Д.В. Георгиевский - Ответы на вопросы по курсу МСС (1183908), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Требуется найти ui — значение перемещенияв точке p2 .Соединим точки кривой, полностью лежащей внутри среды. Верно следующее соотношение:Z p2Z p2Z p2(1)(2)(1)ui = ui +ui,k dxk = ui +εik dxk +wik dxkp1p1p1Из трех слагаемых неизвестным является только последнее.Выпишем следующее соотношение:Z p2Z p2Z p2Zwik xk dxl=wik δkl dxl +wik,l xk dxl =p1,lp1C другой стороны,Zp1p2wik xk dxlp1(2) (2),lp2wik dxk +p1(1) (1)= wik xk − wik xk .5Zp2wik,l xk dxlp1Отсюда получаем следующее:Z p2Z(2) (2)(1) (1)wik dxk = wik xk − wik xk −p2wik,l xk dxl =Z p2(2) (2)(1) (2)(1) (2)(1) (1)= wik xk − wik xk + wik xk − wik xk −wik,l xk dxl =p1Z p2Z p2(1) (2)(1)(2)= wik (xk − xk ) +xk wik,l dxl −xk wik,l dxl =p1p1Z p2(1) (2)(1)(2)= wik (xk − xk ) −(xk − xk )wik,l dxl .p1p1p11wik,l = (ui,kl − uk,il ) = εil,k − εkl,i2Объединяя результаты, получаем:Z p2(2)(1)(1) (2)(1)(2)ui = ui + wik (xk − xk ) −[(xk − xk ) · (εil,k − εkl,i ) − εil ]dxl .p1Эти формулы носят название формул Чезаро.Вопрос 17.
Условия совместности деформаций в интегральной и дифференциальной формах. Тождества Сен-Венана(2)Введем новое обозначение: Ail = (xk − xk ) · (εil,k − εkl,i ) − εil .Рассмотрим некий замкнутый контур Γ, полностью лежащий в среде, и применим к нему формулыH(2)(1)Чезаро. Так как начало пути совпадает с концом, ясно, что ui = ui . Отсюда получаем Γ Ail dxl = 0.По теореме СтоксаIZZ−→~a dl =rot~a · ~ndΣ =ǫijk ak,j · ni dΣ,ΓΣΣа значит,0=IAil dxl =Γ==ZΣZΣZΣ(2)ǫnjl Ail,j · ~nn dΣ =ǫnjl [(xk − xk ) · (εil,k − εkl,i ) − εil ],j · ~nn dΣ =(2)ǫnjl [δjk (εil,k − εkl,i ) + (xk − xk ) · (εil,kj − εkl,ij ) − εil,j ]nn dΣОтсюда получаем интегральную форму условия совместности деформаций (куда Георгиевскийдел εjl,i , я поняла c трудом: ǫnjl εjl,i = 0 в силу симметричности ε):Z(2)ǫnjl (xk − xk ) · (εil,kj − εkl,ij )nn dΣ = 0ΣДифференциальная форма условия выглядит так: ǫnjl (εil,kj − εkl,ij ) = 0.
Такое условие являетсядостаточным.Положим n = 1. Получим ǫ1jl (εil,kj − εkl,ij ) = 0. Индексы jl равны либо 23, либо 32. Получимεi3,k2 − εk3,i2 − εi2,k3 + εk2,i3 = 0.Для индексов i и k только два варианта их значений имеют принципиальное различие.1) i = 2, k = 3. Получаемε23,32 − ε33,22 − ε22,33 + ε32,23 = 0;ε22,33 + ε33,22 = 2ε23,32 .2) i = 1, k = 2. Получаемε13,22 − ε23,12 − ε12,23 + ε22,13 = 0;ε13,22 + ε22,13 = ε12,23 + ε23,12 .6Обобщим на случай произвольных индексов. Получим два условияεαα,ββ + εββ,αα = 2εαβ,αβ ;εαα,βγ + εβγ,αα = εβα,αγ + εγα,αβЭти условия называются условиями Сен-Венана.Вопрос 18.
Физический смысл компонент тензора деформации. Главные деформации.Введем обозначение li =dξi|dξ| .В таком случае верны следующие равенства:|d~x|2= 1 + 2εij li lj~2|dξ||d~x| =p~1 + 2εij li lj |dξ|Рассмотрим различные случаи:1) Деформации происходили только в направлении x1 , то есть li = δ1i . В таком случаеp~ ≈ (1 + ε11 )|dξ|,~|d~x| = 1 + 2εij li lj |dξ|ε11 =.~|d~x| − |dξ|~|dξ|Таким образом, ε11 — относительное изменение длины волокна, которое до деформации лежалов направлении x1 .2) Рассмотрим изменение объема среды.dV0 = dξ1 dξ2 dξ3 ;dV = dx1 dx2 dx3 ;dV = (1 + ε11 )dξ1 (1 + ε22 )dξ2 (1 + ε33 )dξ3 ≈ (1 + ε11 + ε22 + ε33 )dV0 .Таким образом,tr ε = εii = div ~u =edV − dV0−dV0относительное изменение объема.3) Рассмотрим волокна dξ~{2} , dξ~{3} , лежащие вдоль осей ξ2 и ξ3 соответственно.
При деформацииони перешли в волокна d~x{2} , d~x{3} . Найдем косинус угла между ними:\cos(dx{2}, dx{3} )≈{2}{3}ui,j dξj dξi{2}{2}{3}{3}(dξi + dui )(dξi + dui )dx{2} · dx{3}==≈{2}{3}|dx ||dx |(1 + ε22 )|dξ {2} |(1 + ε33 )|dξ {3} |{3}{2}+ ui,j dξj dξi|dξ {2} ||dξ {3} |= ui,j δj2 δi3 + ui,j δj3 δi2 = 2ε23 .Таким образом, ε23 — половина косинуса угла между волокнами, лежащими в направлениях ξ2 и ξ3 .Вопрос 19. Линии уровня. Векторные линии.
Линии тока и траектории частиц.Изолиниями, или линиями уровня данной функции называются кривые, на которых данная функция постоянна. Векторными линиями данного векторного поля называются линии, которых векторноеполе касается в каждой точке.Пусть имеется поле скоростей ~v = vi~ei . Линиями тока называются векторные линии этого поля.Уравнения линий тока:dx1dx2dx3==v1 (~x, t0 )v2 (~x, t0 )v3 (~x, t0 )7Траекторией частицы называется ГМТ, заметаемых радиус-вектором частицы.
Уравнения траекторий:dx1dx2dx3=== dtv1 (~x, t)v2 (~x, t)v3 (~x, t)Линии тока совпадают с траекториями частиц только тогда, когда~v|~v|не меняется со временем.Вопрос 20. Трубки тока и струи. Элементарные трубки тока. Тензор скоростей деформации.Тензор вихря. Вектор вихря.Трубка тока — это объединение линий тока, проходящих через все точки данного контура. Струя —то же самое, только с траекториями.Элементарная трубка тока — это, вроде, когда маленький отрезок контура взяли. Но я не уверена.Рассмотрим дифференциал dvi = vi,j dxj . Получился тензор. Разложим его на симметричную иантисимметричную часть: vi,j = vij + Ωij .vij = 12 (vi,j + vj,i ) — тензор скоростей деформаций;Ωij = 12 (vi,j − vj,i) — тензор вихря.
Он имеет три различных ненулевых компоненты, и потому ему~ = Ωi~ei ; Ωi = 1 ǫijk Ωkjможно поставить в соответствие вектор: Ω2Вопрос 21. Первая теорема Гельмгольца.Заметим некоторые связи между тензорами v , Ω , ε , w . Запишем производную перемещения:ffefdui = vi dt. Разлагая обе части на симметричную и антисимметричную часть, получим: dεij = vij dt;dwij = Ωij dt.Выразим тензор вихря через вектор вихря: ǫimn Ωi = 12 ǫimn ǫijk Ωkj = 21 (δmj δnk − δmk δnj )Ωkj == 21 (Ωnm − Ωmn ) = ΩnmТеперь подставим все это в выражение для dvi :dvi = vij dxj + Ωij dxj = ǫkjiΩk dxj + vij dxj .Получим равенство:~ × d~x] + v d~x.d~v = [ΩfМы доказали первую теорему Гельмгольца.Вопрос 22.
Вихревые линии. Вихревые трубки. Интенсивность вихревой трубки. Вторая теоремаГельмгольца.~ Векторные линии этого поля называются вихревыми линиями,Рассмотрим векторное поле Ω.векторные трубки — вихревыми трубками.~ через ~v :Выразим вектор ΩΩi =111111ǫijk Ωkj =ǫijk (vk,j − vj,k ) = (ǫijk vk,j + ǫikj vj,k ) = ǫijk vk,j = rot ~v222422~ соленоидально, значит, его дивергенция рана нулю.Получается, поле ΩРассмотрим объем, заключенный между двумя сечениями Σ1 и Σ2 некой вихревой трубки, изапишем для него теорему Гаусса-Остроградского:ZZZZ~~~~ · ~ndΣ0=div ΩdV =Ω · ~ndΣ +Ω · ~ndΣ −ΩVSδokΣ1Σ2Первое слагаемое равно нулю, так как поток через боковую поверхность отсутствует.
Отсюдаполучаем вторую теорему Гельмгольца: поток вектора вихря через любое сечение вихревой трубкиравен одной и той же величине, называемой интенсивностью вихревой трубки.Z~ · ~ndΣi=ΩΣВопрос 23. Кинематическая теорема Кельвина8Пусть γ — некий путь, соединяющий точки A и B. Имеет место следующее:ZZZZZZdd~vd1~v d~x =d~x + ~v (d~x) = wd~~ x + ~v d~v = wd~~ x + (|vB |2 − |vA |2 )dt γ2γ dtγ dtγγγРАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАСС И СИЛ ВСПЛОШНОЙ СРЕДЕВопрос 24. Плотность.
Закон сохранения массы (интегральная формулировка). Производная повремени от интеграла по движущемуся "жидкому" объему.Плотностью в точке будем называть следующую величину:lim△V →0△m= ρ(~x, t).△VБудем рассматривать только те случаи, когда предел существует. Массой называется интеграл плотности:Zρ(~x, t)dV = MV"Жидким объемом" будем называть объем, который состоит из одних и тех же точек среды. Для"жидкого объема" постулируем закон сохранения массы:Zdρ(~x, t)dV = 0dt VВопрос 25. Уравнение неразрывности в эйлеровых и лагранжевых координатах.
Условие несжимаемости. Несжимаемые среды. Лемма "об игнорировании плотности".Распишем интегральную форму закона сохранения массы:ZZZZdddρd(dV )0=ρ(x, t)dV =(ρdV ) =dV +ρdt VdtdtdtVVVdV = dx1 dx2 dx3d(dxα )= vαα dxαdtd(dV )= tr( v )dV = div ~v dVdtfZ dρ0=+ ρ div ~v dVdtVОтсюда получаем дифференциальную форму закона сохранения масс — уравнение неразрывности вэйлеровых координатах:dρ+ ρ div ~v = 0.dt−dV0Запишем равенство: ρdV = ρ0 dV0 . Заметим, что dVdV= tr ε = θ — дилатация.
Получим закон0eсохранения массы в лагранжевых координатах ρ(1 + θ) = ρ0Несжимаемой называется среда, для которой dρdt = 0. Из уравнения неразрывности следует условиенесжимаемости: div ~v = 0Лемма об игнорировании плотностиZZdda(ρa)(x, t)dV =ρ dVdt VdtVДоказательство: ZZZ ZZZdda dρd(dV )dρdada(ρa)(x, t)dV =ρ + a dV + aρ=a+ ρ div ~v + ρ dV =ρ dVdt VdtdtdtdtdtdtVVVVV9Вопрос 26. Количество движения (импульс), момент количества движения (момент импульса)и кинетическая энергия в сплошной среде.RИмпульс: Σγ △mν ~v (xR ν ) → V (ρ~v )(~x, t)dV .Момент импульса: V ~x × (ρ~v )dVR .1Кинетическая энергия: K = 2 V ρ|~v |2 dV .Вопрос 27.
Объемные и массовые силы. Поверхностные силы. Вектор напряжения в точке наплощадке.К массовым силам относятся силы гравитации и инерции. Они приложены в центре масс. Силаобозначается [R] = M LT −2 .~ x, t) = lim△V →0 △R ; [X] = M L−2 T −2 .Объемная сила X(~△V~ (~x, t) = lim△V →0 △R = 1 X;~ [F ] = LT −2Массовая сила F△mρВсе прочие силы относятся к поверхностным. Они вычисляются на единице площади: P~ =~R−1 −2 — вектор напряжения в момент t в точке ~x на площадке с нормалью= lim△Σ→0 ∆∆Σ ; [P ] = M L T~n.Вопрос 28. Выражение вектора напряжения на наклонной площадке через векторы напряженийна координатных площадках.
Тензор напряжения Коши.На осях Ox1 , Ox2 , Ox3 соответственно лежат точки B1 B2 B3 . Получился тетраэдр 0B1 B2 B3 . Введем обозначения для его граней:B1 OB2 = ∆Σ(3)B2 OB3 = ∆Σ(1)P~ (n)B1 OB3 = ∆Σ(2)P~ (2)B1 B2 B3 = ∆Σ(1)~PИм соответствуют напряжения P~ (1) , P~ (2) , P~ (3) и P~ (n) (~n — нормальк площадке ∆Σ ).P~ (3)Напишем второй закон Ньютона: w~ l ∆m = F~ ∆m + P~ (1) ∆Σ(1) ++ P~ (2) ∆Σ(2) + P~ (3) ∆Σ(3) + P~ (n) ∆Σ. Разделим обе части равенства на~ ) 1 ρ∆h = ΣP~ (k) ∆Σ(k) + P~ (n) .∆Σ. Получится (w~l − F3∆ΣУстремим ∆h к нулю, не меняя нормали к площадке.
Левая часть обратится в ноль. Заметим,(k)что ∆Σ∆Σ = nk . Получим:P~ (n) + ΣP~ (k) nk = 0.(j)Введем тензор напряжений Коши σ : σij = −Pi . Получим выражения для напряжения:f(n)Pi= σij njВопрос 29. Нормальное и касательное напряжение в точке на площадке.Напряжение в точке на площадке можно разложить на нормальную и касательную составляющую.
Нормальная составляющая (нормальное напряжение) пишется так: N (n) = P~ (n)~n = σij ni nj .Касательное напряжение можно найти по теореме Пифагора, зная общее и нормальное напряжение:qq(n) (n)(n)τ (n) = |P~ (n) |2 − (N (n) )2 = Pi Pi − (Pi ni )2 ,(τ (n))2 = σik nk σil nl − (σjk nj nk )2 .ПОСТУЛАТЫ МССВопрос 30. Закон об изменении количества движения (интегральная и дифференциальная формулировки). Уравнения движения.10Интегральная формулировка закона такова:ZZZd~ρ~v dV =ρF dV +P~ dΣ.dt VVΣВыведем из нее дифференциальную формулировку:ZZddviρvi dV =ρdV.dt VdtVRRRRiУчтем еще равенство Σ Pi dΣ = Σ σij nj dΣ = V σij,j dV .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
