М.Л. Сердобольская - Методы функционального анализа в задачах редукции (учебное пособи (1183905), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Неравенство (B.8) называют свойством слабой полунепрерывности нормы снизу.B.4. Слабая компактность ограниченной последовательности. Будемговорить, что последовательность {xn } элементов гильбертова пространства Rслабо компактна, если для любого z ∈ R из числовой последовательности {(xn , z)}можно выделить фундаментальную (или, что то же самое, сходящуюся) подпоследовательность.Понятно, что если из последовательности {xn } можно выделить сходящуюсяпо норме подпоследовательность, то эта подпоследовательность будет сходитьсяи в слабом смысле. Таким образом, компактность влечёт слабую компактность, нообратное неверно (см. рассуждения про ОНБ в предыдущем разделе). Кроме того, из курса математического анализа известно, что из каждой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.Если заменить числовую последовательность на последовательность {xn } в про-извольном гильбертовом пространстве, то это утверждение также потеряет силу.Контрпример даёт всё тот же ОНБ {en }: одновременно мы имеем ken k = 1, следовательно, последовательность {en } ограничена, и ken − en′ k2 = ken k2 + ken′ k2 = 2при n 6= n′ , поэтому никакая подпоследовательность в {en } не может быть фундаментальной.Однако если заменить компактность на слабую компактность, мы получимутверждение, аналогичное теореме математического анализа.Теорема B.4.Пусть последовательность {xn } элементов гильбертова пространства R ограничена, xn 6 C для всех n = 1, 2, .
. . . Тогда эта последовательность слабокомпактна.Доказательство. Прежде всего отметим, что «для красоты» можно заменитьусловие ограниченности на слабую ограниченность.67Пусть {en } — произвольный фиксированный ОНБ в пространстве R.Рассмотрим числовую последовательность {(xn , e1 )}.
В силу ограниченностипоследовательности {xn } имеем |(xn , e1 )| 6 kxn k · ke1 k 6 C для всех n = 1, 2, . . . ,поэтому из числовой последовательности {(xn , e1 )} можно выделить фундаментальную (сходящуюся) подпоследовательность: (xnk , e1 ) → α1 при k → ∞, гдеα1 — некоторое действительное число. Переобозначим члены подпоследователь(1)ности, положив xk = xnk для всех k = 1, 2, .
. . . Тогдаkx(1)n k 6 C для всех n = 1, 2, . . . ,(x(1)n , e1 ) → α1 .(B.9)(1)Числовая последовательность {(xn , e2 )} ограничена, следовательно, содержит(1)сходящуюся подпоследовательность: (xnk , e2 ) → α2 при k → ∞. Вновь переобозна(2)(1)чим члены подпоследовательности и положим xk = xnk для всех k = 1, 2, . .
. .Тогда имеем(1){x(2)n } ⊂ {xn },kx(2)n k 6 C,(x(2)n , e2 ) → α2 ,(x(2)n , e1 ) → α1 ,(B.10)(2)где последняя сходимость имеет место в силу того, что {xn } — подпоследователь(1)ность в {xn }.Действуя аналогично для каждого элемента ОНБ, найдем семейство подпоследовательностей, удовлетворяющее условиям(2)(p){x(1)n } ⊃ {xn } ⊃ · · · ⊃ {xn } ⊃ · · · ,kxn(p) k 6 C для всех n = 1, 2, . . .и при любом p = 1, 2 . .
. ,(B.11)(xn(p) , ep′ ) → αp′ при любом p′ < p.(xn(p) , ep ) → αp ,n→∞n→∞(p)Выделим теперь так называемую диагональную подпоследовательность {xp }(p)и для краткости записи положим zp = xp для всех p = 1, 2, . . . . Покажем, чтодля этой последовательности имеет место сходимость (zp , em ) → αm при p → ∞для любого фиксированного m = 1, 2, . . . . В самом деле, все элементы zm , zm+1 , . . .(m)с номерами, не меньшими m, содержатся в последовательности {xn }n=1,∞ , пото(m)(p)(p)му что zp = xp и {xn }n=1,∞ ⊃ {xn }n=1,∞ при p > m. Таким образом, {zp } —(m)подпоследовательность в {xn }n=1,∞ , следовательно, (zp , em ) → αm при p → ∞.Итак, мы нашли подпоследовательность {zn } в последовательности {xn } такую, что последовательность {(zn , em )}n=1,∞ является фундаментальной при любом m = 1, 2, .
. . . Покажем, что отсюда следует фундаментальность последова-тельности {(zn , x)} при любом фиксированном x ∈ R. Разложим элемент x по68P∞и запишем цепочку соотношений∞X (zn , x) − (zn′ , x) = zn − zn′ ,6(x,e)emmОНБ, x =m=1 (x, em )em ,m=1 ∞MXX (x, em )em .(x, em )em + zn − zn′ ,6 zn − zn′ ,m=1(B.12)m=M +1Рассмотрим второе слагаемое в правой части неравенства (B.12) с учётом вытекающего из ограниченности последовательности {zn } ⊂ {xn } неравенства треугольника kzn − zn′ k 6 kzn k + kzn′ k 6 2C: X∞X ∞(x, em )em (x, em )em 6 kzn − zn′ k · IIM = zn − zn′ ,=m=M +1m=M +1= kzn − zn′ k X∞(x, em )2m=M +11/2P∞1/2MX226 2C kxk −(x, em ).m=1Поскольку kxk2 = m=1 (x, em )2 , мы имеем IIM → 0 при M → ∞.
Следовательно,для любого ε > 0 найдется номер M = M(ε) такой, что IIM < ε/2.Рассмотрим теперь первое слагаемое в в правой части (B.12):In,n′ XMX M(x, em )em = (zn − zn′ , em )(x, em ).= zn − zn′ ,m=1m=1Последовательность {(zn , em )}n=1,∞ фундаментальна при любом m, таким образом, в In,n′ представлена конечная линейная комбинация фундаментальных последовательностей с фиксированными коэффициентами (x, em ), m = 1, . . . , M.Поэтому In,n′ → 0 при n, n′ → ∞. Точнее, для любого ε > 0 и любого M < ∞найдется N = N(ε, M) такой, что In,n′ ε/2 при n, n′ > N.Объединяя два рассмотренных слагаемых, получаем, что для любого ε > 0найдется номер M = M(ε), а для него — номер N = N(ε, M(ε)) = N(ε) такой, чтопри n, n′ > N(zn , x) − (zn′ , x) 6 In,n′ + IIM 6 ε + ε = ε.2 2Теорема доказана.Следствие.В обозначениях доказанной теоремы последовательность {zn } слабо сходитсяк некоторому элементу z ∈ R.Доказательство.
Мы имеем (zn , em ) → αm при n → ∞ для каждого фиксироP2ванного m = 1, 2, . . . . Покажем, что ∞m=1 αm < ∞, тогда из теоремы Фишера–P∞Рисса вытекает, что существует элемент z = m=1 αm em .69В силу неравенства Бесселя и ограниченности последовательности {zn } длялюбого конечного M мы можем записатьMXm=1(zn , em )2 6 kzn k2 6 C,MX2αm= limn→∞m=1и последовательность частичных сумм рядаP∞m=1MX(zn , em )2 6 C,m=12αmограничена. Таким образом,ряд сходится, и его сумма не превосходит C. Это означает, что существует элементP∞P22αe,причёмkzk=z= ∞mmm=1 αm 6 C.m=1Зафиксируем произвольный элемент x ∈ R и покажем, что (zn , x) → (z, x).Имеем аналогично (B.12)∞X (zn , x) − (z, x) = zn − z,6(x,e)emmm=1 ∞MXX (x, em )em 6(x, em )em + zn − z,6 zn − z,m=1m=M +1X1/2 X∞ M2(x, em )(x, em )(zn − z, em ) + kzn − zk.
(B.13)6m=1m=M +1P2В силу неравенства kzn − zk 6 kzn k + kzk 6 2C и сходимости ряда ∞m=1 (x, em )второе слагаемое в правой части стремится к нулю при M → ∞. Поэтому, вы-брав достаточно большое M, мы можем сделать это слагаемое меньше ε/2 длялюбого ε > 0. Зафиксируем это M и подставим его в первое слагаемое в правойчасти (B.13).
Это слагаемое стремится к нулю при n → ∞ вследствие слабой схо-димости последовательности {zn } к z. В результате оно также может быть сделаноменьше ε/2 при всех n, больших некоторого N = N(ε, M(ε)) = N(ε). Сходимость(zn , x) → (z, x) доказана.B.5. Слабая замкнутость графика оператора. Замкнутость оператора Aозначает замкнутость его графика. Докажем более общее свойство — слабую замкнутость произвольного линейного подпространства.Теорема B.5.Пусть L – линейное подпространство в гильбертовом пространстве и послеwдовательность {xn } ⊂ L слабо сходится, xn → x. Тогда x ∈ L.Разложим предельный элемент x на ортогональные составляющие: x = x◦ + x⊥ ,где x◦ ∈ L и x⊥ ∈ L⊥ . Тогда(xn , x) = (xn , x◦ + x⊥ ) = (xn , x◦ ) → (x, x◦ ) = (x◦ , x◦ ) = kx◦ k2 ,70n → ∞,в силу включения xn ∈ L и слабой сходимости последовательности {xn }. С другойстороны,(xn , x) → (x, x) = kxk2 = kx◦ k2 + kx⊥ k2 ,n → ∞.Числовая последовательность {xn } может иметь только один предел, поэтомуkx◦ k2 + kx⊥ k2 = kx◦ k2 , следовательно, x⊥ = 0 и x ∈ L.
Теорема доказана.Поскольку у замкнутого оператора график есть линейное подпространствоe получаем необходимую нам теорему.в гильбертовом пространстве R ⊗ R,Теорема B.6.e то его график есть слабо замкнутое множество.Если A ∈ CL(R 7→ R),Заметим, что слабая замкнутость линейного подпространства является частным случаем более общего свойства слабой замкнутости любого выпуклого и замкнутого множества.B.6.
Теорема о связи нуль-пространств и пространств значений длязамкнутых операторов.Теорема B.7.e тоЕсли A ∈ CL(R 7→ R),N (A) = N (A∗ A) = R⊥ (A∗ ).(B.14)Доказательство. Докажем первое равенство в (B.14). Пусть x ∈ N (A), тогдаAx = 0 и A∗ Ax = 0. Пусть x ∈ N (A∗ A), тогда0 = (x, A∗ Ax) = (A∗∗ x, Ax) = (Ax, Ax) = kAxk2 ,т. е. Ax = 0. Равенство доказано.Докажем второе равенство в (B.14). Пусть x ∈ N (A), тогда для любого элемен-та z = A∗ y ∈ R(A∗ ) имеет место цепочка равенств (x, z) = (x, A∗ y) = (Ax, y) = 0,т. е.
x ∈ R⊥ (A∗ ). Пусть x ∈ R⊥ (A∗ ), тогда supy∈D(A∗ ) |(A∗ y, x)| = 0 < ∞, что влечётвключение x ∈ D(A∗∗ ). При этом 0 = (A∗ y, x) = (y, A∗∗ x) = (y, Ax) для любогоэлемента y ∈ D(A∗ ). Поэтому Ax ∈ D ⊥ (A∗ ), что из чего следует Ax = 0 в силуe Теорема доказана.того, что D(A∗ ) плотно в R.Заменив A на A∗ и A∗ на (A∗ )∗ = A, получим ещё одну цепочку равенствN (A∗ ) = N (AA∗ ) = R⊥ (A).71(B.15)Рассматривая ортогональные дополнения к множествам в формулах (B.14), (B.15)и пользуясь тем, что для любого линейного многообразия L справедлива формула(L⊥ )⊥ = L, получаем из (B.14) и (B.15) следующие формулы:N ⊥ (A∗ A) = N ⊥ (A) = R(A∗ ),(B.16)N ⊥ (AA∗ ) = N ⊥ (A∗ ) = R(A).B.7. Теорема фон Неймана.Теорема B.8.e тогдаПусть A ∈ CL(R 7→ R),1) оператор A∗ A + I обратим,2) операторы (A∗ A + I)−1 , A(A∗ A + I)−1 и A∗ A(A∗ A + I)−1 определены всюдуи ограничены, причёмk(A∗ A + I)−1 k 6 1,1kA(A∗ A + I)−1 k 6 √ ,(B.17)2kA∗ A(A∗ A + I)−1 k 6 1.Доказательство.
Докажем обратимость оператора A∗ A + I. Пусть x есть элемент из N (A∗ A + I), тогда 0 = (x, (A∗ A + I)x) = kxk2 + kAxk2 . Отсюда x = 0,другими словами, нуль-пространство оператора (A∗ A + I) состоит только из одного нулевого элемента. Таким образом, равенство (A∗ A + I)x1 = (A∗ A + I)x2 влечётx1 = x2 , и оператор (A∗ A + I) обратим.Для доказательства остальных утверждений теоремы воспользуемся замкнуe в прямую сумму Γ(A) ⊕ Γ⊥ (A). С учётом явноготостью Γ(A) и разложим R ⊗ Rвида слагаемыхΓ(A) = hx, Axi, x ∈ D(A) ,Γ⊥ (A) = h−A∗ y, yi, y ∈ D(A∗ )и единственности разложения по ортогональным составляющим мы можем утверждать, что для каждого z ∈ R найдутся единственный элемент xz ∈ D(A) и единственный элемент yz ∈ D(A∗ ) такие, чтоhz, 0i = hxz , Axz i + h−A∗ yz , yz i,xz ∈ D(A),yz ∈ D(A∗ ).(B.18)Другими словами, всюду на R определены операторы S и Y такие, что xz = Szи yz = Y z для каждого z ∈ R.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
