Д.В. Георгиевский - Ответы на вопросы по курсу МСС (1183908), страница 5
Текст из файла (страница 5)
ρ = const.2) Изотермический процесс. T = T0 ,3) Политропный закон:PP0ρρ0= RT0 .= ( ρρ0 )γ , γ ≈ 1, 4 для воздуха.Задача о высоте политропной атмосферы.∂ρ∂ρУравнение Эйлера: − ∂x+ ρF3 = 0; F3 = −g. Получится − ∂x+ ρg = 0.33p0 γИз политропности p = ργ ρ . Подставив в предыдущее равенство и решив дифференциальное0уравнение, получим: ρ = ρ0 [1 −ρ0 (γ−1)1−γ .p0 γ gx3 ]Пусть H — высота атмосферы. При x3 = H плотность равна 0, то есть 1 −γH = ρp00g γ−1.ρ0 (γ−1)p0 γ gH= 0,Вопрос 55.
Функция давления и замкнутые системы уравнений для идеальной жидкости. Граничные условия на поверхности идеальной жидкости.R p dpRρ 2Функция давления: P (p) = p0 ρ(p)= ρ0 cρ dρ = P (ρ).01) Несжимаемый случай. P = p−pρ .2) Изотермический процесс. P = ρp00 ln ρρ0 .1/γ RR p dppp3) Политропный. P (p) = p0 ρ(p)= ρ00 p0 (p−1/γ )dp =201/γp01−1/γρ0 (1−1/γ) (p1−1/γ− p0).Вопрос 56. Интеграл Бернулли.
Задача о скорости истечения из резервуара.∂P∂xi=1 ∂pρ ∂xi ;grad P =1ρgrad p.~ =Подставим в уравнение Эйлера в форме Громеки-Лэмба. Получится: − grad P + F+ 21 grad |~v |2 . Учтем, что F~ = grad U . Получим:grad(P − U +∂~vv ×~v +∂t +rot ~|v|2∂~v)++ rot ~v × ~v = 0.2∂tПусть1) движение стационарно,2) массовые силы имеют потенциал,3) среда баротропна.2Тогда получится: P − U + |v|2 = c, где c постоянна вдоль линии тока. Это интеграл Бернулли.Задача об истечении жидкости из резервуара. Пусть H — высота резервуара.
Возьмем траекторию, начинающуюся на поверхности и кончающуюся у отверстия. Считаем, что жидкость вытекаетпод нулевым давлением, скорость на поверхности qравна нулю. Заметив, что U = −gx3 , запишем ин2теграл Бернулли: pρ0 + gh = |v|2 . Получится |v| = 2 pρ0 + 2gh, где p0 — атмосферное давление. Если√считать, что жидкость вытекает под атмосферным давлением, получится |v| = 2gh.Вопрос 57. Потенциальные течения.
Интеграл Коши-Лагранжа.Пусть1) течение потенциально, т.е. ~v = grad ϕ,2) массовые силы имеют потенциал,3) среда баротропна.Тогда, подставляя ~v = grad ϕ в формулу grad(P − U +|v|22 )+∂~v∂t+ rot ~v × ~v = 0, получим:1∂ϕP − U + | grad ϕ|2 += f (t).2∂tf (t) едина для всей жидкости. Это интеграл Коши-Лагранжа.Вопрос 58.
Плоские потенциальные течения идеальной несжимаемой жидкости. Комплексныйпотенциал. Комплексная скорость.Путь жидкость несжимаема и течение потенциально. Запишем уравнение неразрывности:+ ρ∆ϕ = 0. Так как жидкость несжимаема, ∆ϕ = 0. Значит, существует функция ψ такая, чтоv1 =dρdt+∂ψ∂ϕ=,∂x1∂x2∂ϕ∂ψ=−.∂x2∂x1Это условия Коши–Римана. Тогда f (z) = ϕ + iψ — комплексный потенциал скоростей.v2 =ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬВопрос 59.
Тензор вязких напряжений. Объемная и сдвиговая вязкости. Кинематическая вязкость. Зависимость вязкости от температуры. Замкнутые системы уравнений для баротропнойвязкой жидкости.21вязσij = −pδij + σij.Тензор σ вяз — тензор вязких деформаций. Это не девиатор. Его определяющее соотношение:f2вязσij= (λ − µ)vkk δij + 2µvij ,3λ — объемная вязкость, µ — сдвиговая вязкость.Вязкость зависит от температуры следующим образом: µµ0 = ( TT0 )α . Эта зависимость называется зависимостью Сандерленда. (Непонятно, α < 0, что ли? Ведь с ростом температуры вязкостьпонижается.)2iВ уравнения движения: σij,j + ρFi = ρ dvdt подставим вместо σ его значение: −p,i + (λ − 3 µ)vk,ki +fdvi1i+ µ(vi,jj + vj,ij ) + ρFi = ρ dvdt .
Приведем подобные: −p,i + (λ + 3 µ)vk,ki + µvi,kk + ρFi = ρ dt . В векторномвиде:1~i = ρ d~v .− grad p + (λ + µ) grad div ~v + µ∆~v + ρF3dtПолучились три уравнения. Добавим к ним уравнение неразрывности: dρv = 0 и условиеdt + ρ div ~p = p(ρ).
Получилась полная система из пяти уравнений с пятью неизвестными (p, ρ, ~v ).Вопрос 60. Несжимаемая вязкая жидкость. Уравнения Навье–Стокса. Постановки начально–краевых задач. Типы граничных условий.~i = ρ d~v . ДобавимЕсли жидкость несжимаема, уравнение движения примет вид: − grad p+µ∆~v +ρFdtк ним равенство div ~v = 0. Получились 4 уравнения — уравнения Навье–Стокса. Они составляютполную систему, так как для несжимаемой среды плотность не является неизвестной.Пока нашла только одну постановку задачи.Жидкость несжимаема. Неизвестные: p, ~v , ~x. Уравнения:d~v~− grad p + µ∆~v + ρFi = ρ dt ,div ~v = 0, dxix, t).dt = vi (~Краевые условия: xi |t=0 = ξi .Вопрос 61.
Течение Пуазейля в трубе произвольного сечения. Задача Дирихле.По трубе произвольного (но постоянного) сечения течет жидкость.∂pТруба расположена вдоль оси x3 . Известно ρ, µ, k = − ∂x, заданы3краевые условия: ~v |Σ = 0, где Σ — поверхность трубы.~ = 0. ПостроимПредположения: v1 = v2 = 0; v3 = v3 (x1 , x2 ); Fсистему уравнений: ∂p− ∂x1 = 0,∂p− ∂x= 0, ∂p23− ∂x3 + µ∆v3 = ρ( ∂v∂t + v3,1 v1 + v3,2 v2 + v3,3 v3 ).x1x3x2Из предположений следует, что правая часть в третьем уравнении также равна нулю. Подставим∂pk = − ∂x. Получится k + µ∆v3 = 0; ∆v3 = − µk . Получилась задача Дирихле.3Вопрос 62.
Течение Пуазейля в круглой трубе. Расход. Ламинарный и турбулентный режимытечения.22d3Задача из предыдущего билета, только труба круглая. v3 = v3 (r); ∆v3 = 1r dr(r dvdr ). Подставим.22krkrckr′′(rv3′ )′ = − krµ ; rv3 = − 2µ + c; v3 = − 2µ + r ; v3 = − 4µ + c ln r + c1 .Из граничных условий и того, что в центре трубы скорость не бесконечна, получим:v3 =k(R2 − r 2 ).4µ2Максимальная скорость наблюдается в центре и равна kR4µ .Посчитаем расход жидкости.Z Rk(R2 − r 2 )rπkR4Q = 2πdr =.4µ8µ0Таким образом, если увеличить радиус трубы вдвое, расход жидкости возрастет в 16 раз.Вопрос 63. Нестационарные движения вязкой несжимаемой жидкости.
Задача о вихревом слое вполуплоскости. Автомодельное решение.Имеется поверхность жидкости. В момент t = 0 верхний слой скачком сдвигают в направленииx1 . (Ось x1 направлена вдоль поверхности жидкости, ось x2 направлена в глубину). При x2 = 0 имеем(v1 = V0 h(t),v2 = 0.Предположения: v2 = 0; v1 = v1 (x2 , t); v3 = 0.Введем автомодельную(безразмерную) величину (ν =µρ— кинематическая вязкость) η =1перепишем v1 (x2 , t) = w(η); v1′ = w′ 2√1νt ; v1′′ = w′′ 4νt. Получится такая система:Решая ее, получим: w(η) = V0 (1 −√2πx2√;2 νt′′′w + 2ηw = 0,w(∞) = 0,w(0) = V0 .Rη02e−ξ dξ).
Отсюда найдем2v1 (x2 , t) = V0 (1 − √πZ√x/2 ηe−ξ2 dξ).0РАЗМЕРНОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИНВопрос 64. Единицы измерения. Системы и классы систем единиц измерения. Лемма о степенномвыражении размерности.Единицы измерения бывают основные и зависимые. Система основных единиц измерения называется полной, если все остальные единицы в данной задаче можно выразить через них.Говорят, что системы единиц принадлежат одному классу систем, когда при переходе величиныиз одного класса в другой меняется только ее численное значение. Например, {м, кг, с}, {см, г, с} —одного класса, {м, н, с} — другого класса.Лемма о степенном выражении размерности.
Размерность любой физической величины представляет собой степенной одночлен[x] = Lα M β T γ .Вопрос 65. Базис размерности.Обезразмеривание в базисе.23Пусть x1 , x2 , . . . , xn — некие физические величины. Поднабор физических величин {x1 , x2 , x3 } (необязательно тройка) называется базисом, если1) они размерно независимы:[x1 ]α [x2 ]β [x3 ]γ = 1 только при α = β = γ = 0,2) размерность любой другой величины выражается через них.
С помощью линала это легкосделать.А обезразмеривание — это, по-моему, Π–теорема. О ней в следующем билете.Вопрос 66. Формулировка Π–теоремы теории размерностей. Задача о сильном точечном взрывев атмосфере.Π–теорема. Имеется набор физических величин x1 , x2 , . .
. , xn , из них выбран базис {x1 , x2 , x3 },дана зависимостьy = F (x1 , x2 , . . . , xn ).Положим x1 = x2 = x3 = 1,x4 =x4p 4 q 4 r4x1 x2 x3и с остальными величинами так же (p4 , q4 , r4 — такие числа, что [x4 ] = [x1 ]p4 [x2 ]q4 [x3 ]r4 ). Тогдасуществует зависимость y = f (x4 , . . . , xn ).Точечный взрыв в атмосфере. Требуется найти зависимость r(t) — распространение фронта волны взрыва с течением времени.
Известно время t, энергия взрыва E и плотность атмосферы ρ.Выпишем все размерности: [t] = T ; [E] = L2 M T −2 ; [ρ] = L−3 M ; [r] = L. Выберем в качествеr, а отсюдабазиса набор {t, E, ρ}. Получается [r] = [t]2/5 [E]1/5 [ρ]−1/5 . Получилось r = t2/5 E 1/5ρ−1/5r = Ct2/5 E 1/5 ρ−1/5 .Вопрос 67. Формулировка Π–теоремы теории размерностей. Задача об обтекании неподвижноготела потоком вязкой жидкости. Формула Стокса. Парадокс Эйлера–Даламбера.Π–теорема. Имеется набор физических величин x1 , x2 , . .
. , xn , из них выбран базис {x1 , x2 , x3 },дана зависимостьy = F (x1 , x2 , . . . , xn ).Положим x1 = x2 = x3 = 1,x4 =x4p 4 q 4 r4x1 x2 x3и с остальными величинами так же (p4 , q4 , r4 — такие числа, что [x4 ] = [x1 ]p4 [x2 ]q4 [x3 ]r4 ). Тогдасуществует зависимость y = f (x4 , .
. . , xn ).Обтекание шара. В потоке вязкой жидкости, скорость которой на бесконечности равна v∞ , закреплен неподвижный шар радиуса a. Плотность жидкости равна ρ, вязкость µ. Требуется найтисилу сопротивления жидкости.Выпишем все размерности: [F ] = M LT −2 ; [a] = L; [v∞ ] = LT −1 ; [ρ] = M L−3 ; [µ] = M L−1 T −1 .2 ]. Проведем обезВыберем базис {ρ, a, v∞ }; выразим другие размерности: [µ] = [ρav∞ ]; [F ] = [ρa2 v∞размеривание:µFµ=; F = 2 2 .ρav∞ρa v∞Если F линейно зависит от v∞ , то F = Cµ. Возвращаясь к размерным величинам, получимформулу Стокса: F = 6πµv∞ a.Парадокс Эйлера–Даламбера состоит в том, что при малой вязкости сопротивление стремится кнулю.
Это связано с тем, что мы не учитывали отрыв частиц жидкости от поверхности шара.Вопрос 68. Числа Рейнольдса, Фруда, Струхаля, Эйлера. Безразмерные критерии. Физическое подобие явлений. Масштабное моделирование подобных процессов. Время истечения вязкой жидкостииз резервуара.24Число Рейнольдса: Re =Число Фруда: F r = √vgh .ρvaµ .Число Струхаля: St = wlv .pЧисло Эйлера: Eu = ρv2 .Масштабное моделирование — это построение такой модели физического явления, в которой всебезразмерные критерии (обезразмеренные параметры явления) сохранены. В таком случае явленияназываются масштабно (или физически) подобными.Истечение вязкой жидкости из резервуара.
Из маленького отверстия внизу большого бака вытекает глицерин. Высота бака HH = 10m, диаметр дна LH = 1m, диаметр отверстия aH = 0, 1m,кинематическая вязкость глицерина νH = 5cm2 /c (Н — от слова "натурное"). Результатом решениябудет функция TH (HH , LH , aH , νH , ρH , gH ) В лаборатории жидкостью будет вода, νH = 0, 01cm2 /c,gH = gM (М — значит, модельная).
Какой нужно взять резервуар, чтобы модель была физическиподобна?2ν2a LСоставим безразмерные критерии: THg ; gH3 ; H ; H . Отсюда получим:Получаем, HM = 16cm, LM22νMνHHMνM 2/3=;=()33νHHMHH HHqHHTM = 8TM .= 1, 6cm, aM = 1, 6mm, TH = HMНЕУПРУГОЕ ПОВЕДЕНИЕ МАТЕРИАЛОВВопрос 69. Кривая "растяжение–сжатие" для неупругого стержня и характерные точки на ней.Нагружение и разгрузка. Остаточные деформации. Пластичность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
