М.Л. Сердобольская - Методы функционального анализа в задачах редукции (учебное пособи (1183905)
Текст из файла
Московский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваФизический факультетКафедра компьютерных методов физикиМ. Л. СердобольскаяМетоды функционального анализав задачах редукции2014 г.СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙR — множество (поле) действительных чисел, R+ — множество неотрицательных действительных чисел, N — множество натуральных чисел;e и т. п. — действительные сепарабельные гильбертовы пространства бесR, Rконечной (если иное не оговорено особо) размерности;{xn }n=1,∞ — последовательность элементов x1 , .
. . , xn , . . .;M = x ∈ R : x = lim xn , где {xn }n=1,∞ ⊂ M — замыкание множества M;n→∞⊥M = {x ∈ R : (x, z) = 0 для любого z ∈ M} — ортогональное дополнениемножества M;e — множество линейных операторов, действующих из пространL(R 7→ R)eства R в пространство R;e — множество замкнутых плотно определённых операторов, дейCL(R 7→ R)eствующих из пространства R в пространство Re — банахово пространство ограниченных всюду определённых лиB(R 7→ R)eнейных операторов, действующих из пространства R в пространство R;e — банахово пространство ограниченных всюду определённых комCO(R 7→ R)e (линейноепактных операторов, действующих из пространства R в пространство Reподпространство пространства B(R 7→ R));e — гильбертово пространство всюду определённых линейных операH(R 7→ R)eторов Гильберта–Шмидта, действующих из пространства R в пространство R;D(A) = {x ∈ R : существует Ax} — область определения линейного оператоeра A, действующего из пространства R в пространство R;N (A) = {x ∈ D(A) : Ax = 0} — нуль-пространство (ядро) линейного оператоeра A, действующего из пространства R в пространство R;e : существует x ∈ D(A), для которого y = Ax} — пространR(A) = {y ∈ Rство значений (образ) линейного оператора A, действующего из пространства Reв пространство R;Eξ — математическое ожидание случайного элемента (случайной величины) ξ.В предельных переходах типа xn → x или lim xn = x мы не всегда будем писатьусловие n → ∞ в тех случаях, когда это не может вызвать недоразумений.
То жезамечание относится и к последовательностям {xn } элементов с одним индексом.2ГЛАВА 1СЛУЧАЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХПРОСТРАНСТВАХ1.1. Понятие случайного элемента. Пусть (Ω, F , P ) — некоторое вероят-ностное пространство. Основные понятия и некоторые полезные теоремы теориивероятностей можно найти в приложении A.Определение. Элементом ξ, случайным в слабом смысле, принимающим значения в гильбертовом пространстве R называется правило ξ : Ω 7→ R, однозначным образом сопоставляющее элементарному исходу ω ∈ Ω элемент ξ(ω) ∈ R так,что для любого фиксированного x ∈ R скалярное произведение (ξ(ω), x), рассматриваемое как функция из Ω в R, есть случайная величина.В дальнейшем будем называть такой элемент «случайным элементом в R»,опуская слова «в слабом смысле». Непосредственно из определения вытекает, чтолинейная комбинация λ1 ξ1 + λ2 ξ2 случайных элементов (действующих из одногои того же Ω в одно и то же R) с постоянными коэффициентами λ1,2 ∈ R естьслучайный элемент.
Кроме того, kξk2 также есть случайный элемент. Это следуетиз того, что1)2(λ1 ξ1 + λ2 ξ2 , x) = λ1 (ξ1 , x) + λ2 (ξ2 , x) и kξk =∞Xi=12(ξ, ei ) = limn→∞nX(ξ, ei)2i=1суть случайные величины как линейная комбинация и предел последовательностислучайных величин соответственно (см. теорему A.1 приложения A). В последнихравенствах x — произвольный элемент из R и e1 , e2 , . . . — произвольный ортонормированный базис (ОНБ) пространства R; разумеется, численное значение любойреализации kξk2 (ω), ω ∈ Ω, не зависит от базиса.e Если R ∈ B(R 7→ R),e то соответствиеПусть R — линейный оператор из R в R.e заданное формулой (Rξ)(ω) = R · ξ(ω), есть случайная величина.Rξ : Ω 7→ R,e скалярное произведение (Rξ, y) = (ξ, R∗ y) естьВ самом деле, для любого y ∈ Rслучайная величина. Написав последнее равенство, мы воспользовались тем, что1)Всюду далее, когда мы пишем равенства и неравенства для случайных величин, мы подразумеваем, что они имеют место для любого ω ∈ Ω, точнее — с вероятностью единица.3e существует всюду определённый сопряжённыйдля оператора R ∈ B(R 7→ R)оператор R∗ .1.2.
Моменты случайных элементов. Пусть случайная величина kξk2 имеет математическое ожидание: существует (вообще говоря, несобственный) интеграл Лебега–Стилтьеса2Ekξk =ZRt dF (t) < ∞,где F (·) — функция распределения случайной величины kξk2 . Напишем цепочкуравенств2Ekξk = E∞X2 ?(ξ, ei) =∞XE(ξ, ei )2i=1i=1и выясним, справедливо ли равенство, помеченное вопросительным знаком.
В самом деле, возможность поменять местами знак математического ожидания и знаксуммы ряда — это возможность применить равенство E(lim αn ) = lim Eαn . В данном случае такая замена предельных переходов правомерна. Это вытекает из теоремы А.2 о сходимости математических ожиданий. Мы можем написать2kξk = limn→∞nXnX(ξ, ei )2 6 kξk2 ,2(ξ, ei) ,i=1i=1следовательно,2Ekξk = lim En→∞nXi=12(ξ, ei ) = limn→∞nX2E(ξ, ei ) =i=1∞XE(ξ, ei )2 .(1.1)i=1Определение.
Случайный элемент ξ называется гильбертовым случайнымэлементом, если Ekξk2 < ∞.Пусть при любом x ∈ R существует математическое ожидание случайной ве-личины (ξ, x). Следовательно, всюду на R определен (очевидно, линейный) функционал f (x) = E(ξ, x). Если этот функционал ограничен, то по теореме Рисса обобщем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве найдется единственный (неслучайный) элемент Eξ ∈ R такой, что f (x) = (Eξ, x) для любогоx ∈ R. В результате мы получаем следующее определение.Определение. Элемент Eξ ∈ R, заданный равенствомE(ξ, x) = (Eξ, x),x ∈ R,называется математическим ожиданием случайного элемента ξ.4(1.2)Заметим, что если ξ — гильбертов случайный элемент, тоqpp|E(ξ, x)| 6 E|(ξ, x)| 6 E kξk2 kxk2 6 E(kξk2 kxk2 ) = kxk Ekξk2 ,(1.3)где мы воспользовались неравенством |Eα| 6 E|α|, неравенством Коши–Буня√√ковского, а также неравенством E α 6 Eα, которое эквивалентно неравенству√√D α = Eα − E 2 α > 0.
Таким образом,kEξk = kf k = sup |E(ξ, x)| 6kxk=1pEkξk2 < ∞,в результате, если существует Ekξk2 , то существует и Eξ ∈ R, причем имеет местонеравенство kEξk2 6 Ekξk2 .Пусть существуют Eξ, Eξ1,2 . Из равенствE(λ1 ξ1 + λ2 ξ2 , x) = λ1 E(ξ1 , x) + λ2 E(ξ2 , x) = (λ1 Eξ1 + λ2 Eξ2 , x),E(Rξ, y) = E(ξ, R∗ y) = (Eξ, R∗ y) = (R Eξ, y),e любых действительных чисел λ1,2 и люсправедливых для любых x ∈ R, y ∈ R,e следует, чтобого оператора R ∈ B(R 7→ R),E(λ1 ξ1 + λ2 ξ2 ) = λ1 Eξ1 + λ2 Eξ2 ,ERξ = R Eξ.e Пусть суПусть ξ — случайный элемент в R и η — случайный элемент в R.ществуют математические ожидания Eξ = 0 и Eη = 02) .
Предположим, что дляe существует E(ξ, x)(η, y), причём найдется конкаждого x ∈ R и каждого y ∈ Rстанта C такая, что выполнено неравенство|E(ξ, x)(η, y)| 6 C · kxk · kyk,x ∈ R,ey ∈ R.(1.4)Заметим, что если ξ и η — гильбертовы случайные элементы, то в силу цепочкинеравенств, аналогичной (1.3), мы имеем|E(ξ, x)(η, y)| 6ppkEξk2 kEηk2 · kxk · kyk,таким образом, в этом случае неравенство (1.4) выполнено. При условии (1.4)зафиксируем x ∈ R, тогда E(ξ, x)(η, ·) — ограниченный линейный функционал,e Следовательно, найдется единственныйопределённый на всём пространстве R.2)Мы не вводим, если в этом нет необходимости, специальных символов для нулевых элементовв разных пространствах, используя единое обозначение 0. Так, E ξ = 0 — нулевой элемент в R,eа E η = 0 — нулевой элемент в R.5e такой, что E(ξ, x)(η, y) = (ux , y) для любого y ∈ R.e Можно сказать,элемент ux ∈ Rчто соответствие x 7→ ux задаёт оператор, который мы обозначим через Σξη :(Σξη x, y) = E(ξ, x)(η, y),x ∈ R,ey ∈ R.(1.5)e можно задать оператор Σηξ со значениями в R такой,Аналогично, всюду на Rчтоe(x, Σηξ y) = E(ξ, x)(η, y),x ∈ R, y ∈ R.(1.6)Очевидно, что данные формулы задают линейные операторы, причем Σηξ = Σ∗ξη .e и Σηξ ∈ L(Re 7→ R), заданныеОпределение.
Операторы Σξη ∈ L(R 7→ R)равенствами (1.5) и (1.6), называются взаимными ковариационными операторамислучайных элементов ξ и η.Определение. Будем говорить, что случайный элемент ξ со значениями в Re некоррелированы, если Σηξ есть нулевойи случайный элемент η со значениями в Re т. е. Σξη x = 0 (нулевой элемент в R)e для всех x ∈ R.оператор из R в R,В силу равенства Σηξ = Σ∗ξη для некоррелированных ξ и η их взаимный ковариe в R) также есть нулевой оператор3) .ационный оператор Σηξ (действующий из RОчевидно, что если ξ и η некоррелированы, то Rξ и η также некоррелированы(здесь R — ограниченный всюду определённый линейный оператор):E(Rξ, x)(η, y) = E(ξ, R∗ x)(η, y) = (Σξη R∗ x, y) = 0для всех x и y из надлежащих пространств.Если положить η = ξ, то мы получим следующее определение.Определение. Оператор Σξξ ∈ L(R 7→ R), заданный равенством(x, Σξξ z) = E(ξ, x)(ξ, z),x, z ∈ R,(1.7)называется ковариационным оператором случайного элемента ξ.Очевидно, что Σξξ = Σ∗ξξ и Σξξ > 0, поскольку (x, Σξξ x) = E(ξ, x)2 > 0.
Изданного соотношения вытекает, что если x ∈ N (Σξξ ), то E(ξ, x)2 = 0, что вкупес равенством E(ξ, x) = (Eξ, x) = 0 даёт D(ξ, x) = 0. В силу неравенства Чебышёва D(ξ, x)P |(ξ, x)| > ε 6=0ε2для любого ε > 0, поэтому (ξ, x) = 0 с вероятностью единица, если x ∈ N (Σξξ ).3)Мы вновь не вводим, если в этом нет необходимости, специальных символов для обозначениянулевых операторов, если они действуют в разных пространствах, и пишем Σξη = 0 и Σηξ = 0.6Условие Eξ = 0 и Eη = 0 можно заменить условием существования математических ожиданий.
Тогда ковариационные операторы задаются равенствами(x, Σξξ z) = E(ξ − Eξ, x)(ξ − Eξ, z),x, z ∈ R,(y, Σξη x) = E(ξ − Eξ, x)(η − Eη, y),x ∈ R,(x, Σηξ y) = E(ξ − Eξ, x)(η − Eη, y),x ∈ R,ey ∈ R.ey ∈ R.При этом соотношения Σηξ = Σ∗ξη , Σξξ = Σ∗ξ и Σξξ > 0, разумеется, сохраняют своюсилу, а условие x ∈ N (Σξξ ) влечёт, что с вероятностью единица (ξ, x) = (Eξ, x),т.
е. (ξ, x) — опять же не случайная, а детерминированная величина.Для упрощения формул (без потери общности, поскольку всегда можно совершить замену ξ 7→ ξ − Eξ) будем считать, что в последующих свойствах ковариационного оператора случайные элементы имеют нулевые математические ожидания.e то ковариационный оператор случайного элемента Rξ1.
Если R ∈ B(R 7→ R),eесть RΣξξ R∗ , поскольку для любых y, u ∈ R(ΣRξ y, u) = E(Rξ, y)(Rξ, u) = E(ξ, R∗ y)(ξ, R∗u) = (Σξξ R∗ y, R∗u) = (RΣξξ R∗ y, u).eВ силу произвольности u это означает, что ΣRξ y = RΣξξ R∗ y для любого y ∈ R,что в свою очередь эквивалентно операторному равенству ΣRξ = RΣξξ R∗ .2. Пусть ξ1,2 — некоррелированные случайные элементы в R. ТогдаΣξ1 +ξ2 ,ξ1 +ξ2 = Σξ1 + Σξ2 .В самом деле, положим для краткости ξ = ξ1 + ξ2 и Σij = Σξi ξj , i, j = 1, 2, и,учитывая, что Σ12 = 0, Σ21 = Σ∗12 = 0, запишем цепочку равенств(Σξ1 +ξ2 x, z) = E(ξ1 + ξ2 , x)(ξ1 + ξ2 , z) == E(ξ1 , x)(ξ1 , z) + E(ξ1 , x)(ξ2 , z) + E(ξ2 , x)(ξ1 , z) + E(ξ1 , z)(ξ1 , z) == (Σ11 x, z) + (Σ12 x, z) + (Σ21 z, x) + (Σ22 x, z) = (Σ11 + Σ22 )x, zдля любых x, z ∈ R.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
