М.Л. Сердобольская - Методы функционального анализа в задачах редукции (учебное пособи (1183905), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Отметим сначала, что если у оператора A ∈ CO(R 7→ R) пространство значений R(A) бесконечномерно, то онос необходимостью незамкнуто. В самом деле, сузим пространство R до N ⊥ (A)и зададим оператор A◦ равенством A◦ x = Ax для всех x ∈ N ⊥ (A). Очевидно, A◦e причём R(A◦ ) = R(A). Лег— невырожденный линейный оператор из N ⊥ (A) в R,ко также понять, что A◦ — компактный оператор, как и оператор A. Поскольку A◦компактен, он ограничен и, следовательно, замкнут. Обратный оператор A−1◦ тожезамкнут. Следовательно, если линейное многообразие R(A◦ ) = D(A−1◦ ) замкнуто,−1то по теореме о замкнутом графике оператор A◦ ограничен. Но в бесконечно-мерном пространстве компактный оператор A◦ не может иметь ограниченногообратного. Заметим, что приведённые выше рассуждения не используют фактасамосопряжённости оператора A, т. е.
верны и в случае несамосопряжённого оператора.Теорема C.7.Справедливы следующие равенства:N (A) = L⊥ (e1 , . . . , en , . . .),R(A) = L(e1 , . . . , en , . . .).(C.15)Доказательство. Если Ax = 0, то (x, ej ) = λ−1j (Ax, ej ) = 0 для любого натурального j, т. е. x ∈ L⊥ (e1 , .
. . , en , . . .). С другой стороны, если ненулевой элементz ∈ L⊥ (e1 , . . . , en , . . .), то для всех k = 1, 2, . . .kAxkkAzk6sup=supkAxk = |λk+1| −→ 0.k→∞kzkx∈L⊥ (e1 ,...,ek ), kxkx∈L⊥ (e1 ,...,ek ),x6=0kxk=1Отсюда Az = 0. Таким образом доказано первое равенство утверждения.Из доказанного равенства следует, чтоR(A) = N ⊥ (A) = L(e1 , . . .
, en , . . .),88что с учётом незамкнутости R(A) даёт второе равенство в (C.15).Следующее утверждение показывает, что приведённая выше процедура нахождения собственных значений (как норм последовательных сужений оператора Aна ортогональные дополнения к собственным подпространствам) исчерпывает всененулевые собственные значения как в случае rank A = r < ∞, так и в случаеrank A = ∞.Теорема C.8.Не существует числа λ 6= 0, являющегося собственным значением и не совпадающего ни с одним λk , найденных выше.Доказательство. Пусть Ae = λe при некоторых λ и e ∈ R, kek = 1.
Из общихсвойств собственных векторов следует, что, если λ 6= λj , то (e, ej ) = 0 при всехj = 1, 2, . . . . Другими словами, e ∈ L⊥ (e1 , e2 , . . .) = N (A), и λe = Ae = 0. Отсюдаλ = 0.Подведем итог. По построению |λ1 | = kAk, а для прочих ненулевых собствен-ных значений величина |λk | равна норме сужения A на ортогональное дополнениек линейной оболочке L(e1 , e2 , . . .
, ek−1 ) предыдущих собственных векторов. Собственные значения и собственные векторы удовлетворяют следующим равенствам:|λ1 | = |(Ae1 , e1 )| = kAe1 k=|λk | = |(Aek , ek )| = kAek k=supx∈R, kxk=1|(Ax, x)|,supx∈L⊥ (e1 ,...,ek−1 ),kxk=1|(Ax, x)| =supx∈L⊥ (e1 ,...,ek−1 ),kxk=1kAxk, (C.16)Учитывая теорему B.9 из приложения B мы можем также написать следующиеравенства|λ1 | = |(Ae1 , e1 )| =|λk | = |(Aek , ek )| =supx∈R, kxk=1kAxk = kAk,supx∈L⊥ (e1 ,...,ek−1 ),kxk=1kAxk = kAk k,(C.17)где Ak — сужение оператора A на инвариантное подпространство L⊥ (e1 , .
. . , ek−1 ).Если обозначить через L⊥ (e1 , . . . , er ), r 6 ∞, ортогональное дополнение линейной оболочки всех собственных векторов, отвечающих ненулевым собственнымзначениям, не разделяя случаи конечного или счётного ранга A, то имеет местоформулаsupx∈L⊥ (e1 ,...,er ),kxk=1|(Ax, x)| =supx∈L⊥ (e1 ,...,er ),kxk=1kAxk = 0.(C.18)Отметим ещё одно, чрезвычайно важное для наших рассуждений минимаксноесвойство собственных подпространств.89Теорема C.9.Пусть A ∈ CO(R 7→ R) — самосопряжённый оператор, причём A > 0. Пустьλ1 , λ2 , .
. . — его ненулевые собственные значения, e1 , e2 , . . . — соответствующиеим (ортонормированные) собственные векторы, найденные по формулам (C.16).Для любого натурального m < rank(A) имеет место следующая минимакснаяформула:λm+1 =minsup(C.19)(Ax, x),L : dim L6m x∈L⊥ , kxk61где минимум вычисляется по всем линейным подпространствам в R, размерность которых не превосходит m.Доказательство. Пусть Lm+1 = L(e1 , . . . , em+1 ) — линейная оболочка первыхm+1 собственных векторов оператора A. По условию теоремы m+1 не превосходитранга оператора A, поэтому собственные значения λ1 , . .
. , λm+1 отличны от нуля,более того, в силу условия A > 0, положительны (ибо λj = (Aej , ej ) > 0). Рассмотрим L — произвольное линейное подпространство размерности s 6 m и введемв нём ОНБ ϕ1 , . . . , ϕs .Покажем, что линейное подпространство L⊥ ∩ Lm+1 содержит ненулевые эле-менты. В самом деле условия z ∈ L⊥ = L⊥ (ϕ1 , . . . , ϕs ) и z ∈ Lm+1 = L(e1 , . . . , em+1 )эквивалентны следующим требованиям:(z, ϕq ) = 0 для всех q = 1, . . . , s,z=m+1Xβj ej .j=1Подставляя второе условие в первое, видим, что мы имеем однородную системулинейных уравнений видаm+1Xβj (ej , ϕq ) = 0,q = 1, . .
. , s,(C.20)j=1относительно коэффициентов β1 , . . . , βm+1 . Число уравнений этой системы меньше числа неизвестных (по условию s 6 m < m + 1), поэтому система имеетненулевые решения. Другими словами, найдутся числа β1 , . . . , βm+1 такие, чтоPm+1 2j=1 βj 6= 0, удовлетворяющие (C.20). Поскольку данная система однородна, чис-ла Cβ1 , .
. . , Cβm+1 также являются решениями при любом множителе C. СледоP2вательно, всегда найдётся решение, удовлетворяющее условию m+1j=1 βj = 1. ЭтоP⊥означает, что элемент z = m+1j=1 βj ej принадлежит L ∩ Lk+1 и имеет единичнуюнорму.Для найденного элемента z ∈ L⊥ с kzk = 1 справедливо очевидное неравенствоsupx∈L⊥ , kxk61|(Ax, x)| > |(Az, z)|.90(C.21)C другой стороны, Aej = λj , следовательно, Az =ортономированности собственных векторов(Az, z) =m+1Xβj2 λj (ej , ej )=j=1m+1Xλj βj2>j=1Pm+1j=1min λj ·16j6m+1m+1Xβj λj ej , поэтому в силуβj2 = λm+1 ,(C.22)j=1где мы воспользовались упорядоченностью λ1 > · · · > λm+1 > 0 собственныхP2значений и условием нормировки kzk2 = m+1j=1 βj = 1.
Подставляя оценку (C.22)в (C.21), получаем, что для любого линейного подпространства L, dim L = s 6 m,supx∈L⊥ , kxk61|(Ax, x)| > λm+1 .Для завершения доказательства заметим, что при L = L(e1 , . . . , em ) в соответствии с (C.16)λm+1 = (Aem+1 , em+1 ) =sup(Ax, x)x∈L⊥ (e1 ,...,em ),kxk61(мы не пишем в формулах модуль, поскольку (Ax, x) > 0 для любого x ∈ R).Таким образом, минимум в (C.19) достигается на L = L(e1 , . . . , em ). Теорема доказана.C.3. Сингулярные базисы компактных операторов. Откажемся от саe — компактный оператор.мосопряжённости оператора.
Пусть A ∈ CO(R 7→ R)Положимr = dim R(A∗ ) 6 ∞,r̃ = dim R(A) 6 ∞,ñ = dim N (A∗ ) 6 ∞.n = dim N (A) 6 ∞,Напомним также, чтоN (A) = N (A∗ A) = R⊥ (A∗ A) = R⊥ (A∗ ),N (A∗ ) = N (AA∗ ) = R⊥ (AA∗ ) = R⊥ (A).(C.23)Оператор A∗ A компактен, самосопряжён, неотрицателен (поскольку мы имеем (A∗ Ax, x) = kAxk2 > 0 для любого x ∈ R), и dim R(A∗ A) = dim R(A) = r.Пусть A∗ Aek = a2k ek , элементы e1 , . . . , er ортонормированы, собственные значенияa21 , . . . , a2r пронумерованы в порядке убывания, a21 > a22 > · · · , положительны в силуA∗ A > 0 и удовлетворяют условиям, аналогичным (C.16): при всех k = 0, 1, 2, .
. . , ra2k+1 =supx∈L⊥ (e(A∗ Ax, x) =supx∈L⊥ (e1 ,...,ek ),kxkle11 ,...,ek ),kxkle191kAxk2(C.24)(для единообразия формул мы положили R = L⊥ (e1 , . . . , ek ) при k = 0 и a2r+1 = 0eв случае r < ∞). Для каждого k = 1, . . . , r зададим элементы пространства Rравенствамиq1ẽk = Aek , где ak = + a2k .akЛегко видеть, что ẽk ∈ R(A) и(ẽk , ẽj ) = ak /aj · (ek , ej ) = δkj ,(C.25)A∗ ẽk = ak −1 A∗ Aek = ak −1 a2k ek = ak ekпри k = 1, . . .
, r. Кроме того, в силу равенств (C.13) и (C.15)L⊥ (e1 , . . . , er ) = N (A∗ A) = N (A),L(e1 , . . . , er ) = R(A∗ A) = R(A).eИтак, существуют ортонормированные системы {ek }k=1,r в R и {ẽk }k=1,r в R,для которыхAek = ak ẽk ,A∗ ẽk = ak ek ,k = 1, . . . , r.(C.26)Дополним ортонормированный базис e1 , . . . , er линейного многообразия R(A∗ A)произвольными ортонормированными элементами e01 , . . .
, e0n , образующими базисподпространства N (A) = R⊥ (A∗ A). В силу (C.23) объединение этих ортонормированных систем образует ОНБ пространства R. Дополним также ортонормирован-ную систему ẽ1 , . . . , ẽr из (C.25) произвольными ортонормированными элементамиe Покажем, что эти элементы образуют ОНБẽ01 , ẽ02 , . . . до базиса пространства R.подпространства N (A∗ ). Из (C.26) следует, что для всех k = 1, 2, . . .
, r(A∗ ẽ0i , ek ) = (ẽ0i , Aek ) = ak (ẽ0i , ẽk ) = 0,а для всех j = 1, 2, . . . , n в силу e0j ∈ N (A)(A∗ ẽ0i , e0j ) = (ẽ0i , Aej ) = 0.Таким образом, элемент A∗ ei ортогонален всем элементам ОНБ пространства R,и это влечет A∗ ẽ0i = 0. Отсюда следуте, что L(ẽ01 , ẽ02 , . . .) ⊂ N (A∗ ), и поэтомуL(ẽ01 , ẽ02 , . . .) ⊂ N (A∗ ), ибо N (A) замкнуто.С другой стороны, L(ẽ1 , . . .
, ẽr ) ⊂ R(A), поэтомуL(ẽ01 , ẽ02 , . . .) = L⊥ (ẽ1 , . . . , ẽr ) ⊃ R⊥ (A) = N (A∗ ).На основании приведённых включений имеем L(ẽ01 , ẽ02 , . . .) = N (A∗ ), и размерностьданного подпространства есть ñ 6 ∞.Заметим, что в силу (C.23)L(ẽ1 , . . . , ẽr ) = L⊥ (ẽ01 , . . . , ẽñ ) = R(A).92Отсюда r̃ = rank A совпадает с r = rank A∗ , где в случае оператора бесконечногоранга равенство размерностей многообразий R(A) и R(A∗ ) подразумевает возможность установить между элементами их ортонормированных базисов взаимнооднозначное соответствие (см.
(C.26)).Итак, имеем следующий факт. Для любого компактного оператора A рангаr 6 ∞ найдутся:• ортонормированный базис {ek }k=1,r ⊕ {e0k }k=1,n пространства R,e• ортонормированный базис {ẽk }k=1,r ⊕ {ẽ0i }i=1,ñ пространства R,• действительные числа a1 > · · · > ar > 0 такие, чтоAek = ak ẽk ,A∗ ẽk = ak ek ,Ae0j = 0,A∗ ẽ0i = 0(C.27)для k = 1, . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
