М.Л. Сердобольская - Методы функционального анализа в задачах редукции (учебное пособи (1183905), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Данные операторы, очевидно, линейны и, очевидно,R(S) ⊂ D(A), R(Y ) ⊂ D(A∗ ).72Распишем (B.18) покомпонентно с учётом обозначений xz = Sz и yz = Y z:имеем систему уравнений(z = Sz − A∗ Y z,0 = ASz + Y z.Поскольку z — произвольный элемент пространства R, второе уравнение этой сис-темы влечёт операторное равенство −AS = Y . Поскольку Y z ∈ D(A∗ ), мы можемподставить Y z в первое уравнение и получить равенствоz = Sz + A∗ ASz = (A∗ A + I)Szили, в силу произвольности z, операторное равенство I = (A∗ A + I)S. Таким образом, S = (A∗ A + I)−1 .
Возвращаясь ко второму уравнению системы, которое,напомним, мы можем записать как −AS = Y , имеем Y = −A(A∗ A + I)−1 . По-скольку по построению S, Y — всюду определенные операторы и R(Y ) ⊂ D(A∗ ),операторы (A∗ A + I)−1 = S, A(A∗ A + I)−1 = −Y и A∗ A(A∗ A + I)−1 = −A∗ Y такжевсюду определены.Покажем неравенства (B.17). Перепишем соотношение (B.18) с учётом опреде-ления xz = Sz и yz = Y z операторов S и Y :hz, 0i = hSz, ASzi + h−A∗ Y z, Y zi.(B.19)В силу ортогональности слагаемых имеемkhz, 0ik2 = khSz, ASzik2 + kh−A∗ Y z, Y zik2 .Раскрываем нормы (khx, yik2 = kxk2 + kyk2), подставляем в явном виде операторыS = (A∗ A + I)−1 , Y = −A(A∗ A + I)−1 и переписываем данное равенство какkzk2 = kSzk2 + kASzk2 + k − A∗ Y zk2 + kY zk2 == k(A∗ A + I)−1 zk2 + 2kA(A∗ A + I)−1 zk2 + kA∗ A(A∗ A + I)−1 zk2 ,где мы учли, что kY zk = kASzk = kA(A∗ A + I)−1 zk.
Отсюда для любого z ∈ Rследуют оценкиkzk2 > k(A∗ A + I)−1 zk2 ,kzk2 > 2kA(A∗ A + I)−1 zk2 ,kzk2 > kA∗ A(A∗ A + I)−1 zk2 ,из которых, очевидно, вытекают неравенства (B.17). Теорема доказана.Заменяя A на A∗ , получаем утверждение, аналогичное теореме фон Неймана,относительно операторов (AA∗ + I˜ )−1 , A∗ (AA∗ + I˜ )−1 и AA∗ (AA∗ + I˜ )−1 .73Если мы заменим оператор A на ω −1/2 A, где ω > 0, то получим аналоги теоремыфон Неймана для операторов(ω −1 A∗ A + I)−1 = ω(A∗ A + ωI)−1 ,ω −1/2 A(ω −1 A∗ A + I)−1 = ω 1/2 A(A∗ A + ωI)−1 ,(B.20)ω −1 A∗ A(ω −1 A∗ A + I)−1 = A∗ A(A∗ A + ωI)−1и для операторов, полученных при двух заменах A ↔ A∗ и I → I˜ в форму-лах (B.20).
Все эти операторы всюду определены, и для них имеют место оценкинорм (B.17), которые с учётом (B.20) могут быть переписаны как1,ω1kA(A∗ A + ωI)−1k 6 √,2ω 2kA∗ A(A∗ A + ωI)−1k 6 1,k(A∗ A + ωI)−1k 61k(AA∗ + ω I˜ )−1 k 6 ,ω1kA∗ (AA∗ + ω I˜ )−1 k 6 √,2ω 2kAA∗ (AA∗ + ω I˜ )−1 k 6 1.(B.21)B.8. Формула для нормы самосопряжённого оператора.Теорема B.9.Если A ∈ B(R 7→ R) и A = A∗ , то справедлива следующая формула для вычисления нормы этого оператора:kAk = sup |(Ax, x)|.(B.22)kxk61Доказательство.
Положимsup |(Ax, x)| = τA .kxk61Легко видеть, что |(Ax, x)| 6 kAxk·kxk 6 kAk·kxk·kxk для любого x ∈ R, поэтомуτA 6 kAk. Нетривиальным является доказательство обратного неравенства. Пустьλ – произвольное отличное от нуля действительное число и x – произвольныйненулевой элемент пространства R. Введем два элемента11x + λAx,x−x − λAx.x+λ =λ =λλ−1222Таким образом, Ax±λ = λ Ax ± λA x, кроме того, (x, A x) = (Ax, Ax) = kAxkв силу самосопряжённости A, отсюда1±222(Ax±λ , xλ ) = 2 (Ax, x) ± (x, A x) ± (Ax, Ax) + λ (A x, Ax) =λ1= 2 (Ax, x) ± 2kAxk2 + λ2 (A2 x, Ax),λ12222kx±λ | = 2 kxk ± 2(Ax, x) + λ kAxk .λ74Комбинируя каждую из двух пар равенств, получаем+−−2(Ax+λ , xλ ) − (Axλ , xλ ) = 4kAxk ,− 22kx+λ k + kxλ k =2kxk2 + 2λ2 kAxk2 . (B.23)2λ±± 2Из определения τA вытекает оценка |(Ax±λ , xλ )| 6 τA · kxλ k , поэтому−− 2−(Ax−λ , xλ ) 6 τA · kxλ k .++ 2(Ax+λ , xλ ) 6 τA · kxλ k ,Складывая эти неравенства и подставляя (B.23), получаем для любого λ 6= 0222224kAxk 6 τAkxk + 2λ kAxk .λ2В силу произвольности λ мы можем заменить выражение в круглых скобках в правой части последнего неравенства его максимальным по λ2 > 0 значением, которое,как нетрудно видеть, достигается при λ2 = kAxk: получаемkxk12222 2kAxk 6 τA ·kxk+λkAxk 2 kAxk = 2τA · kAxk · kxk.λ2λ =kxkТаким образом, для любого ненулевого элемента x ∈ R справедливо неравенствоkAxk 6 τA kxk, что означает kAk 6 τA .
Объединяя с противоположным неравенством, получаем kAk = τA .Правая часть равенства (B.22), очевидно, может быть записана в различныхформах:|(Ax, x)|.(B.24)kAk = sup |(Ax, x)| = sup |(Ax, x)| = supkxk2x6=0kxk61|xk=1B.9. Квадратный корень из оператора.На множестве самосопряжённых ограниченных операторов может быть введентак называемый частичный порядок, т. е. отношение «больше–меньше».Пусть A, B ∈ B(R 7→ R) — самосопряжённые операторы.Будем говорить, что A — неотрицательный оператор и писать A > 0, если(Ax, x) > 0 для любого x ∈ R. Будем говорить, что A — положительный оператор и писать A > 0, если (Ax, x) > 0 для любого элемента x ∈ R, отличного отнулевого. Для самосопряжённых операторов A, B ∈ B(R 7→ R) отношение A > Bозначает, что A − B > 0. Аналогично (с заменой знаков > и > на соответствен-но 6 и <) определяются понятия неотрицательного, положительного операторови отношения A 6 B.В отличие от действительных чисел множество самосопряжённых ограниченных операторов упорядочено частично, т.
е. не для любых операторов A, B из этого75класса можно записать A > B или B > A, однако при этом отношение «больше–меньше» для операторов, если оно возможно, обладает привычными свойствами:• если A > B, то B 6 A;• если A > 0, то λA > 0 при λ > 0 и λA 6 0 при λ 6 0;• если A > B1 и B > B2 , то A + B > B1 + B2 ;• если A > B + C, то A − B > C;• если A > B > 0, то kAk > kBk.Доказательство первых четырёх свойств легко получить непосредственно изсоответствующих определений.
Последнее, пятое, свойство вытекает из формулы (B.24). Заметим, что утверждение, обратное пятому свойству, в общем случаеневерно, однако если kAk 6 1 и A > 0, то (Ax, x) 6 (x, x) по той же формуле (B.24), т. е. A 6 I. Таким образом для неотрицательного самосопряжённого Aусловие kAk 6 1 эквивалентно A 6 I.Докажем неравенство, обобщающее неравенство Коши–Буняковского.Пусть S ∈ B(R 7→ R) — самосопряжённый неотрицательный оператор. Тогдадля любых x, z ∈ R справедливо неравенство p(Sx, z) 6 (Sx, x) · (Sz, z).(B.25)Совершенно аналогично доказательству неравенства Коши–Буняковского получаем, что при всех действительных λs(λ) = S(x + λz), x + λz = λ2 (Sx, x) + 2λ(Sx, z) + (Sz, z) > 0,таким образом, дискриминант квадратного трёхчлена s(·) неположителен, и мыимеем неравенство (Sx, z)2 − (Sx, x) · (Sz, z) 6 0, которое эквивалентно (B.25).Замечание 2.
Потребуем дополнительно к условиям утверждения строгуюположительность оператора S: пусть равенство (Sx, x) = 0 справедливо, еслиpи только если x = 0. Тогда функционал kxkS = (Sx, x) удовлетворяет аксиомам нормы. В самом деле, положительная определённость и правило вынесениячислового множителя из-под знака нормы очевидны, и для любых x, z ∈ Rppp2S(x + z), x + z 6 (Sx, x) + 2 (Sx, x)(Sz, z) + (Sz, z) =(Sx, x) + (Sz, z) ,откуда в силу неотрицательности левой и правой частей неравенства следует неравенство треугольника kx + zkS 6 kxkS + kzkS . При S = I неравенство (B.25)переходит в неравенство Коши–Буняковского.Докажем одну теорему, необходимую нам в дальнейшем и представляющуюсамостоятельный интерес.76Теорема B.10.Пусть последовательность {An } ⊂ B(R 7→ R) самосопряжённых операторовудовлетворяет условию0 6 A1 6 A2 6 · · · 6 An 6 · · · 6 I.(B.26)Тогда существует самосопряжённый оператор A ∈ B(R 7→ R), 0 6 A 6 I, такой, что при n → ∞ имеет место сходимость An x → Ax последовательности{An } к оператору A на каждом элементе x ∈ R.Доказательство.
Пусть x — произвольный фиксированный элемент из пространства R. Из условия (B.26) следует, что0 6 (A1 x, x) 6 (A2 x, x) 6 · · · 6 (An x, x) 6 · · · 6 (x, x).Другими словами, числовая последовательность {(An x, x)} монотонно не убываети ограничена сверху, поэтому она сходится, следовательно, фундаментальна.По условиям теоремы оператор S = An+p − An самосопряжён и неотрицателен при всех натуральных n, p, поэтому он удовлетворяет условиям обобщённомунеравенству Коши–Буняковского (B.25) при z = Sx, следовательно,kAn+p x − An xk4 = (Sx, Sx)2 = (Sx, z)2 6 (Sx, x) · (Sz, z) = (Sx, x) · (S · Sx, Sx).(B.27)Отметим также, что kSk = kAn+p − An k 6 kAn+p k + kAn k 6 2. Отсюда следует, чтопервый сомножитель в правой части неравенства (B.27) при n → ∞ бесконечномал, а второй ограничен:(Sx, x) = (An+p − An )x, x −→ 0,n→∞(S 2 x, Sx) 6 kSk3 kxk2 6 8kxk2 .Таким образом, последовательность {An x} фундаментальна при каждом фиксированном x ∈ R, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
