М.Л. Сердобольская - Методы функционального анализа в задачах редукции (учебное пособи (1183905), страница 14
Текст из файла (страница 14)
е. имеет предел. Соответствие x 7→ lim An x задаёт оператор A,который, очевидно, линеен в силу свойств предельного перехода. Кроме того, длялюбых x, z ∈ R имеют место равенства(Ax, z) = ( lim An x, z) = lim (An x, z) = lim (x, An z) = (x, lim An z) = (x, Az).n→∞n→∞n→∞n→∞Это означает, что оператор A самосопряжён. Поскольку для любого x можно записать оценки 0 6 (An x, x) 6 kxk2 , мы имеем неравенства 0 6 (Ax, x) 6 kxk2 ,откуда следует, что 0 6 A 6 I. Объединяя воедино все доказанные утверждения,получаем, что оператор A удовлетворяет требованиям теоремы.77Для любого ограниченного самосопряжённого оператора Y > 0 определим множество операторных полиномов с неотрицательными коэффициентами:)(mXαk Y k , m = 0, 1, 2, .
. . , αk > 0 .P(Y ) = P =k=0Заметим, что для любого j = 1, 2, . . . и для любых x, z ∈ R можно записать(Y j x, z) = (Y j−1x, Y z) = · · · = (x, Y j z),(Y 2j x, x) = kY j xk2 > 0,(Y 2j+1 x, x) = (Y · Y j x, Y j x) > 0,т. е. любая натуральная степень неотрицательного самосопряжённого оператораесть самосопряжённый неотрицательный оператор. Отсюда следует самосопряжённость и неотрицательность любого P ∈ P(Y ).
Выпишем это и другие очевидные свойства множества операторных полиномов:если P ∈ P(Y ), то P = P ∗ > 0;если P1 , P2 ∈ P(Y ), β1 , β2 > 0, то β1 P1 + β2 P2 ∈ P(Y );(B.28)если P1 , P2 ∈ P(Y ), то P1 P2 = P2 P1 ∈ P(Y ).Перейдем к построению квадратного корня из оператора.Теорема B.11.Пусть A ∈ B(R 7→ R) — самосопряжённый оператор и 0 6 A 6 I. Тогдасуществует оператор B, удовлетворяющий условиямB 2 = A,B = B ∗ ∈ B(R 7→ R),0 6 B 6 I.(B.29)Доказательство.
Положим X = I−B, Y = I−A и перепишем уравнение B 2 = Aв виде (I − X)2 = I − 2X + X 2 = I − Y или, что эквивалентно, 2X − X 2 = Y .Перепишем последнее уравнение как X = (Y + X 2 )/2 и на основе это равенствасформируем итерационную последовательность операторов {Xn }:X0 = 0,Xn+1 =Y + Xn2,2n = 0, 1, 2, . . . .(B.30)Операторы X0 , Y ∈ P(Y ), отсюда в силу соотношения (B.30) и свойств (B.28) мыимеем включение Xn ∈ P(Y ) для любого n = 0, 1, 2, . . . . Кроме того,Xn∗ = Xn > 0,Xn−1 Xn = Xn Xn−178(B.31)и в силу (B.30)2Xn2 − Xn−11= (Xn − Xn−1 )(Xn + Xn−1 ).Xn+1 − Xn =22(B.32)Очевидно, что X1 −X0 = 1/2·Y ∈ P(Y ).
Тогда, применяя с учётом Xn +Xn−1 ∈ P(Y )последовательно формулу (B.32) для n = 1, 2, . . . , получаем, что Xn+1 −Xn ∈ P(Y )для всех n = 0, 1, 2, . . . . Следовательно, Xn+1 − Xn > 0.Покажем, что kXn k 6 1 и, таким образом, Xn 6 I:kXn+1 k 6kY k kXn2 kkY k kXn k2+6+,2222(B.33)где мы использовали очевидное соотношениеkXn2 k = kXn · Xn k 6 kXn k · kXn k = kXn k2 .Из оценки (B.33) вытекает, что kXn k 6 1 для всех n, ибо kX0 k = 0 и kY k 6 1.Итак,0 6 X1 6 X2 6 · · · 6 Xn 6 · · · 6 I.В силу теоремы B.10 найдется оператор 0 6 X = X ∗ 6 I такой, что Xz = lim Xn zдля любого z ∈ R.
Отсюда для любого z ∈ RY + X2Y + Xn2z=z,n→∞22Xz = lim Xn+1 z = limn→∞т. е. X = (Y +X 2 )/2, и оператор B = I −X удовлетворяет условиям (B.29) теоремы.Теорема доказана.Замечание 3. Условие A 6 I не является важным для существования квадратного корня, поскольку для любого A = A∗ ∈ B(R 7→ R) оператор A◦ = kAk−1 ·Aудовлетворяет условиям теоремы. Тогда, если B◦ — квадратный корень из A◦ , тоpB = kAk · B◦ — квадратный корень из A.79ПРИЛОЖЕНИЕ CЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ САМОСОПРЯЖЁННЫХОПЕРАТОРОВC.1. Основные понятия спектральной теории. Пусть A — ограниченный, всюду определённый, самосопряжённый линейный оператор из R в R (размерность пространства R бесконечна, за исключением случаев, когда иное ого-ворено особо), а λ — произвольное действительное число. Рассмотрим операторA − λI.
Очевидно, это также самосопряжённый оператор из банахова простран-ства B(R 7→ R). Положим Rλ = (A − λI)−1 и назовем его резольвентным оператором, или просто резольвентой. Существуют три взаимоисключающие возможности: оператор Rλ существует и принадлежит банахову пространству B(R 7→ R),оператор Rλ существует, но не принадлежит банахову пространству B(R 7→ R) и,наконец, оператор Rλ не существует. В точном соответствии с этими тремя случа-ями введем три класса значений λ:• действительное число λ называется регулярной точкой оператора A, еслиоператор Rλ существует, всюду определен и ограничен;• действительное число λ называется точкой непрерывного спектра оператора A, если оператор Rλ существует, но не принадлежит пространству B(R 7→ R);• действительное число λ называется точкой дискретного спектра оператора A, если оператор Rλ не существует.Множество точек непрерывного и дискретного спектра называется спектромоператора A.
Заметим, что Rλ не существует тогда и только тогда, когда найдетсяненулевой элемент x ∈ R, при котором Ax = λx. Видно, что в этом случае мыпришли к хорошо известным понятиям: λ есть собственное значение, а элементx — собственный вектор оператора A, отвечающий данному собственному значению λ. Таким образом, при нашей классификации точка дискретного спектраи собственное значение суть эквивалентные понятия6) .Приведем несколько очевидных утверждений.• Собственные векторы самосопряжённого ограниченного оператора, отвеча-ющие различным собственным значениям, ортогональны: это следует из триви6)В большинстве монографий деление на точки непрерывного и дискретного спектра производится более сложным образом, но для наших целей введённых выше определений достаточно.80альных равенств (λ1 − λ2 )(e1 , e2 ) = (Ae1 , e2 ) − (Ae2 , e1 ) = 0, справедливых, еслиоператор A самосопряжён, Ae1 = λ1 e1 и Ae2 = λ2 e2 .
Если λ1 6= λ2 , то (e1 , e2 ) = 0.• Множество собственных векторов ограниченного самосопряжённого операто-ра, отвечающих одному собственному значению, образует линейное подпространство, если к этому множеству добавить нулевой элемент. В самом деле, множествоLλ = {x : Ax = λx}, очевидно, линейно; докажем его замкнутость.
Если xn → xи xn ∈ Lλ , то в силу непрерывности A имеем Ax = lim Axn = λ lim xn = λx. Подпространство Lλ называется собственным подпространством, а его размерность— кратностью собственного значения. Кратность собственного значения можетбыть конечной или бесконечной. Собственное подпространство, отвечающее λ = 0,совпадает с нуль-пространством оператора A.
Всюду далее мы будем нормироватьсобственные векторы и требовать, чтобы они имели единичную норму.• Если оператор Rλ существует, но не принадлежит пространству B(R 7→ R)(всюду определенных ограниченных операторов), то имеют место оба «нарушения», а именно D(Rλ ) =6 R и Rλ неограничен. В самом деле, если Rλ = (A − λI)−1существует, то N (A − λI) = {0}, и в силу формул (B.16), применённых к самосопряжённому оператору A − λI,D ⊥ (Rλ ) = R⊥ (A − λI) = N (A − λI) = {0},поэтому D(Rλ ) плотно в R.
С другой стороны, A−λI ∈ B(R 7→ R) есть замкнутыйоператор, следовательно, оператор Rλ = (A−λI)−1 тоже замкнут, и в силу теоремыо замкнутом графике Rλ ограничен тогда и только тогда, когда D(Rλ ) замкнуто.Как мы только что показали, область определения D(Rλ ) всюду плотна, такимобразом, если D(Rλ ) = R, то она замкнута, и оператор Rλ ограничен; если же,напротив, D(Rλ ) 6= R, то оператор Rλ не может быть ограниченным. Итак, λ —точка непрерывного спектра, тогда и только тогда, когда оператор Rλ существуети D(Rλ ) = R(A − λI) — (всюду плотное) незамкнутое линейное многообразие в R.81Теорема C.1.ПоложимµA (λ) = inf kAx − λxk.kxk=1(C.1)Имеют место три взаимоисключающие возможности:1) µA (λ) > 0 тогда и только тогда, когда λ — регулярная точка оператора A;2) µA (λ) = 0 и существует элемент e ∈ R, ke|k = 1, на котором достигаетсяточная нижняя грань, т.
е. kAe − λek = µA (λ), если и только если λ — точкадискретного спектра оператора A;3) µA (λ) = 0 и точная нижняя грань не достигается, т. е. kAx − λxk > µA (λ)для всех элементов x ∈ R единичной нормы, если и только если λ — точканепрерывного спектра оператора A.Доказательство. Рассмотрим каждое из трёх утверждений.1. Из определения (C.1) следует, что k(A−λI)xk > µA (λ)kxk для всех x.
Отсюдаkyk > µA (λ)k(A − λI)−1 yk,y = (A − λI)x ∈ R(A − λI).Последнее неравенство можно переписать какk(A − λI)−1 yk 61kyk,µA (λ)y ∈ D(A − λI)−1 ,что эквивалентно kRλ k 6 µ−1A (λ) < ∞. Таким образом, если µA (λ) > 0, то операторRλ ограничен. Наоборот, если оператор Rλ ограничен, то kRλ yk 6 kRλ kkyk длялюбого y ∈ R(A − λI), что эквивалентно k(A − λI)xk > kRλ k−1 kxk для всех x.Следовательно, µA (λ) > kRλ k−1 > 0.2. Если и только если 0 = µA (λ) = kAe − λek при некотором элементе e единичной нормы, то e — собственный вектор и λ — собственное значение.3.
Пусть µA (λ) = 0, но kAx − λxk > 0 для любого элемента x ∈ R единичнойнормы. Отсюда, очевидно, следует, что (A − λI)x 6= 0 для любого x =6 0. Другимисловами, в этом случае Rλ существует. Рассмотрим последовательности {xn } ⊂ Rи {yn } ⊂ R(A − λI) элементов единичной нормы, связанные равенствамиxn =(A − λI)−1 yn,k(A − λI)−1 yn kyn =(A − λI)xnk(A − λI)xn k(C.2)(заметим, что N (A − λI)−1 = {0} и N (A − λI) = {0}, поэтому знаменатели в (C.2)отличны от нуля). Если некая последовательность {xn } элементов единичной нор-мы доставляет точную нижнюю грань µA (λ) = 0 в (C.1), то 0 < k(A − λI)xn k → 0.Отсюда kyn k = 1, но при этомkRλ yn k =1kxn k=−→ ∞,k(A − λI)xn kk(A − λI)xn k n→∞82и оператор Rλ неограничен. Если Rλ существует и неограничен, то найдется такаяограниченная последовательность {yn } ⊂ R(A − λI), что kRλ yn k → ∞.
Тогдаэлементы xn , определенные в (C.2), удовлетворяют условиям(A − λI)xn =yn−→ 0,kRλ yn k n→∞kxn k = 1,откуда следует, что µA (λ) = 0, но точная нижняя грань не достигается в силуобратимости оператора A − λI.На основе доказанного свойства легко получить ещё одно утверждение.Теорема C.2.Пусть оператор A ∈ B(R 7→ R) самосопряжён. Тогда1) если |λ| > kAk, то λ — регулярная точка;2) существует точка λ1 спектра оператора A такая, что |λ1 | = kAk;3) λ1 есть точка дискретного спектра тогда и только тогда, когда найдетсяэлемент e1 , ke1 k = 1, при котором |(Ae1 , e1 )| = kAk.Доказательство. Вновь рассмотрим каждое из трёх утверждений.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
