 — вектор напряжения в момент t в точке ~x на площадке с нормалью= lim△Σ→0 ∆∆Σ ; [P ] = M L T~n.Вопрос 28. Выражение вектора напряжения на наклонной площадке через векторы напряженийна координатных площадках.

Тензор напряжения Коши.На осях Ox1 , Ox2 , Ox3 соответственно лежат точки B1 B2 B3 . Получился тетраэдр 0B1 B2 B3 . Введем обозначения для его граней:B1 OB2 = ∆Σ(3)B2 OB3 = ∆Σ(1)P~ (n)B1 OB3 = ∆Σ(2)P~ (2)B1 B2 B3 = ∆Σ(1)~PИм соответствуют напряжения P~ (1) , P~ (2) , P~ (3) и P~ (n) (~n — нормальк площадке ∆Σ ).P~ (3)Напишем второй закон Ньютона: w~ l ∆m = F~ ∆m + P~ (1) ∆Σ(1) ++ P~ (2) ∆Σ(2) + P~ (3) ∆Σ(3) + P~ (n) ∆Σ. Разделим обе части равенства на~ ) 1 ρ∆h = ΣP~ (k) ∆Σ(k) + P~ (n) .∆Σ. Получится (w~l − F3∆ΣУстремим ∆h к нулю, не меняя нормали к площадке.

Левая часть обратится в ноль. Заметим,(k)что ∆Σ∆Σ = nk . Получим:P~ (n) + ΣP~ (k) nk = 0.(j)Введем тензор напряжений Коши σ : σij = −Pi . Получим выражения для напряжения:f(n)Pi= σij njВопрос 29. Нормальное и касательное напряжение в точке на площадке.Напряжение в точке на площадке можно разложить на нормальную и касательную составляющую.

Нормальная составляющая (нормальное напряжение) пишется так: N (n) = P~ (n)~n = σij ni nj .Касательное напряжение можно найти по теореме Пифагора, зная общее и нормальное напряжение:qq(n) (n)(n)τ (n) = |P~ (n) |2 − (N (n) )2 = Pi Pi − (Pi ni )2 ,(τ (n))2 = σik nk σil nl − (σjk nj nk )2 .ПОСТУЛАТЫ МССВопрос 30. Закон об изменении количества движения (интегральная и дифференциальная формулировки). Уравнения движения.10Интегральная формулировка закона такова:ZZZd~ρ~v dV =ρF dV +P~ dΣ.dt VVΣВыведем из нее дифференциальную формулировку:ZZddviρvi dV =ρdV.dt VdtVRRRRiУчтем еще равенство Σ Pi dΣ = Σ σij nj dΣ = V σij,j dV .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее